Решение треугольников

Обобщение способов решения треугольников: теоремы синусов, косинусов и формулы площади

Цели и задачи

• Цель урока: к концу занятия обобщить условия применения теорем синусов и косинусов и формул площади треугольника, а также научиться выбирать подходящий способ решения практических задач в формате ОГЭ.
• Систематизировать знания о связи сторон и углов треугольника и закрепить алгоритм решения треугольника по известным элементам.
• Научиться применять теорему косинусов для нахождения стороны или угла, теорему синусов для нахождения стороны или угла и формулы площади для вычисления площади треугольника.
• Развивать умение анализировать условие задачи, строить план решения, проверять соответствие полученного ответа условию.
• Формировать уверенность при решении геометрических задач и снижать тревожность перед заданиями ОГЭ за счёт осознанного выбора формулы.

Планируемые результаты

Личностные

• Осознают практическую и экзаменационную значимость способов решения треугольников.
• Проявляют готовность проверять ход решения и спокойно исправлять ошибки.
• Развивают ответственное отношение к записи доказательств, формул и ответа.
• Оценивают собственную готовность к решению геометрических задач ОГЭ.

Метапредметные

• Выделяют известные и неизвестные элементы треугольника и соотносят их с требуемой теоремой.
• Строят логическую последовательность решения и объясняют выбор формулы.
• Работают с математическим текстом, извлекают данные из условия и чертежа.
• Осуществляют самопроверку с помощью оценки величины углов, сторон и площади.

Предметные

• Знать формулировки теорем синусов и косинусов и формул площади треугольника.
• Уметь находить сторону или угол треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам, по трём сторонам.
• Уметь выбирать формулу площади $S=\frac12 ab\sin C$, $S=\frac{abc}{4R}$ или формулу Герона в зависимости от условия.
• Уметь решать задачи на решение треугольников и записывать ответ с обоснованием.
• Владеть алгоритмом проверки результата и округления ответа.

Универсальные учебные действия (УУД)

Личностные УУД

• Осознают смысл изучаемых теорем как инструментов решения задач, а не набора формул.
• Сопоставляют уровень своих знаний с требованиями к заданиям ОГЭ.
• Проявляют настойчивость при разборе задачи, решение которой не находится сразу.
• Формируют положительное отношение к самостоятельной проверке результата.

Регулятивные УУД

• Формулируют цель повторения и составляют план решения задачи.
• Выбирают формулу до начала вычислений и контролируют её соответствие условию.
• Сверяют промежуточные результаты с чертежом и исправляют найденные ошибки.
• Оценивают собственную работу по предложенным критериям.

Познавательные УУД

• Классифицируют задачи по набору известных элементов.
• Устанавливают связи между теоремами синусов, косинусов и формулами площади.
• Преобразуют условие задачи в математическую модель.
• Анализируют ошибочное решение и находят этап, на котором нарушена логика.

Коммуникативные УУД

• Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
• Обсуждают в парах выбор способа решения и аргументируют его.
• Задают уточняющие вопросы по условию и ходу решения.
• Корректно оценивают решение одноклассника по заданным критериям.

Подготовка учителя к уроку

• Подготовить доску с заранее выделенными местами для трёх блоков: «Теорема синусов», «Теорема косинусов», «Площадь треугольника».
• Распечатать карточки с тремя вариантами задач: базовым, стандартным и повышенным — по одной карточке на каждого ученика.
• Подготовить отдельные карточки с ошибочными решениями для работы в парах.
• Подготовить линейки, транспортиры и калькуляторы только в том случае, если это разрешено локальными правилами подготовки к ОГЭ.
• Записать на доске обозначения треугольника $ABC$, сторон $a$, $b$, $c$ и углов $A$, $B$, $C$.
• Подготовить лист самопроверки с пунктами: «выбрал формулу», «подставил данные», «выполнил вычисления», «проверил ответ».
• Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика.
• Использовать задания и обозначения, согласованные с изученным материалом учебника, без указания номеров и страниц.

Ход урока

Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)