Модели и моделирование. Классификации моделей
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся смогут объяснить назначение математической модели, классифицировать предложенные модели минимум по двум основаниям и построить простую математическую модель практической ситуации, аргументируя выбор переменных и зависимостей.
- Сформировать представление о модели, моделировании, объекте-оригинале и математической модели.
- Научить различать материальные, информационные и математические модели, а также статические и динамические модели на конкретных примерах.
- Развивать умение выделять существенные свойства объекта, переводить условие жизненной задачи на математический язык и проверять соответствие модели исходной ситуации.
- Формировать ответственное отношение к математическим знаниям как к инструменту решения практических задач и снижать тревожность перед заданиями ОГЭ через знакомство с универсальным алгоритмом моделирования.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность моделирования для учёбы, повседневной жизни и будущего профессионального выбора.
- Проявляют готовность спокойно анализировать незнакомую задачу, рассматривая её как последовательность посильных шагов.
- Понимают, что математическая модель является упрощённым описанием реальности и требует осознанной проверки.
- Развивают самостоятельность, ответственность за выбор способа решения и уважение к аргументированному мнению одноклассников.
Метапредметные
- Выделяют существенную информацию в условии, устанавливают связи между величинами и представляют их в виде схемы, таблицы или формулы.
- Сравнивают модели по заданным основаниям, классифицируют объекты и аргументируют результат классификации.
- Планируют решение практической задачи, контролируют промежуточные шаги и корректируют модель при обнаружении несоответствия.
- Работают в паре, формулируют вопросы, участвуют в обсуждении и используют критерии для взаимооценивания.
- Применяют цифровую и математическую грамотность при интерпретации таблиц, формул и графиков.
Предметные
- Знать определения понятий «модель», «моделирование», «объект-оригинал», «математическая модель».
- Уметь классифицировать модели по форме представления: материальные и информационные, а информационные — словесные, графические, табличные и математические.
- Уметь различать статические и динамические модели, приводить по одному обоснованному примеру каждого вида.
- Уметь составлять простую линейную математическую модель практической ситуации и объяснять смысл входящих в неё величин.
- Владеть алгоритмом проверки модели: соответствие условию, допустимость величин, разумность результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения моделирования как универсального способа решения задач, встречающегося в инженерии, экономике, программировании и быту.
- Формируют внутреннюю позицию ученика, готового пробовать разные способы представления информации.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм моделирования в заданиях ОГЭ.
- Проявляют уважение к точным формулировкам и доказательным объяснениям одноклассников.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с моделью и составляют последовательность действий по её построению.
- Оценивают, все ли существенные данные условия учтены в модели.
- Сверяют результат с реальной ситуацией и выявляют невозможные или неразумные значения.
- Используют лист самооценки и выбирают следующий шаг для устранения затруднения.
Познавательные УУД
- Выделяют объект, его свойства, величины и связи между ними.
- Сравнивают несколько способов представления одного и того же объекта.
- Классифицируют модели по форме, способу представления и изменению во времени.
- Преобразуют текстовую информацию в таблицу, схему, формулу или график.
- Строят и интерпретируют простую математическую модель линейной зависимости.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе и согласуют единый вариант классификации.
- Задают уточняющие вопросы о выбранном основании классификации.
- Аргументируют решение с использованием терминов «объект», «величина», «связь» и «модель».
- Корректно оценивают ответ партнёра по заранее объявленным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображениями карты, макета здания, расписания, графика температуры, формулы стоимости поездки и фотографии робота.
- Распечатать карточки с шестью примерами моделей — по одной на парту, всего 15 комплектов.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров с запасом.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «определяю объект», «выделяю величины», «выбираю вид модели», «проверяю результат» — по одному на ученика.
- Вывести на доску схему «объект-оригинал → существенные свойства → модель → вывод → проверка».
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Почему одна и та же ситуация может быть описана несколькими разными моделями?».
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов и таймер для работы в парах и группах.
- Подготовить калькуляторы по необходимости и проверить демонстрацию таблицы с тарифом такси и графика зависимости стоимости от расстояния.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость моделирования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для сегодняшней работы должны лежать перед вами. Сегодня мы будем решать не отдельную головоломку, а учиться описывать реальные ситуации языком математики. Это умение встречается и в задачах ОГЭ, и в будущих профессиях." | Проверяют готовность, записывают дату и название темы в тетрадях. |
2 мин | Учитель показывает на экране расписание поездки, таблицу тарифа такси и график температуры: "Посмотрите на три изображения. Что общего у расписания, тарифа и графика? Можно ли с их помощью что-либо предсказать или вычислить? Подумайте несколько секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь формулировкой." | Сначала формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают в парах и отвечают: "Все эти записи описывают реальные объекты и помогают принимать решения"; "Это разные способы представить информацию". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже заметили главное: реальность можно описывать разными способами. Сегодня мы выясним, как называются такие описания, чем они отличаются и как построить математическую модель самостоятельно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о величинах, зависимостях, формулах, таблицах и графиках.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске ситуацию: "Стоимость поездки складывается из фиксированной платы 100 рублей и 25 рублей за каждый километр. Какие величины здесь изменяются, а какая зависит от другой? Как обозначить их?" Учитель напоминает: "Нам важно не сразу считать, а сначала понять, что именно описывает условие." | Называют величины: расстояние и стоимость; предлагают обозначения $x$ — расстояние в километрах, $y$ — стоимость в рублях; отвечают: "Стоимость зависит от расстояния". |
2 мин | Учитель просит представить зависимость тремя способами: "Запишите формулу, назовите возможную таблицу и объясните, что покажет график. Какой вид имеет зависимость?" | Записывают $y=25x+100$, предлагают значения $x=0,1,2$ и соответствующие значения $y=100,125,150$, формулируют: "График — прямая, зависимость линейная". |
1 мин | Учитель задаёт вопрос с фиксацией затруднения: "Если я изменю условие и скажу, что поездка не может быть короче 2 км и длиннее 20 км, что изменится в записи?" | Отвечают: "Появится область допустимых значений: $2\leq x\leq20$"; отмечают, что модель должна учитывать ограничения реальной ситуации. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «В математической задаче важно определить величины, зависимость между ними и допустимые значения. Одна зависимость может быть представлена словесно, таблицей, формулой или графиком».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как переводить текст в формулу и таблицу, но пока не назвали общий способ такой работы. Сейчас обнаружим, какое понятие объединяет все эти действия."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске четыре изображения одного объекта: фотографию велосипеда, его чертёж, таблицу проката и формулу стоимости аренды: "Перед вами один объект — велосипедная поездка, но описана она четырьмя способами. Все ли способы одинаково полезны? Что в каждом из них сохраняется, а что отбрасывается?" | В парах сравнивают изображения и формулируют: "Сохраняются важные свойства и связи, а мелкие детали не нужны"; приводят назначение каждого представления. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему одна ситуация может иметь несколько моделей? Какой вопрос нужно решить, чтобы не запутаться? Предложите план урока из трёх шагов." Учитель фиксирует ответы на доске. | Формулируют цель: "Узнать, что такое модель; научиться классифицировать модели; построить математическую модель". Записывают план урока из трёх пунктов. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, наша задача — не выучить несколько терминов, а научиться выбирать подходящее представление объекта. Начнём с определения и постепенно проверим его на знакомых примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия модели, моделирования и основных классификаций моделей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Сократовский диалог»: "Если глобус изображает Землю, является ли он самой Землёй? Какие свойства Земли он передаёт? А какие не передаёт? Значит, модель — это что?" После ответов учитель записывает определение: «Модель — это упрощённое представление объекта, сохраняющее существенные для данной цели свойства и связи». | Отвечают: "Глобус не является Землёй, он изображает её форму и расположение материков"; формулируют: "Модель сохраняет не всё, а только важное для цели"; записывают определение. |
3 мин | Учитель показывает карточки «макет дома», «карта», «расписание», «график», «формула»: "Разложим модели по форме представления. Какие модели можно потрогать? Какие передают информацию словами, рисунком, таблицей или формулой?" Учитель вводит классификацию: материальные и информационные; информационные — словесные, графические, табличные, математические. | Распределяют карточки: макет — материальная модель; карта и график — графические информационные; расписание — табличная; формула — математическая; приводят собственные примеры. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос о времени: "На фотографии класса состояние зафиксировано в один момент. На графике изменения температуры показано, как величина менялась в течение суток. Как разделить модели по изменению во времени?" | Отвечают: "Фотография — статическая модель, график изменения температуры — динамическая"; записывают классификацию. |
2 мин | Учитель уточняет: "Одна и та же модель может быть классифицирована сразу по нескольким основаниям. Например, график движения — информационная, математическая и динамическая модель. Почему это не противоречие?" | Объясняют: "Каждое основание отвечает на свой вопрос: из чего или как представлена модель и меняется ли она во времени". |
Запись в тетрадях
- Модель — упрощённое представление объекта, сохраняющее существенные для цели свойства и связи.
- Моделирование — создание и исследование моделей.
- По форме представления модели бывают материальными и информационными; информационные — словесными, графическими, табличными и математическими.
- По изменению во времени модели бывают статическими и динамическими.
- Математическая модель описывает объект или ситуацию с помощью величин, формул, уравнений, неравенств, таблиц и графиков.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть словарь и основания классификации. Следующий шаг — проверить, умеем ли мы применять эти понятия, а не только воспроизводить определения."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить классификацию моделей и научиться аргументировать выбранный вид.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре комплект карточек и объясняет приём «Классификационная корзина»: "На каждой карточке описана модель. Ваша задача — определить объект-оригинал, вид модели по форме представления и, если возможно, её вид по изменению во времени. На обороте запишите одно предложение-обоснование. Время — четыре минуты." | Читают инструкцию, распределяют роли: один читает карточки, второй фиксирует классификацию. |
4 мин | Учитель предлагает карточки: «глобус», «план эвакуации», «таблица роста растения по дням», «формула площади круга», «макет моста», «график движения автомобиля». Обходит пары и задаёт вопросы: "Какое свойство здесь существенно? Можно ли эту модель назвать математической? Меняется ли описываемый объект во времени?" | Классифицируют карточки и записывают обоснования: «график движения — информационная математическая динамическая модель, потому что показывает зависимость координаты или пути от времени». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три позиции: назван объект, указано основание классификации, есть объяснение. Если не согласны, поставьте стикер с вопросом, а не исправляйте молча." | Проверяют работу другой пары по трём критериям, ставят стикер у спорного ответа и обсуждают расхождения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что правильный ответ состоит не только из названия вида модели, но и из объяснения основания. Теперь применим классификацию к задаче, где модель придётся построить самостоятельно."
Этап 6. Построение математической модели практической ситуации (7 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм построения и проверки математической модели на задаче с реальным контекстом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет условие целиком: "Для школьной поездки автобус арендуют за 6000 рублей. Дополнительно каждый участник платит 350 рублей за входной билет. Запишите выражение для общей стоимости поездки $S$, если в поездке участвуют $n$ человек. Укажите смысл переменной и её допустимые значения." Учитель напоминает алгоритм: объект и цель — величины — связь — ограничения — проверка. | Выделяют объект: стоимость поездки; вводят $n$ — число участников, $S$ — общая стоимость; составляют модель $S=6000+350n$; указывают $n\in\mathbb{N}$, $n\geq1$. |
3 мин | Учитель просит применить модель: "Сколько заплатят организаторы, если участвуют 20 человек? Сколько человек можно пригласить, если бюджет составляет 13000 рублей? Сначала составьте математические записи, затем объясните результат словами." | Вычисляют $S=6000+350\cdot20=13000$ рублей; для бюджета составляют $6000+350n\leq13000$, получают $350n\leq7000$, $n\leq20$; формулируют: "Можно пригласить не более 20 участников". |
2 мин | Учитель обсуждает проверку: "Почему ответ $n=20,5$ невозможен? Почему нельзя забывать о фиксированной плате 6000 рублей? Какие данные модель учитывает, а какие намеренно не учитывает?" | Отвечают: "Число людей должно быть целым; фиксированная плата входит в общую стоимость; модель не учитывает транспортные задержки и дополнительные расходы, потому что их нет в условии". |
Эталон решения
1. Обозначим через $n$ число участников, через $S$ — общую стоимость поездки. 2. Фиксированная часть равна 6000 рублей, переменная часть — $350n$ рублей. 3. Математическая модель: $S=6000+350n$, где $n\in\mathbb{N}$ и $n\geq1$. 4. При $n=20$: $S=6000+350\cdot20=6000+7000=13000$. 5. При бюджете 13000 рублей: $6000+350n\leq13000$, откуда $n\leq20$. Следовательно, максимально возможно 20 участников.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили модель по алгоритму и проверили её ограничения. Именно такой порядок — выделить величины, установить связь, решить и интерпретировать — помогает уверенно справляться с практическими заданиями ОГЭ."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание классификации и моделирования, предоставив задания трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, с которого начнёте. Базовый обязателен для всех; затем можно перейти к повышенному. Перед решением подчеркните в условии величины и связь между ними. На работу четыре минуты." | Выбирают карточку, записывают обозначения величин и приступают к решению индивидуально. |
3 мин | Учитель предлагает задания: базовый — классифицировать «расписание уроков» и «формулу площади прямоугольника»; повышенный — составить модель стоимости покупки из фиксированной доставки 200 рублей и 80 рублей за товар; дополнительный — объяснить, почему график изменения курса валюты является динамической математической моделью. | Решают индивидуально. В повышенном задании составляют $C=200+80x$, где $x$ — число товаров, и объясняют смысл коэффициентов. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску: "Сверьте не только ответ, но и ход рассуждения. Поставьте плюс рядом с верным шагом, вопрос — рядом с местом затруднения. Ошибка сейчас — это диагностический сигнал, а не повод тревожиться перед ОГЭ." | Сверяют работу с эталоном, исправляют одну ошибку цветной ручкой, отмечают в листе самооценки, какой шаг алгоритма требует повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что вы уже умеете узнавать модели и записывать простую зависимость. Осталось собрать знания в общую систему и сформулировать, что именно вы теперь можете делать."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, зафиксировать уровень освоения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если можете объяснить, что такое модель, и построить формулу по условию; жёлтый — если понимаете идею, но путаетесь в классификации; красный — если нужен разбор с учителем. Это не отметка, а способ выбрать помощь." | Поднимают стикер соответствующего цвета и фиксируют в листе самооценки один конкретный вопрос. |
1 мин | Учитель просит заполнить «Билет на выход»: "Одним предложением ответьте: чем математическая модель отличается от объекта-оригинала? Вторым предложением запишите пример модели и укажите её классификацию по двум основаниям." | Пишут ответы на стикере и сдают его при выходе. |
1 мин | Учитель кратко объясняет три уровня домашней работы и напоминает: "Выберите обязательный уровень, а затем — следующий по готовности. Цель не в количестве, а в правильном построении и проверке модели." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно классифицированы не менее пяти из шести карточек, для каждого спорного примера указано основание классификации, математическая модель задачи записана без ошибок, переменные и ограничения объяснены.
- «4» — верно классифицированы не менее четырёх карточек, математическая модель составлена правильно, но допущена одна неточность в названии вида модели или интерпретации ограничения.
- «3» — верно классифицированы не менее трёх карточек, записана основная зависимость в практической задаче, но требуется исправление одного существенного элемента: обозначения величины, ограничения или пояснения результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое модель и почему она не совпадает с объектом-оригиналом? | Проверка осознанности основного понятия и понимания принципа существенных свойств. |
По какому основанию вы классифицировали выбранную карточку? | Выявление умения различать основание классификации и сам результат. |
Какой шаг построения математической модели оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения в алгоритме: выбор переменных, установление связи или проверка. |
Где в заданиях ОГЭ или реальной жизни может пригодиться моделирование? | Осознание практической ценности темы и снижение тревожности перед применением алгоритма. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что модель — это не копия объекта, а его целенаправленное упрощённое описание. Вы научились различать материальные и информационные, статические и динамические модели, а также составили формулу для реальной ситуации. Самая частая ошибка — сразу начинать вычисления, не определив величины и их связь, поэтому сначала выделяйте данные и только потом записывайте модель. На следующем уроке мы продолжим работать с математическими моделями, таблицами, формулами и графиками и потренируемся выбирать подходящую модель для решения задачи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания на классификацию моделей: определить объект-оригинал, вид модели по форме представления и статический или динамический характер. Составить одну простую математическую модель по бытовой ситуации, например зависимости стоимости покупки от количества одинаковых товаров. | Закрепляет термины и алгоритм выделения величин; при проверке обратить внимание на наличие обоснования и допустимых значений переменной. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи практического содержания на составление линейной модели: тариф, покупка, поездка или расход материала. Для каждой записать обозначения, формулу, ограничение и ответ словами. | Формирует навык перевода текста в формулу и интерпретации результата; при проверке смотреть, учтена ли фиксированная и переменная части. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать одну жизненную ситуацию, которую можно описать двумя разными моделями, например таблицей и формулой или графиком и формулой. Представить обе модели и объяснить, какая информация в каждой видна лучше. | Развивает умение сравнивать модели и выбирать способ представления под цель; при проверке оценить корректность данных и аргументацию выбора. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют моделью? Чем математическая модель отличается от словесной? Какие две классификации моделей мы использовали? Какие три действия нужно выполнить перед решением практической задачи? Почему результат модели необходимо проверить на соответствие реальной ситуации?»
