Шестнадцатеричная система счисления и арифметические операции в двоичной системе счисления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся объяснят принцип записи чисел в шестнадцатеричной системе, выполнят не менее четырёх переводов между двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системами и решат не менее трёх примеров на сложение и вычитание двоичных чисел с проверкой результата.
- Сформировать представление о цифрах и разрядах шестнадцатеричной системы счисления, включая обозначения A–F для чисел от 10 до 15.
- Научить переводить числа из шестнадцатеричной системы в десятичную и двоичную, а также выполнять обратный перевод двоичных тетрад в шестнадцатеричные цифры.
- Отработать алгоритмы сложения и вычитания двоичных чисел с переносом и заёмом.
- Развивать умение выбирать способ решения, работать в паре, аргументировать ответ и проверять вычисления обратным переводом.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность систем счисления для программирования, представления адресов памяти и цветовых кодов.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки результата.
- Понимают значение аккуратности записи разрядов и ответственного отношения к цифровой информации.
- Уважительно обсуждают разные способы решения и принимают обоснованную позицию одноклассника.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки позиционной системы счисления и устанавливают связь между двоичной и шестнадцатеричной системами.
- Планируют последовательность перевода и арифметического действия, прогнозируют результат и выполняют самопроверку.
- Работают с таблицей соответствий, алгоритмом и условием задачи, преобразуют информацию из одной формы в другую.
- Формулируют вопросы, договариваются о распределении действий в паре и аргументируют полученный ответ.
Предметные
- Знать основание шестнадцатеричной системы, набор её цифр и правило записи разрядов.
- Уметь переводить целые числа из шестнадцатеричной системы в десятичную по разрядной формуле.
- Уметь переводить двоичные числа в шестнадцатеричные группировкой справа налево по четыре разряда и выполнять обратное преобразование.
- Уметь складывать и вычитать двоичные числа, соблюдая правила переноса и заёма.
- Владеть приёмом проверки вычисления переводом результата в десятичную систему.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения систем счисления через связь с кодированием, компьютерной графикой и будущими профессиями.
- Оценивают собственную готовность выполнять вычисления без подсказки.
- Проявляют настойчивость при исправлении ошибки в разрядной записи.
- Осознают, что точность результата зависит от соблюдения алгоритма.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и критерии успешного выполнения заданий.
- Планируют перевод числа по шагам: определить основание, разложить или сгруппировать разряды, вычислить и проверить.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и корректируют запись.
- Оценивают результат по количеству правильно выполненных переводов и арифметических действий.
Познавательные УУД
- Сравнивают двоичную, десятичную и шестнадцатеричную системы по основанию и набору цифр.
- Строят соответствие между двоичными тетрадами и шестнадцатеричными цифрами.
- Применяют разрядную формулу и алгоритмы письменного вычисления.
- Используют обратное преобразование как способ контроля достоверности ответа.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один выполняет действие, второй контролирует разряды и объясняет шаги.
- Задают уточняющие вопросы: «Почему группа начинается именно справа?» и «Откуда появился перенос?»
- Представляют решение классу и отвечают на вопросы одноклассников.
- Корректно указывают на ошибку, предлагая способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную таблицу соответствий: десятичные числа 0–15, двоичные тетрады и шестнадцатеричные цифры 0–9, A–F.
- Записать на доске или подготовить слайд с разрядной формулой: $a_n\cdot p^n+...+a_1\cdot p+a_0$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару с заданиями трёх уровней, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы: один лист на каждого ученика и два запасных.
- Подготовить карточки со знаками «+», «−» и «=» для быстрой проверки правил двоичной арифметики.
- Вывести на экран проблемный пример: $1011_2+110_2$ и вопрос «Как выполнить вычисление, если привычных цифр 2–9 нет?».
- Подготовить таймер на 3–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Подготовить слайд с эталонами переводов и отдельный слайд с правилами переноса и заёма в двоичной системе.
- Организовать свободное место для короткой физкультминутки с движениями по разрядам.
- Подготовить лист рефлексии с вопросами и цветными карточками для приёма «Светофор».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для работы. Сегодня вы будете не просто выполнять вычисления, а попробуете действовать как разработчики компьютерных систем: выбирать удобную запись числа и проверять надёжность результата." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране фрагмент записи цвета или адреса памяти: "Перед вами запись, в которой встречаются цифры и буквы A, F. Как вы думаете, это ошибка или специальный способ записи? Где компьютер может использовать такую запись?" Учитель принимает гипотезы и сообщает: "Сегодня мы выясним, почему шестнадцатеричная система удобна для компьютеров, а также научимся считать в двоичной системе." | Рассматривают запись, предлагают гипотезы: "Это код цвета", "Это адрес в памяти", "Это число в другой системе". Формулируют предварительный вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что привычная десятичная запись — не единственный способ представить число. Теперь вспомним, как устроены позиционные системы и какие правила двоичной записи уже умеем применять."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о основании системы счисления, разрядах и переводе двоичных чисел в десятичные.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Быстрый опрос»: "Что показывает основание системы счисления? Сколько цифр используется в двоичной системе? Какую степень двойки имеет крайний правый разряд?" Учитель фиксирует краткие ответы на доске. | Отвечают: "Основание показывает количество используемых цифр и вес разрядов", "В двоичной системе две цифры: 0 и 1", "Крайний правый разряд имеет вес $2^0$". |
3 мин | Учитель предлагает вычислить устно и затем кратко записать: $1011_2$, $1101_2$. "Разложите числа по степеням двойки. Объясните соседу, почему нули не дают вклада в сумму." Учитель вызывает одну пару для комментария. | В парах раскладывают числа: $1011_2=1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=11_{10}$; $1101_2=13_{10}$. Объясняют роль нулевых разрядов. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Основание позиционной системы определяет набор цифр и веса разрядов. В двоичной системе основание $p=2$, используются цифры 0 и 1».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем читать двоичную запись через степени двойки. Но пока не знаем, как связать с ней шестнадцатеричные цифры A–F и как выполнять двоичные действия. Зафиксируем затруднение и поставим цель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить способы решения учебной проблемы и совместно сформулировать план урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $2A_{16}$ и $1010_2+111_2$. "Попробуйте объяснить, что означает буква A в первом числе и как сложить второе выражение, не переходя сразу к десятичной системе. Что нам нужно узнать?" Учитель собирает ответы в кластер «Знать — Уметь». | Формулируют затруднения: "Нужно узнать значения букв A–F", "Нужно понять связь четырёх двоичных разрядов с одной шестнадцатеричной цифрой", "Нужно вспомнить правила переноса при сложении". |
2 мин | Учитель предлагает план: "Сначала построим таблицу соответствий, затем научимся переводить числа, после этого выполним двоичное сложение и вычитание, а в конце проверим результат обратным переводом. Выберите: решать базовую карточку или карточку с дополнительным заданием." | Записывают план урока, выбирают уровень карточки, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нам нужно научиться читать новую запись и выполнять действия в двоичной системе. Начинаем с самого удобного инструмента — таблицы соответствий от 0 до 15."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правила шестнадцатеричной записи и установить связь одной шестнадцатеричной цифры с четырьмя двоичными разрядами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует таблицу: "В шестнадцатеричной системе основание $p=16$. Для чисел от 0 до 9 используются привычные цифры, а для 10–15 — буквы A, B, C, D, E, F. Посмотрите на таблицу и проговорите пары: $10_{10}=A_{16}$, $11_{10}=B_{16}$, ..., $15_{10}=F_{16}$." Учитель задаёт вопрос: "Почему после F нельзя записать новую цифру?" | Читают таблицу, называют соответствия. Отвечают: "Потому что цифры шестнадцатеричной системы должны иметь значения от 0 до 15, а после 15 начинается следующий разряд". |
3 мин | Учитель показывает разрядную формулу: "Число $2A_{16}$ читаем так: $2\cdot16^1+10\cdot16^0=42_{10}$. Обратите внимание: буква A заменяется числом 10, но сохраняет позицию разряда." Затем предлагает паре объяснить запись $3F_{16}$. | В парах вычисляют: $3F_{16}=3\cdot16+15=63_{10}$. Один ученик объясняет разрядную формулу, второй контролирует замену F на 15. |
3 мин | Учитель объединяет системы: "Каждая шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными разрядами, потому что $16=2^4$. Найдите по таблице: A — это $1010_2$, F — это $1111_2$. Чтобы перевести $11010110_2$, разделите запись справа налево на тетрады: $1101\ 0110$." | Группируют двоичную запись, получают $1101_2=D_{16}$ и $0110_2=6_{16}$, формулируют ответ: $11010110_2=D6_{16}$. Отмечают, что слева при необходимости добавляются нули до полной тетрады. |
Запись в тетрадях
- В шестнадцатеричной системе основание $p=16$, используются цифры 0–9 и буквы A–F.
- $A_{16}=10_{10}$, $B_{16}=11_{10}$, $C_{16}=12_{10}$, $D_{16}=13_{10}$, $E_{16}=14_{10}$, $F_{16}=15_{10}$.
- Одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам.
- Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное запись группируют справа налево по четыре разряда.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два связанных правила: шестнадцатеричное число можно разложить по степеням 16, а двоичное — быстро сгруппировать по четыре разряда. Теперь применим эти правила в парной работе и проверим, насколько точно умеем объяснять шаги."
Этап 5. Физкультминутка «Разряды в движении» (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение и закрепить структуру двоичной тетрады через короткую двигательную активность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Я называю двоичный разряд: $2^0$, $2^1$, $2^2$, $2^3$. На каждый разряд делаем один шаг вправо, а если называю цифру 1 — поднимаем руки, если 0 — приседаем. Тетрада $1010$ будет такой: первый разряд — руки вверх, второй — приседание, третий — руки вверх, четвёртый — приседание. Выполним ещё $0111$." | Повторяют последовательность движений, проговаривают: "$1010_2=A_{16}$", "$0111_2=7_{16}$". Возвращаются к рабочим местам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили внимание и ещё раз увидели, что одна тетрада кодирует одну шестнадцатеричную цифру. Переходим к парной тренировке, где каждый будет и решающим, и контролёром."
Этап 6. Первичное закрепление. Парная работа (8 мин)
Цель этапа: отработать переводы между системами и научиться объяснять последовательность действий партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки: "В каждой паре один ученик сначала становится Решающим, второй — Контролёром. Через четыре минуты поменяйтесь ролями. Контролёр не называет ответ сразу, а задаёт вопросы: «Какое основание?», «Какую тетраду выделяем?», «Как проверим?»" | Распределяют роли, читают критерии: правильная запись, объяснение шага, проверка результата. |
4 мин | Учитель предлагает базовую карточку: "Выполните задания: 1) переведите $2B_{16}$ в десятичную систему; 2) переведите $11101100_2$ в шестнадцатеричную; 3) переведите $4F_{16}$ в двоичную. Записывайте промежуточные действия." Учитель консультирует пары, не сообщая готовый ответ. | Решают в парах. Получают: $2B_{16}=2\cdot16+11=43_{10}$; $11101100_2=EC_{16}$; $4F_{16}=0100\ 1111_2$. |
3 мин | Учитель предлагает повышенный выбор: "Кто завершил базовую карточку, выполните одно из двух заданий: переведите $A7_{16}$ в десятичную систему или объясните, почему $1001\ 1111_2=9F_{16}$. Две пары представят решение у доски." | Выбирают задание, оформляют решение. Представляют: $A7_{16}=10\cdot16+7=167_{10}$; $1001_2=9$, $1111_2=F$, поэтому $10011111_2=9F_{16}$. |
Эталон решения
$2B_{16}=2\cdot16^1+11\cdot16^0=32+11=43_{10}$. Для $11101100_2$ группируем разряды справа: $1110\ 1100$. По таблице $1110_2=E_{16}$, $1100_2=C_{16}$, значит $11101100_2=EC_{16}$. Для $4F_{16}$ заменяем каждую цифру: $4=0100_2$, $F=1111_2$, значит $4F_{16}=01001111_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы потренировались переводить числа в обе стороны и увидели, что группировка по четыре разряда быстрее полного разложения по степеням двойки. Теперь добавим арифметические действия и выясним, как перенос и заём работают в двоичной системе."
Этап 7. Арифметические операции в двоичной системе (7 мин)
Цель этапа: открыть и применить правила сложения и вычитания двоичных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает правила: "$0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=10_2$. Если складываем $1+1$, записываем 0 и переносим 1 в следующий разряд. Рассмотрим пример $1011_2+0110_2$. С какого разряда начинаем? Где появляется перенос?" | Отвечают: "Начинаем справа направо". Поразрядно получают: $1+0=1$, $1+1=10$ — пишем 0, переносим 1, $0+1+1=10$ — пишем 0, переносим 1, $1+0+1=10$. Результат $10001_2$. |
2 мин | Учитель показывает вычитание: "$0-1$ выполнить нельзя в текущем разряде, поэтому занимаем 1 из соседнего разряда. В двоичной системе заём превращает текущий разряд в $10_2$. Разберём $11010_2-00111_2$." | Записывают действие столбиком, отмечают заёмы, получают $10011_2$. |
2 мин | Учитель задаёт проверку: "Переведите оба результата в десятичную систему. Совпадает ли результат с обычным вычислением?" Учитель обращает внимание на обязательное выравнивание разрядов. | Переводят и проверяют: $1011_2=11$, $0110_2=6$, $10001_2=17$; $11010_2=26$, $00111_2=7$, $10011_2=19$. Формулируют вывод: результат подтверждён. |
Запись в тетрадях
- При сложении двоичных чисел действие выполняют справа налево; при $1+1$ записывают 0 и переносят 1.
- При вычитании $0-1$ занимают единицу из соседнего разряда; в текущем разряде появляется $10_2$.
- Перед вычислением двоичные записи выравнивают по правому краю.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы перенесли знакомые действия сложения и вычитания в систему с основанием 2. Ключевые ошибки — забытый перенос, заём и смещение разрядов. Сейчас каждый самостоятельно проверит, может ли выполнить алгоритм без поддержки пары."
Этап 8. Самостоятельная работа с самопроверкой (4 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение переводов и двоичной арифметики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Решите самостоятельно: 1) переведите $3C_{16}$ в десятичную систему; 2) переведите $10101111_2$ в шестнадцатеричную; 3) выполните $1101_2+1011_2$. Записывайте все промежуточные шаги. Не подсказывайте соседям." | Индивидуально решают: $3C_{16}=60_{10}$; $10101111_2=AF_{16}$; $1101_2+1011_2=11000_2$. |
1 мин | Учитель показывает эталон на экране и говорит: "Проверьте не только ответ, но и каждую промежуточную запись. Поставьте рядом с заданием плюс, если оно выполнено без ошибки, или знак вопроса, если нужна коррекция." | Сверяют решения, отмечают ошибки, исправляют их другим цветом, подсчитывают количество верных заданий. |
Эталон решения
$3C_{16}=3\cdot16+12=60_{10}$. $10101111_2=1010\ 1111_2=A F_{16}$. Для сложения: $1101_2+1011_2=11000_2$, поскольку справа налево возникают переносы: $1+1=10$, затем учитываются переносы в следующих разрядах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие действия уже стали уверенными, а какие требуют внимания. В конце урока мы не просто назовём тему, а сформулируем личный результат и способ, которым вы будете проверять себя дома."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осмыслить способы действия, выявить затруднения и зафиксировать дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно перевести число между двоичной и шестнадцатеричной системами и выполнить сложение; жёлтую — если нужен один пример-подсказка; красную — если пока путаете тетрады или переносы. В одной фразе завершите: «Сегодня я научился...»" | Поднимают цветную карточку, формулируют: "Я научился заменять тетраду одной шестнадцатеричной цифрой", "Я научился проверять сложение переводом в десятичную систему". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: чему равно F в десятичной системе и сколько двоичных разрядов соответствует одной шестнадцатеричной цифре?" | Записывают выбранный уровень, отвечают: "$F_{16}=15_{10}$", "Одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть связь между тремя системами счисления и выполнять двоичные действия по алгоритму. Сохраните лист самопроверки: он поможет понять, что повторить перед следующим уроком."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы или парной карточки, записаны промежуточные действия, правильно использованы буквы A–F, сложение проверено переводом или подробным разбором переносов.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх, допущена не более одной вычислительной ошибки, алгоритм перевода и выравнивание разрядов в целом соблюдены.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно задание, ученик понимает значение букв A–F и может выполнить перевод или двоичное действие с опорой на таблицу.
- Оценка может быть повышена за аргументированное объяснение решения партнёру и самостоятельное выполнение задания повышенного уровня.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о буквах A–F в шестнадцатеричной системе? | Проверка понимания набора цифр и их десятичных значений. |
Как вы группируете двоичное число перед переводом в шестнадцатеричную систему? | Выявление освоения алгоритма группировки справа налево по четыре разряда. |
На каком шаге сложения или вычитания двоичных чисел вы чаще всего ошибаетесь? | Выявление точек затруднения в переносе, заёме и выравнивании разрядов. |
Как вы можете проверить результат вычисления? | Осознание роли обратного перевода и самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы связали двоичную и шестнадцатеричную системы через тетраду из четырёх разрядов. Вы научились переводить числа, использовать буквы A–F и выполнять сложение и вычитание в двоичной системе. Помните о типичных ошибках: нельзя смешивать основания, забывать перенос или группировать двоичные цифры слева без выравнивания. На следующем уроке мы применим эти способы записи к задачам обработки информации и компьютерным кодам. Если сегодня у вас осталась жёлтая или красная карточка, начните повторение с таблицы 0–15 и двух разобранных алгоритмов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: перевести два числа из шестнадцатеричной системы в десятичную, два двоичных числа — в шестнадцатеричную; решить два примера на сложение двоичных чисел по образцу урока. | Закрепляет таблицу соответствий, группировку тетрад и правила переноса; при проверке смотреть на основание, выравнивание и промежуточные записи. |
Средний (повышающий) | Решить 3 комплексных задания: перевести шестнадцатеричные числа в двоичную систему, выполнить над полученными двоичными числами сложение или вычитание и проверить один результат переводом в десятичную систему. | Формирует умение применять несколько алгоритмов последовательно и обнаруживать собственные ошибки. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое объяснение с примером, почему шестнадцатеричная система удобна для записи двоичной информации, и составить собственную задачу на перевод или двоичную арифметику с решением. | Развивает создание математической модели, аргументацию и связь информатики с программированием и компьютерной графикой. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое значение имеет буква E в шестнадцатеричной системе?», «Сколько двоичных разрядов нужно для записи одной шестнадцатеричной цифры?», «Что записывают при сложении $1+1$ и что переносят в следующий разряд?», «Как проверить результат двоичного вычисления?»
