Приближённое вычисление площадей
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться приближённо вычислять площадь фигур сложной формы способом разбиения на знакомые фигуры или подсчёта квадратных единиц, записывать результат с обозначением единицы площади и объяснять точность полученной оценки.
- Сформировать представление о том, что площадь фигуры неправильной формы можно оценить приближённо, используя палетку, сетку или разбиение на прямоугольники и квадраты.
- Научить применять новый способ при решении практической задачи, связанной с планом школьной территории.
- Развивать умение сравнивать способы решения, находить неточности и аргументированно выбирать наиболее удобный способ.
- Воспитывать аккуратность измерений, интерес к математике, готовность сотрудничать в паре и бережное отношение к школьному пространству.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию реального объекта и понимают практическую ценность вычисления площади.
- Осознают важность аккуратности, взаимопомощи и честной проверки результата.
- Принимают учебную задачу и оценивают собственный вклад в работу пары.
- Проявляют ответственное отношение к общему школьному пространству.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют известные геометрические фигуры в фигуре сложной формы, сравнивают способы вычисления и делают вывод.
- Регулятивные: принимают цель, планируют последовательность действий, проверяют результат по образцу и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: распределяют роли в паре, задают вопросы, объясняют ход решения и согласовывают общий ответ.
- Работают с изображением, условными обозначениями, таблицей результатов и математическим текстом.
- Используют элементы естественно-научной и математической грамотности при оценке площади реального объекта.
Предметные
- Знать единицы площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр.
- Понимать различие между точным и приближённым значением площади.
- Уметь находить площадь прямоугольника и квадрата и использовать эти знания при разбиении сложной фигуры.
- Уметь подсчитывать целые и неполные клетки на квадратной сетке и получать приближённую оценку площади.
- Уметь записывать ответ с единицей площади и объяснять возможную погрешность результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение практической задачи.
- Связывают математические действия с заботой о школьной территории.
- Проявляют познавательный интерес к способам измерения.
- Оценивают, удалось ли работать внимательно и доброжелательно.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель по результатам проблемной ситуации.
- Планируют действия: рассмотреть сетку, выделить целые клетки, объединить части клеток, проверить результат.
- Используют самопроверку по критериям.
- Находят и исправляют ошибку в подсчёте или записи единицы площади.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки фигуры и математической модели.
- Сравнивают площадь по количеству квадратных единиц.
- Моделируют фигуру на клетчатой сетке и преобразуют неполные клетки в целые.
- Формулируют вывод о причинах приближённости результата.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли: измеритель, счётчик клеток, записывающий, проверяющий.
- Обсуждают решение в паре и формулируют общий ответ.
- Используют математические термины: площадь, квадратная единица, целая клетка, неполная клетка.
- Корректно задают уточняющие вопросы и принимают обоснованное решение партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения трёх фигур сложной формы на квадратной сетке: остров, клумба и план школьного участка.
- Вывести на доску памятку: «1. Считаю целые клетки. 2. Объединяю неполные клетки. 3. Записываю приближённую площадь. 4. Проверяю единицу площади».
- Распечатать карточки с практической задачей трёх уровней: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные листы самооценки и маленькие листочки для билета на выход — по одному на каждого ученика.
- Подготовить линейки, простые карандаши, цветные карандаши и клетчатые тетради.
- Подготовить крупную квадратную сетку на доске или интерактивной доске.
- Для физкультминутки подготовить четыре карточки-команды: «квадрат», «прямоугольник», «целая клетка», «неполная клетка».
- Подобрать в учебнике задания на площадь прямоугольника и работу с клетчатой сеткой без указания номеров и страниц.
- Организовать рабочие места по парам, освободить небольшой участок перед доской для двигательной паузы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и вызвать интерес к практической проблеме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка и цветной карандаш должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и внимательный взгляд исследователя." | Проверяют принадлежности, садятся по парам, записывают дату. |
3 мин | Учитель показывает на экране план клумбы неправильной формы на клетчатой сетке и говорит: "Представьте, что школьники хотят узнать, сколько квадратных метров занимает эта клумба. Линейкой провести точные стороны невозможно: край неровный. Как вы думаете, можно ли всё же узнать её площадь? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь идеей." Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала формулируют собственную гипотезу, затем обсуждают её в паре и предлагают варианты: «можно посчитать клетки», «можно разделить фигуру на части», «точно узнать трудно, но можно оценить». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы предложили два важных способа: использовать сетку и разделить фигуру на знакомые части. Сейчас проверим, как превратить эти идеи в точный алгоритм приближённого вычисления."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о площади прямоугольника, квадрата и единицах площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске фигуру размером 4 на 3 клетки и спрашивает: "Как называется величина, которая показывает, сколько места занимает фигура? Как найти площадь прямоугольника? Какая единица площади получится, если сторона клетки равна 1 сантиметру?" Затем напоминает формулу: $S=a\cdot b$. | Отвечают: «Площадь», «длину умножить на ширину», «квадратный сантиметр». Записывают формулу $S=a\cdot b$ и вычисляют $4\cdot3=12$ квадратных единиц. |
3 мин | Учитель показывает квадрат, разделённый на клетки, и говорит: "Посмотрите, каждая клетка — это одна квадратная единица. Если часть фигуры занимает половину клетки, как можно поступить при оценке площади? Предложите правило, но помните: это пока только предположение." | В парах обсуждают и формулируют: «две половины можно объединить в одну целую клетку», «части клеток можно примерно сложить». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что площадь измеряется квадратными единицами и что площадь прямоугольника можно вычислить умножением. Теперь выясним, как действовать, если фигура не является прямоугольником."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает фигуру, край которой проходит через клетки, и спрашивает: "Попробуйте назвать её длину и ширину так, чтобы сразу применить формулу площади прямоугольника. Получается ли это сделать без большой погрешности? Что мешает?" | Рассматривают изображение, объясняют: «фигура не прямоугольная», «граница проходит через клетки», «части нельзя измерить обычным способом». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске вопрос: «Как приближённо найти площадь фигуры сложной формы?» и говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Начните со слов: «Мы научимся…»" | Формулируют цель: «Мы научимся приближённо вычислять площадь фигуры по клеткам и частям знакомых фигур». Записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не потому, что площадь нельзя найти, а потому, что фигура имеет неровную границу. Наша задача — подобрать удобную модель и оценить площадь достаточно близко к действительной."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование в парах (10 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм приближённого вычисления площади по квадратной сетке и разбиением на части.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с фигурой на сетке и говорит: "Работаем в парах. Один ученик будет считать целые клетки, второй — отмечать неполные. Затем поменяйтесь ролями и проверьте друг друга. Сначала обведите фигуру, не меняя её границу." | Распределяют роли, обводят фигуру, находят и отмечают целые клетки. |
4 мин | Учитель направляет исследование: "Теперь посчитайте неполные клетки. Объединяйте части, которые вместе дают примерно целую клетку. Не стремитесь к мнимой точности: результат будет оценочным. Запишите выражение и единицу площади." | Складывают неполные клетки, например 8 целых клеток и приблизительно 6 половин: $8+6:2=11$ квадратных единиц. Записывают ответ: «примерно 11 квадратных единиц». |
4 мин | Учитель демонстрирует второй способ на доске: "Иногда фигуру удобно разделить на прямоугольники. Рассмотрим фигуру, состоящую из прямоугольника размером 4 на 2 клетки и треугольной части, которую оценим как 2 клетки. Площадь основной части равна $4\cdot2=8$, вся площадь приблизительно $8+2=10$ квадратных единиц. Сравните этот способ с подсчётом клеток: какой удобнее для данной фигуры и почему?" | Сравнивают два способа, объясняют: «по клеткам удобнее для неровной границы», «разбиение удобно, если видны прямоугольники». Формулируют алгоритм из четырёх шагов. |
Запись в тетрадях
- Приближённая площадь — это оценка площади фигуры, полученная не абсолютно точно, а с допустимой погрешностью.
- Алгоритм: 1) посчитать целые клетки; 2) объединить неполные клетки; 3) сложить полученные значения; 4) записать «примерно» и единицу площади.
- Для сложной фигуры можно выделить прямоугольники и квадраты, найти их площади и сложить приблизительные значения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли общий способ: заменяем сложную фигуру удобной математической моделью, считаем квадратные единицы и обязательно отмечаем, что результат приближённый. Теперь потренируемся выполнять алгоритм без подсказки учителя."
Этап 5. Физкультминутка «Геометрические движения» (3 мин)
Цель этапа: снять зрительное и мышечное напряжение, закрепить математические термины через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. Когда я называю квадрат, покажите его руками; когда называю прямоугольник, вытяните руки в стороны; на слова «целая клетка» сделайте шаг вперёд, на слова «неполная клетка» — шаг назад. Будьте внимательны: команды будут чередоваться быстрее." | Выполняют движения по командам, проговаривают термины: «квадрат», «прямоугольник», «целая клетка», «неполная клетка», возвращаются к рабочим местам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и ещё раз повторили ключевые понятия. Садимся, берём карандаши и применяем алгоритм к новой фигуре."
Этап 6. Первичное закрепление и творческое задание (10 мин)
Цель этапа: закрепить способ вычисления площади в парной практической и творческой работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточку: "На плане школьного двора клумба изображена на сетке. Одна клетка соответствует 1 квадратному метру. Внутри границы 14 целых клеток и 10 неполных клеток, которые можно объединить примерно в 5 целых. Найдите приближённую площадь клумбы и объясните, почему ответ нельзя назвать точным." | В парах вычисляют $14+5=19$ и записывают: «площадь клумбы примерно 19 квадратных метров». Объясняют, что неполные клетки оценены приблизительно. |
3 мин | Учитель предлагает творческое задание: "Придумайте собственную клумбу или площадку на сетке размером не менее 5 на 5 клеток. Проведите неровную границу, закрасьте фигуру, подсчитайте её приближённую площадь и придумайте название. На карточке укажите способ подсчёта." | Создают на клетчатом листе фигуру, закрашивают её, подсчитывают целые и неполные клетки, записывают название и приближённую площадь. |
3 мин | Учитель организует мини-выставку: "Поменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте решение по трём вопросам: есть ли единица площади, указано ли слово «примерно», совпадает ли подсчёт клеток с рисунком. Напишите партнёрам две сильные стороны и одно пожелание." | Обмениваются карточками, проверяют по критериям, записывают две положительные отметки и один совет, возвращают работу авторам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы не только применили алгоритм, но и создали собственную математическую модель. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу, чтобы проверить личное понимание темы."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение обосновать приближённость ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт индивидуальные задания: "На рисунке изображена фигура на сетке. В ней 12 целых клеток и 8 неполных клеток, которые примерно составляют 4 целых. Запишите приближённую площадь. Затем ответьте: почему нельзя написать знак равенства без слова «примерно»?" | Индивидуально вычисляют $12+4=16$, записывают «примерно 16 квадратных единиц», объясняют влияние неполных клеток. |
2 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только число, но и оформление. В правильном решении есть количество целых клеток, оценка неполных клеток, итог и единица площади." | Сверяют решение, подчёркивают место ошибки, исправляют её и ставят себе знак «+» или «?» в листе самооценки. |
Эталон решения
1) Целых клеток — 12. 2) 8 неполных клеток принимаем примерно за 4 целых. 3) $12+4=16$. 4) Ответ: площадь фигуры примерно равна 16 квадратным единицам. Знак равенства не используют как утверждение о точном значении, поскольку части клеток были объединены оценочно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что важен не только итоговый ответ, но и весь порядок действий. Осталось осмыслить, чему мы научились и где этот способ может пригодиться."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и объяснить практическое применение нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На маленьком листке закончите два предложения: «Сегодня я научился…» и «Мне нужно ещё потренироваться…». Затем ответьте: если край парка неровный, какой способ вычисления площади вы выберете?" | Записывают личный результат, называют способ: «посчитаю клетки и объединю неполные» или «разделю фигуру на прямоугольники». |
1 мин | Учитель говорит: "Покажите пальцами от одного до трёх, насколько уверенно вы умеете находить приближённую площадь: один — нужна помощь, два — могу с подсказкой, три — могу объяснить другому. Домашнее задание выберите по уровню." | Показывают самооценку, фиксируют выбранный уровень домашнего задания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились оценивать площадь неровной фигуры по квадратной сетке и разбиением на знакомые части. Важно помнить: приближённый ответ требует слова «примерно» и единицы площади. На следующем уроке мы продолжим решать практические задачи на площадь и сравним точность разных способов."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены целые и неполные клетки, правильно получена приближённая площадь, указана единица измерения, объяснена причина неточности; творческая фигура имеет границу, название и понятный способ подсчёта.
- «4» — способ выбран верно, но допущена одна неточность в подсчёте или оформлении, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- «3» — выполнена основная часть подсчёта с помощью партнёра или подсказки, но есть ошибки в объединении неполных клеток, записи единицы площади или объяснении приближённости.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вычислении площади сложной фигуры? | Выявление осознания нового способа и его отличия от точного вычисления площади прямоугольника. |
Как вы обращались с неполными клетками? | Проверка понимания ключевого действия алгоритма. |
Что оказалось труднее: считать клетки, объединять части или объяснять ответ? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Где в жизни может пригодиться приближённое вычисление площади? | Связь учебного материала с практикой и развитие функциональной грамотности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы работали как настоящие исследователи: рассматривали фигуру, выбирали способ, считали квадратные единицы и проверяли результат. Мы выяснили, что неровную границу не обязательно измерять идеально, чтобы получить полезную оценку площади. Запомните типичную ошибку: нельзя забывать слово «примерно» и единицу площади. На следующем уроке мы сравним разные способы разбиения фигур и будем решать новые практические задачи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания на вычисление площади фигур, изображённых на квадратной сетке: посчитать целые клетки, объединить неполные и записать приближённый ответ с единицей площади. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на подсчёт клеток, слово «примерно» и единицы площади. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания: две фигуры оценить по клеткам, а две разделить на прямоугольники и квадраты; сравнить полученные способы в короткой записи. | Формирует умение выбирать удобный способ и применять формулу площади прямоугольника. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать план небольшой площадки или клумбы на клетчатой бумаге, обозначить масштаб, вычислить приближённую площадь двумя способами и написать, какой результат считает более надёжным и почему. | Развивает моделирование, творческое мышление, аргументацию и математическую грамотность. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют приближённой площадью? Как считают целые и неполные клетки? Почему в ответе нужно написать «примерно»? В каких случаях удобнее разделить фигуру на прямоугольники?»
