Вписанная и описанная окружности прямоугольного треугольника
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют свойства вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника и применят формулы $R=\frac{c}{2}$ и $r=\frac{a+b-c}{2}$ при решении не менее двух геометрических задач.
- Установить, где находятся центры вписанной и описанной окружностей треугольника и прямоугольного треугольника.
- Вывести и объяснить формулы радиусов описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника.
- Научиться выбирать формулу по данным задачи, выполнять вычисления и проверять разумность ответа в формате экзаменационного задания.
- Развивать умение работать в паре, использовать искусственный интеллект для проверки рассуждений и критически оценивать полученный ответ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность геометрических моделей при расчётах размеров, расстояний и радиусов.
- Проявляют ответственность за собственное решение и готовность проверять ответ, полученный с помощью цифрового инструмента.
- Снижают тревожность перед экзаменационными задачами через освоение понятного алгоритма действий.
- Развивают мотивацию к сотрудничеству и корректному обсуждению математических аргументов.
Метапредметные
- Извлекают определения и формулы из текста § 9 и преобразуют их в краткую схему.
- Планируют решение задачи, выделяют известные величины и выбирают подходящую формулу.
- Сравнивают собственное решение с ответом цифрового помощника, находят расхождения и исправляют ошибки.
- Аргументированно представляют решение партнёру и формулируют вывод по результатам проверки.
Предметные
- Знать определения вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
- Знать, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника является серединой гипотенузы.
- Знать формулы $R=\frac{c}{2}$ и $r=\frac{a+b-c}{2}$ для прямоугольного треугольника.
- Уметь находить радиусы окружностей по сторонам прямоугольного треугольника и обосновывать ход решения.
- Уметь распознавать типичную ошибку: смешение радиусов $R$ и $r$ или использование гипотенузы вместо катета.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на окружности.
- Осмысливают связь изучаемых формул с заданиями экзаменационного формата.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки решения.
- Соблюдают правила академической честности при использовании искусственного интеллекта.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Составляют пошаговый план решения задачи по данным условия.
- Проверяют вычисления, единицы измерения и соответствие ответа условию.
- Вносят коррективы после взаимопроверки и цифровой проверки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки вписанной и описанной окружностей.
- Устанавливают связь между диаметром описанной окружности и гипотенузой.
- Моделируют прямоугольный треугольник с окружностями на чертеже.
- Анализируют ответ искусственного интеллекта и проверяют его доказательством или вычислением.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы по чертежу и формулам.
- Объясняют партнёру, почему выбранная формула применима.
- Корректно принимают замечания и аргументированно защищают решение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на экране схему из источника с изображением вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника и формулами $R=\frac{c}{2}$, $r=\frac{a+b-c}{2}$.
- Распечатать карточки с тремя вариантами задач — по одной карточке на каждую пару.
- Подготовить текст § 9 учебного пособия для чтения и извлечения определений и формул; номера страниц не задавать.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я знаю», «Я умею», «Мне нужна помощь».
- Обеспечить ноутбук учителя, проектор или интерактивную доску и безопасный цифровой доступ к инструменту искусственного интеллекта.
- Вывести на доску проблемный вопрос: «Почему для любого прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы?».
- Распечатать эталон решения для самопроверки учителя и отдельный набор мини-карточек «верно — неверно» по одной на ученика.
- Подготовить линейки, карандаши и листы в клетку для построения прямоугольного треугольника и окружностей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и устройство или рабочий лист для парной работы должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто запоминать формулы, а сами установим, почему они работают." | Готовят принадлежности, записывают дату и название темы. |
2 мин | Учитель показывает на экране чертёж прямоугольного треугольника с двумя окружностями и говорит: "Посмотрите на рисунок. Одна окружность проходит через вершины, другая касается сторон. Как можно найти их радиусы, если известны стороны треугольника? Запишите свою гипотезу, затем обсудите её с соседом." Приём «Подумай — обсуди в паре». | Сначала записывают индивидуальную гипотезу, затем обсуждают её в парах и формулируют предположения: «радиус описанной окружности связан с гипотенузой», «радиус вписанной окружности связан с катетами». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели две разные окружности и предположили, что их радиусы выражаются через стороны треугольника. Теперь проверим, какие знания помогут нам это доказать."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить определения, свойства перпендикулярных серединных и биссектрис углов, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает карточки с утверждениями и говорит: "Отметьте, какие утверждения верны. Первое: центр окружности, описанной около треугольника, равноудалён от его вершин. Второе: центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника. Третье: в любом треугольнике центр описанной окружности находится внутри треугольника." | Отмечают утверждения: первые два верны, третье может быть неверным для тупоугольного треугольника. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с точкой касания? Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания?" | Отвечают: «радиус», «радиус перпендикулярен касательной или стороне в точке касания». |
1 мин | Учитель предлагает восстановить теорему Пифагора: "Если катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$, какую связь между ними мы используем?" | Записывают и произносят: "$c^2=a^2+b^2$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили признаки центров окружностей, свойство радиуса в точке касания и теорему Пифагора. Этого достаточно, чтобы перейти от наблюдения к доказательству."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске условие: "В прямоугольном треугольнике катеты равны $6$ см и $8$ см, гипотенуза равна $10$ см. Не выполняя построение в натуральную величину, предположите, чему могут быть равны радиусы описанной и вписанной окружностей." | В парах вычисляют возможные значения, предлагают: "$R=5$ см", "$r=2$ см". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Почему для описанной окружности можно разделить гипотенузу пополам? Почему для вписанной окружности недостаточно знать только гипотенузу? Составьте план: что определить, что доказать, что применить." | Формулируют план: определить положение центра, доказать формулу для $R$, вывести формулу для $r$, решить задачу и проверить результат. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наша цель — не угадать два числа, а вывести общие правила. Начнём с описанной окружности, потому что её центр особенно удобно увидеть в прямоугольном треугольнике."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ и текста § 9 (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать свойства описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает открыть § 9 и говорит: "Прочитайте фрагмент, где описываются окружности треугольника. Приём «Чтение с пометками»: знаком «+» отметьте новое, знаком «!» — формулу или теорему, знаком «?» — место, которое требует пояснения. Найдите определения описанной и вписанной окружностей." | Читают § 9, выделяют определения и формулы, выписывают вопросы. |
3 мин | Учитель демонстрирует чертёж и объясняет: "В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Поэтому центр окружности — середина гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы. Запишем: $R=\frac{c}{2}$. Проверьте это на треугольнике со сторонами 6, 8 и 10." | Рассматривают чертёж, записывают формулу, вычисляют $R=\frac{10}{2}=5$ см и объясняют, что диаметр равен гипотенузе. |
4 мин | Учитель показывает схему вписанной окружности: "Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами: $S=\frac{ab}{2}$ и $S=pr$, где $p=\frac{a+b+c}{2}$. Приравняем выражения и получим формулу для радиуса. Теперь используйте цифрового помощника: попросите его проверить преобразование, но отдельно проверьте каждый алгебраический шаг." | В парах выводят: $\frac{ab}{2}=\frac{a+b+c}{2}r$, затем $ab=(a+b+c)r$. С учётом $c^2=a^2+b^2$ и преобразования получают формулу из § 9: $r=\frac{a+b-c}{2}$. Сравнивают вывод с ответом ИИ и отмечают, совпадает ли обоснование. |
Запись в тетрадях
- Описанная окружность проходит через все вершины треугольника.
- Вписанная окружность касается всех его сторон.
- В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому $R=\frac{c}{2}$.
- Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$: $r=\frac{a+b-c}{2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили две формулы и увидели, что цифровой помощник может проверить преобразования, но не заменяет доказательство. Теперь применим свойства сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка и первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: снять напряжение, закрепить различие между радиусами $R$ и $r$ и отработать выбор формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте. Руками покажите большой отрезок — гипотенузу и половину отрезка — радиус описанной окружности. Затем ладонями обозначьте стороны треугольника, к которым касается вписанная окружность. Сделайте два спокойных наклона и вернитесь к рабочему месту." | Выполняют движения, проговаривают: «$R$ связан с гипотенузой», «$r$ связан с тремя сторонами». |
4 мин | Учитель раздаёт карточки «Верно — неверно»: "Определите, какое свойство используется в каждом утверждении. 1) Если гипотенуза 14 см, то $R=7$ см. 2) Для катетов 5 см и 12 см и гипотенузы 13 см радиус вписанной окружности равен 5 см. 3) Радиус вписанной окружности можно найти как $c/2$. Обсудите ответы в паре и объясните один выбор." | Решают: 1) верно, 2) неверно, так как $r=\frac{5+12-13}{2}=2$ см, 3) неверно. Объясняют, что $c/2$ относится к $R$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная опасность — перепутать окружности и радиусы. Мы уже научились различать их по геометрическому смыслу; теперь проверим умение решать задачу полностью."
Этап 6. Самостоятельная работа в парах с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: применить формулы в задаче экзаменационного типа и проверить решение с помощью эталона и ИИ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 см и 12 см. Найдите гипотенузу, радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности. Запишите чертёж, формулы, вычисления и ответ с единицами измерения. Один ученик решает, второй проверяет оформление, затем поменяйтесь ролями." | Выполняют чертёж, распределяют роли, находят гипотенузу по теореме Пифагора. |
5 мин | Учитель напоминает алгоритм: "Сначала определите гипотенузу, затем найдите $R$ как половину гипотенузы, после этого вычислите $r$ по формуле $\frac{a+b-c}{2}$. Не вводите в ИИ только слово «реши»: сформулируйте запрос и попросите объяснить каждый шаг. После ответа проверьте его самостоятельно." | Решают: $c=15$ см, $R=7{,}5$ см, $r=3$ см. Сравнивают своё решение с цифровой проверкой, отмечают совпадение или исправляют ошибку. |
3 мин | Учитель предлагает двум парам представить решение и задаёт вопрос: "Почему результат $r=3$ см разумен? Почему он меньше обоих катетов и радиуса описанной окружности?" | Представляют решение, отвечают: «радиус вписанной окружности должен быть меньше расстояния до вершин и сторон; $3<7{,}5$». |
Эталон решения
$c^2=9^2+12^2=81+144=225$, поэтому $c=15$ см. Радиус описанной окружности: $R=\frac{c}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5$ см. Радиус вписанной окружности: $r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{9+12-15}{2}=3$ см. Ответ: $c=15$ см, $R=7{,}5$ см, $r=3$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы решили задачу по полному алгоритму и проверили не только вычисления, но и геометрический смысл ответа. Осталось обобщить, что именно мы сегодня открыли и какие шаги уже можем выполнять без подсказки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальное задание для дальнейшего закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Закончите три фразы: «Теперь я знаю…», «Теперь я умею…», «Мне ещё нужно повторить…». Затем покажите цветом светофора свой уровень: зелёный — применяю обе формулы, жёлтый — нужна проверка, красный — требуется объяснение." | Заполняют лист самооценки, выбирают цвет и формулируют личное затруднение. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему радиус описанной окружности равен половине гипотенузы? Какая формула связывает катеты, гипотенузу и радиус вписанной окружности?" | Отвечают: «гипотенуза является диаметром описанной окружности», «$R=\frac{c}{2}$», «$r=\frac{a+b-c}{2}$». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по готовности. Обязательно запишите чертёж, формулу, вычисления и ответ. Для проверки можно обратиться к ИИ, но в тетради должны быть ваши рассуждения и короткая отметка, какой шаг вы проверили." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход с одной формулой и одним примером её применения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно применены теорема Пифагора и обе формулы, выполнен корректный чертёж, приведено обоснование выбора формул, ответ записан с единицами измерения; цифровая проверка критически проанализирована.
- «4» — решение в основном верное, обе формулы выбраны правильно, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на способ решения.
- «3» — правильно определена хотя бы одна формула и выполнена часть вычислений, но допущена ошибка в нахождении гипотенузы или перепутаны $R$ и $r$; ход решения понятен.
- Ниже отметки «3» — отсутствует связь между условием и формулами либо решение полностью основано на неподтверждённом ответе цифрового помощника.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как вы объясните, почему $R=\frac{c}{2}$ именно в прямоугольном треугольнике? | Проверка понимания связи гипотенузы с диаметром описанной окружности. |
Как не перепутать формулы для $R$ и $r$? | Выявление осознанности различий между описанной и вписанной окружностями. |
На каком шаге решения задачи вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме вычисления. |
Что вы проверили с помощью ИИ, а что доказали самостоятельно? | Оценка цифровой грамотности и критического отношения к ответу искусственного интеллекта. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили свойства двух окружностей прямоугольного треугольника и вывели формулы $R=\frac{c}{2}$ и $r=\frac{a+b-c}{2}$. Типичная ошибка — перепутать радиус описанной окружности с радиусом вписанной или забыть сначала найти гипотенузу. Искусственный интеллект может помочь проверить вычисления, но математическое обоснование остаётся вашей ответственностью. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на окружности и будем выбирать наиболее короткий способ решения в экзаменационном формате."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на прямоугольный треугольник: в первой найти $R$ по гипотенузе, во второй найти $r$ по двум катетам и гипотенузе, в третьей найти гипотенузу по катетам, а затем оба радиуса. Использовать определения и формулы из § 9. | Закрепляет распознавание типа окружности, применение формул и оформление решения; при проверке смотреть на выбор формулы и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи экзаменационного типа с разными наборами сторон, включая треугольники со сторонами 5, 12, 13 и 9, 12, 15. Для каждой задачи выполнить проверку неравенств $r<R$ и $r<a$, $r<b$. | Формирует устойчивый алгоритм, вычислительный навык и контроль разумности ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о прямоугольном треугольнике, в которой требуется найти оба радиуса. Проверить решение с помощью ИИ, указать один проверенный шаг и самостоятельно объяснить, почему ответ корректен. | Развивает создание математической задачи, аргументацию и ответственное использование цифрового инструмента. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая окружность проходит через вершины треугольника?», «Где находится центр описанной окружности прямоугольного треугольника?», «Как выражается радиус вписанной окружности через $a$, $b$ и $c$?», «Какую формулу вы примените первой, если известны только катеты?»
