Степень с целым показателем и её свойства
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут объяснить смысл степени с целым показателем и применять свойства степеней для преобразования выражений, содержащих отрицательные показатели.
- Образовательная задача: вывести и сформулировать правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием, возведения степени в степень и определения степени с нулевым и отрицательным показателем.
- Образовательная задача: научиться преобразовывать числовые и буквенные выражения, используя свойства степеней и ограничения на основание.
- Развивающая задача: анализировать решение, находить ошибки в применении свойств и обосновывать выбор способа преобразования.
- Воспитательная задача: развивать самостоятельность, точность записей и уверенное отношение к заданиям экзаменационного формата.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся осознают, что освоение свойств степеней помогает уверенно выполнять преобразования в школьных и экзаменационных задачах.
- Проявляют готовность разбираться в ошибке без страха перед сложным заданием и воспринимают ошибку как повод проверить ход рассуждений.
- Соотносят личный результат самостоятельной работы с поставленной целью урока.
- Проявляют ответственность за точность вычислений и математических записей.
Метапредметные
- Извлекают правило из последовательности примеров и фиксируют его в виде математической записи.
- Сравнивают способы преобразования выражений и аргументируют выбор подходящего свойства.
- Планируют последовательность действий при упрощении выражения и сверяют результат с эталоном.
- Сотрудничают в паре: задают уточняющие вопросы, объясняют ход решения и корректно принимают замечания.
Предметные
- Знают определение степени с нулевым и отрицательным целым показателем при ненулевом основании.
- Умеют применять свойства $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^m:a^n=a^{m-n}$ при $a\ne0$ и $(a^m)^n=a^{mn}$.
- Умеют представлять $a^{-n}$ в виде дроби $\frac{1}{a^n}$ при $a\ne0$ и выполнять преобразования выражений с отрицательными показателями.
- Проверяют допустимость применения свойств и находят ошибки, связанные с нулевым основанием и неверным изменением показателя.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно преобразовывать степени с отрицательным показателем.
- Соотносят изучаемое правило с практической ценностью для решения типовых математических задач.
- Оценивают собственную готовность объяснить правило однокласснику.
- Сохраняют учебную активность при возникновении затруднения и обращаются к проверке, а не к угадыванию.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе затруднения при преобразовании степени с отрицательным показателем.
- Составляют план решения: определить основание и показатели, выбрать свойство, выполнить преобразование, проверить ограничения.
- Сверяют самостоятельную работу с эталоном и отмечают конкретный шаг, требующий коррекции.
- Оценивают достижение цели по результатам заданий и рефлексивного листа.
Познавательные УУД
- Наблюдают закономерность в записи частного степеней и формулируют правило для целого показателя.
- Преобразуют выражение в дробь и применяют известные свойства степеней для обоснования нового правила.
- Выделяют условия применимости свойства, в частности ненулевое основание при отрицательном показателе.
- Анализируют готовые решения, находят ошибочный переход и предлагают корректное преобразование.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ при $a\ne0$, опираясь на свойства частного степеней.
- Задают вопросы о допустимых значениях основания и показателя.
- Согласуют в паре запись общего правила и представляют её классу.
- Аргументируют несогласие с ошибочным решением, указывая конкретный неверный шаг.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным примером $2^3:2^5$, последовательностью шагов к правилу и заданиями для закрепления.
- Распечатать карточки для парной работы с тремя выражениями и одной намеренной ошибкой — по одной карточке на пару, ориентировочно 15 штук.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, около 30 экземпляров.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «понимаю определение», «применяю свойства», «проверяю ограничения» — по одному на ученика.
- Заранее записать на доске заголовок «Степень с целым показателем» и оставить место для вывода правил.
- Подготовить на доске или слайде памятку: одинаковое основание; при умножении показатели складываются; при делении вычитаются; при возведении степени показатели перемножаются.
- Подготовить таймер для коротких парных и индивидуальных заданий.
- Подготовить проектор и компьютер для показа примеров; обеспечить каждому ученику тетрадь, ручку и калькулятор не использовать.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к вопросу о том, как продолжить известные правила степеней на отрицательные показатели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране выражение $2^3:2^5$. «Здравствуйте, ребята. Сегодня начнём с короткой математической загадки: как упростить это выражение, если мы уже знаем правило деления степеней с одинаковым основанием? Посмотрите на показатели: после вычитания получится отрицательное число. Можно ли считать такую запись ошибкой, или она может иметь точный смысл? На уроке мы сами выведем ответ и потренируемся применять его в заданиях, похожих по формату на экзаменационные». | Готовят тетради и ручки, рассматривают пример на экране, предполагают: «Получится $2^{-2}$» и задаются вопросом, что означает отрицательный показатель. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели запись, смысл которой пока не определён. Чтобы разобраться, сначала вспомним уже известные свойства степеней и найдём место затруднения».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать определение натуральной степени и свойства степеней с одинаковым основанием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $3^4$ и $5^2\cdot5^3$. «Вспомним, что означает натуральная степень. Как можно развернуть $3^4$ в произведение? Как, не раскрывая множители, упростить $5^2\cdot5^3$? Назовите правило своими словами, а затем запишите его символически». Учитель фиксирует верные формулировки на доске. | Отвечают: «$3\cdot3\cdot3\cdot3$» и «$5^5$»; формулируют: «При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются». |
3 мин | Учитель предлагает устный блиц и включает таймер на 2 минуты: «Упростите $7^6:7^2$, $(2^3)^2$ и $4^5:4^5$. Проговорите правило, которым пользуетесь. Что получится в последнем примере? Как можно представить результат степенью четвёрки?» | Решают устно и записывают ответы: $7^4$, $2^6$, $1=4^0$. Объясняют: «При делении показатели вычитаются», «при возведении степени в степень показатели перемножаются», «$4^5:4^5=4^0=1$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили правила и заметили, что при делении показатели можно вычитать. Сейчас выясним, как трактовать результат, когда вычитание даёт отрицательное число».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и вместе с учениками сформулировать цель и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к $2^3:2^5$ и задаёт вопросы в логике эвристической беседы: «Какое свойство мы применили бы, если бы показатели были натуральными? Что получится при вычитании $3-5$? Можно ли пока вычислить $2^{-2}$ по определению натуральной степени? Чего именно нам не хватает?» | Пишут на черновике $2^{3-5}=2^{-2}$; формулируют затруднение: «Мы умеем вычитать показатели, но не знаем, что означает степень с отрицательным показателем». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: 30 секунд на индивидуальную гипотезу, 1 минуту на обсуждение, затем собирает ответы. «Как можно сохранить правило деления степеней и при этом получить осмысленный результат? Какое выражение должно быть равно $2^{-2}$, если $2^3:2^5$ можно сократить?» Учитель записывает предложения учеников. | Самостоятельно предлагают гипотезу, обсуждают её в паре и высказывают варианты: «Останется единица в знаменателе», «это должно быть $1:2^2$». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Наш вопрос сформулирован: как определить отрицательную степень так, чтобы прежние свойства не нарушались? Проверим гипотезу на конкретных примерах и выведем правило».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести определения степени с нулевым и отрицательным целым показателем и систематизировать свойства степеней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает цепочку $2^3:2^5=\frac{2\cdot2\cdot2}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}=\frac{1}{2^2}$. «Посмотрите, что произошло при сокращении одинаковых множителей. Какое число осталось в числителе? Какую степень мы получили по правилу вычитания показателей? Значит, чтобы правило $a^m:a^n=a^{m-n}$ сохранялось, чему должно быть равно $2^{-2}$? Теперь обобщите рассуждение для ненулевого числа $a$ и натурального $n$». | Следят за сокращением множителей, отвечают: «Осталась единица», «$2^{-2}=\frac{1}{2^2}$»; формулируют обобщение: «$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, если $a\ne0$». |
3 мин | Учитель задаёт вопрос о нулевом показателе и пишет $a^4:a^4=a^{4-4}$. «При каком условии это частное определено? Чему равно частное ненулевого числа на себя? Какое значение нужно приписать $a^0$, чтобы правило деления степеней оставалось верным? Запишите условие рядом с правилом: оно здесь не формальность, а защита от деления на ноль». | Отвечают: «При $a\ne0$», «частное равно 1», записывают $a^0=1$ при $a\ne0$ и объясняют, почему нулевое основание исключается. |
3 мин | Учитель открывает на экране таблицу из четырёх свойств и предлагает заполнить пропуски в паре: «Сопоставьте знакомые правила с новыми записями. Впишите показатель результата, затем проверьте каждую формулу на числовом примере. Если основание ноль, отдельно подумайте, какие записи недопустимы». Учитель просит одну пару озвучить проверку. | В парах заполняют и проверяют: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $a^m:a^n=a^{m-n}$ при $a\ne0$; $(a^m)^n=a^{mn}$; $a^{-n}=\frac1{a^n}$ при $a\ne0$. Приводят проверочный пример $3^{-2}=\frac19$. |
2 мин | Учитель обращает внимание на область применения: «Сравните $(-2)^{-2}$ и $-2^{-2}$. В первом случае основание — число $-2$, во втором минус не входит в основание степени. При преобразовании не теряйте скобки: сначала определите, что именно возводится в степень. Назовите ещё одно условие, которое мы должны помнить». | Различают записи: $(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac14$, а $-2^{-2}=-\frac14$; называют условие $a\ne0$ для отрицательного показателя и нулевой степени. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают определения $a^0=1$ при $a\ne0$ и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ при $a\ne0$, а также свойства умножения, деления степеней с одинаковым основанием и возведения степени в степень. Отдельно подчёркивают условие $a\ne0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы определили нулевую и отрицательную степени так, чтобы сохранялись известные правила. Теперь применим новые определения сначала вместе, проговаривая каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить преобразование степеней с отрицательным показателем и отработать проверку условий применимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске выражение $3^2\cdot3^{-5}$ и решает его с классом, не сообщая сразу каждый следующий шаг. «Какое свойство подходит? Как сложить показатели? Что означает получившаяся степень? Запишите преобразование по цепочке, чтобы было видно, где применено свойство, а где — определение отрицательной степени». Затем предлагает аналогичное выражение $5^{-2}\cdot5^4$ одному ученику у доски. | По шагам получают $3^{2+(-5)}=3^{-3}=\frac1{27}$. Для второго выражения ученик у доски записывает $5^{-2+4}=5^2=25$, класс проверяет знаки и показатель. |
3 мин | Учитель раздаёт одну карточку на пару с заданием упростить $\frac{2^{-3}\cdot2^5}{2^1}$ и проверить ошибочное решение $4^{-2}=(-4)^2$. «Сначала решите выражение, проговаривая, как меняются показатели. Затем найдите, что именно перепутано во втором примере: знак основания или знак показателя? Подготовьте короткое объяснение для класса». | В парах получают $2^{-3+5-1}=2^1=2$. В ошибочном решении отмечают, что $4^{-2}=\frac1{4^2}=\frac1{16}$; минус в показателе не превращает основание в отрицательное число. |
Эталон решения
$\frac{2^{-3}\cdot2^5}{2^1}=2^{-3+5-1}=2^1=2$. Ошибка: отрицательный показатель означает переход к обратной степени, а не смену знака основания. Поэтому $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac1{16}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы не только применили правило, но и объяснили, почему отрицательный показатель не означает отрицательное основание. Теперь каждый проверит, насколько уверенно может выполнить такие преобразования самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение свойств степеней и своевременно скорректировать типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней и сообщает критерии до начала работы. «Для всех обязательны первые два задания; затем выберите базовый или повышенный маршрут. Записывайте преобразования, а не только ответ. За каждый пример проверяйте основание и знак показателя. Работа индивидуальная, на неё отводится семь минут, затем открою эталон для самопроверки». | Получают карточку, выбирают базовый или повышенный маршрут и читают задания и критерии. |
7 мин | Учитель запускает таймер и наблюдает за работой, не подсказывая результат. На карточках: 1) представить $6^{-2}$ в виде дроби; 2) упростить $3^4\cdot3^{-6}$; базовый выбор — упростить $\frac{5^{-1}\cdot5^3}{5^2}$; повышенный выбор — упростить $\frac{(2^{-2})^3\cdot2^8}{2^{-1}}$. Учитель напоминает: «Если застряли, сначала перепишите выражение, затем примените одно свойство за шаг». | Индивидуально решают задания и показывают ход преобразований: $6^{-2}=\frac1{36}$; $3^4\cdot3^{-6}=3^{-2}=\frac19$. В выбранном задании записывают промежуточные показатели. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране и организует самопроверку другим цветом. «Сравните не только ответы, но и каждый переход. Если ответ отличается, поставьте отметку у шага, где возникло расхождение. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если нужна одна подсказка, красную — если требуется разобрать правило ещё раз». | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибку другим цветом и показывают карточку светофора. Для базового задания получают $\frac{5^{-1}\cdot5^3}{5^2}=5^0=1$; для повышенного — $2^{-6+8+1}=2^3=8$. |
Эталон решения
Базовый вариант: $\frac{5^{-1}\cdot5^3}{5^2}=5^{-1+3-2}=5^0=1$. Повышенный вариант: $\frac{(2^{-2})^3\cdot2^8}{2^{-1}}=\frac{2^{-6}\cdot2^8}{2^{-1}}=2^{-6+8-(-1)}=2^3=8$. При делении вычитается весь показатель знаменателя, поэтому $-(-1)=+1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка помогла увидеть не только правильный ответ, но и точность каждого шага. Обобщим, где эти правила пригодятся, и оценим, какие действия уже выполняются уверенно».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученные правила, определить индивидуальные затруднения и разъяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит «Одноминутку»: «Запишите одним предложением, что означает отрицательный показатель, и рядом укажите обязательное условие. Затем допишите: какое свойство степеней сегодня помогло вам открыть это правило? Не переписывайте весь конспект — покажите, что поняли лично вы». | Письменно формулируют: «$a^{-n}=\frac1{a^n}$ при $a\ne0$» и указывают, что правило деления степеней привело к определению. |
3 мин | Учитель раздаёт или показывает домашнее задание и возвращается к вопросу начала урока. «Теперь ответим на загадку: $2^3:2^5=2^{-2}=\frac14$. Проверьте, совпадает ли это с сокращением множителей. Перед выходом ответьте устно: когда $a^0=1$ и почему $0^{-2}$ не имеет смысла? Запишите выбранный уровень домашней работы». | Сверяют $2^{-2}=\frac14$ с сокращением дроби, отвечают: «$a^0=1$ при $a\ne0$»; «$0^{-2}$ не определено, потому что пришлось бы делить на ноль». Записывают домашнее задание и отмечают уровень уверенности. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и выбранное задание, преобразования записаны по шагам, правильно использованы отрицательные показатели и указано условие ненулевого основания.
- «4» — верно выполнены обязательные задания и не менее одного задания выбранного уровня; допущена не более чем одна вычислительная или оформительская ошибка, не искажающая понимание свойства.
- «3» — верно выполнены оба обязательных задания либо одно из них; ученик распознаёт правило, но допускает ошибки при сложении или вычитании показателей и нуждается в проверке по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $a^{-n}$ и при каком условии она определена? | Проверка усвоения определения отрицательной степени и ограничения на основание. |
Какое свойство помогло вывести смысл отрицательного показателя? | Выявление понимания связи нового знания с делением степеней. |
На каком шаге самостоятельной работы вы сомневались больше всего? | Диагностика конкретного затруднения: выбор свойства, работа со знаками или проверка условия. |
Насколько уверенно вы сможете объяснить правило однокласснику: уверенно, с подсказкой или пока не сможете? | Субъективная оценка освоения темы и планирование адресной поддержки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что отрицательный показатель означает обратную степень: $a^{-n}=\frac1{a^n}$ при $a\ne0$. Мы получили это правило не случайно, а сохранив смысл деления степеней с одинаковым основанием. Чаще всего ошибки возникают, когда ученик путает минус в показателе со знаком основания или забывает, что основание не должно быть нулём. Проверяйте каждый переход и записывайте промежуточные показатели. На следующем уроке применим свойства степеней в более сложных выражениях и потренируемся выбирать самый короткий способ преобразования».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 коротких упражнений: представить степени с отрицательным показателем в виде дробей, вычислить степени с нулевым показателем и упростить два произведения или частных степеней с одинаковым основанием. | Закрепить определения $a^0$ и $a^{-n}$ и отработать условие $a\ne0$; при проверке обратить внимание на знак показателя и запись обратной степени. |
Средний (повышающий) | Упростить 4 выражения, включающие умножение, деление и возведение степени в степень, в том числе одно выражение с отрицательным показателем в знаменателе; все преобразования записать по шагам. | Научиться комбинировать свойства без потери знаков; при проверке смотреть, вычитается ли показатель знаменателя целиком. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных выражения со степенями с целыми показателями, одно из них упростить до целого числа, а второе — до обыкновенной дроби; записать подробное решение и объяснить, какие свойства использованы. | Развивать умение конструировать и обосновывать математическое выражение; при проверке оценить корректность примеров, полноту объяснения и соблюдение ограничений. |
Контрольные вопросы перед выходом: чему равно $7^0$ при допустимом основании? Как записать $3^{-2}$ в виде дроби? Чему равно $4^2:4^5$? Почему выражение $0^{-1}$ не определено?
