Задачи на комбинации хорд, касательных и секущих (урок закрепления)
Цели и задачи
- Цель: формирование навыков применения теорем о произведении отрезков хорд, о касательной и секущей при решении геометрических задач разного уровня сложности, в том числе в формате ОГЭ.
- Образовательная задача: систематизировать теоретические знания по теме «Окружность» и отработать алгоритмы решения комбинированных задач.
- Развивающая задача: развивать навыки логического обоснования шагов решения и умение выделять на чертеже ключевые конфигурации.
- Воспитательная задача: способствовать снижению экзаменационной тревожности через отработку типичных заданий ОГЭ (№16, №23).
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе собственных ошибок.
- Повышение уверенности в своих силах перед итоговой аттестацией.
Метапредметные
- Познавательные: умение структурировать знания, выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции своей деятельности.
- Коммуникативные: умение аргументированно представлять решение у доски и в диалоге с учителем.
Предметные
- Знать формулировки теорем об отрезках хорд, касательных и секущих.
- Уметь применять формулу $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ для пересекающихся хорд.
- Уметь применять формулу $MT^2 = MA \cdot MB$ для касательной и секущей.
- Владеть навыком решения текстовых задач по геометрии с построением чертежа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между изученным материалом и его практическим применением на экзамене).
- Оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Планирование последовательности действий при решении сложной задачи.
- Прогнозирование результата.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Построение логической цепи рассуждений.
- Смысловое чтение условия задачи.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Учебник: «Геометрия 7–9 классы», Л. С. Атанасян и др. (открыть стр. 170–175).
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 варианта сложности) — 25 экз.
- Подготовить презентацию с чертежами к задачам №666, №670 из учебника и задачами из открытого банка ФИПИ.
- Методические ресурсы: сайт «Решу ОГЭ» (раздел «Окружность, хорды, касательные»), методическое пособие И.В. Ященко.
- Инструменты: интерактивная доска, циркуль, линейка для доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, обозначить практическую значимость темы для ОГЭ.
Действие учителя | Действие учеников | Метапредметные УУД |
|---|---|---|
«Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня у нас важный урок-практикум...» | Приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку. | Регулятивные: волевая саморегуляция. |
«Посмотрите на слайд. Перед вами три чертежа без подписей...» | Рассматривают чертежи, записывают тему урока. | Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обозначили наши цели. Чтобы перейти к практике, давайте освежим в памяти наши главные инструменты — теоремы».
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос (7 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти ключевые формулы и условия их применимости.
Действие учителя | Действие учеников | Метапредметные УУД |
|---|---|---|
Организует фронтальный блиц-опрос по теории. Задает вопросы: «Сформулируйте теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд. Какое условие должно выполняться для точки пересечения?». Следит за точностью математической речи. | Ученик отвечает: «...произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой...» | Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. |
Предлагает проблемную ситуацию на чертеже (точка вне окружности). Задает вопрос: «Как изменится формула, если точка переместится во внешнюю область? Какая связь между квадратом касательной и отрезками секущей?». Помогает ученику у доски правильно обозначить отрезки. | Ученик выходит к доске, рисует чертеж и записывает формулу. Класс проверяет запись. | Познавательные: структурирование знаний, выбор эффективных способов решения. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Ученики фиксируют три базовые схемы:
1. $AE \cdot EB = CE \cdot ED$ (хорды)
2. $MC^2 = MA \cdot MB$ (касательная и секущая)
3. $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ (две секущие)
1. $AE \cdot EB = CE \cdot ED$ (хорды)
2. $MC^2 = MA \cdot MB$ (касательная и секущая)
3. $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ (две секущие)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Инструменты готовы. Переходим к их использованию. Начнем с классики из нашего учебника».
Этап 3. Решение задач базового уровня (10 мин)
Цель этапа: отработать применение одной формулы в стандартной ситуации (уровень части 1 ОГЭ).
Действие учителя | Действие учеников | Метапредметные УУД |
|---|---|---|
Организует работу с учебником (стр. 174). Ставит задачу №666 (а): «Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите отрезки, если известны AE, EB и отношение CE к ED». Акцентирует внимание на составлении уравнения. | Ученик с места комментирует решение, применяя теорему о хордах. | Познавательные: построение логической цепи рассуждений. |
Разбирает задачу №670: «Из точки M проведены касательная MC и секущая MB, проходящая через центр. Найдите радиус, если MC=12, а кратчайшее расстояние от M до окружности равно 8». Напоминает, что MB — это сумма внешнего отрезка и диаметра. | Один ученик у доски строит чертеж, составляет уравнение и находит радиус. | Регулятивные: планирование последовательности действий. |
Эталон решения (№670)
$MC^2 = MA \cdot MB$
$144 = 8 \cdot (8 + 2R)$
$18 = 8 + 2R$
$2R = 10$
$R = 5$
Ответ: 5.
$144 = 8 \cdot (8 + 2R)$
$18 = 8 + 2R$
$2R = 10$
$R = 5$
Ответ: 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Базовые задачи пройдены успешно. Теперь поднимем планку — перейдем к комбинированным задачам, где нужно сделать дополнительное построение».
Этап 4. Практикум: задачи повышенной сложности (15 мин)
Цель этапа: развить умение видеть комбинации фигур и применять знания в нестандартных ситуациях (уровень задачи №23 ОГЭ).
Действие учителя, задачи | Действие учеников | Метапредметные УУД |
|---|---|---|
Демонстрирует задачу №672: «Докажите, что произведение секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная для данной точки». Показывает связь этой задачи с прототипом №23 ОГЭ. Направляет поиск решения через подобие треугольников. | Ученики вычисляют длину всей секущей и решают уравнение у доски. | Познавательные: смысловое чтение условия, извлечение необходимой информации. |
Предлагает усложненную задачу №667: «Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Докажите подобие треугольников ADE и CBE». Организует дискуссию: «Какие углы в этих треугольниках равны и почему? (опираются на одну дугу)». Показывает, как это свойство выводит нас на теорему о хордах. | Класс обсуждает дополнительные построения, находит расстояние до центра. | Коммуникативные: инициативное сотрудничество в поиске решения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что даже сложная задача распадается на простые шаги, если правильно применить теорему. Теперь проверим, как вы справитесь самостоятельно».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: оперативная диагностика усвоения материала.
Действие учителя | Действие учеников | Метапредметные УУД |
|---|---|---|
«У вас на столах карточки. Выберите один из двух вариантов...» | Выбирают вариант сложности и приступают к самостоятельной работе. | Регулятивные: целеполагание и осознанный выбор. |
Выводит ответы на экран. «Сверьте свои результаты с эталоном...» | Проводят самопроверку, фиксируют ошибки и результаты. | Регулятивные: самоконтроль и коррекция. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе задачи (из этапа 4 и 5), чертежи соответствуют условию, дано логическое обоснование.
- «4» — верно решена задача базового уровня и допущена незначительная вычислительная ошибка в сложной задаче.
- «3» — верно применена формула в задаче базового уровня, но решение не доведено до конца или отсутствует чертеж.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая из трех теорем сегодня показалась вам самой легкой для применения? | Выявление субъективной легкости усвоения разных типов конфигураций. |
В чем заключалась главная трудность при решении задачи на две секущие? | Осознание типичной ошибки (использование только внутреннего отрезка вместо всей секущей). |
Оцените свою готовность к решению задачи №16 ОГЭ по этой теме по шкале от 1 до 5. | Формирование навыка самооценки и коррекции образовательного маршрута. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы проделали большую работу. Мы не просто вспомнили формулы, мы научились видеть их в сложных чертежах. Помните, что в геометрии главное — это зоркость: умение найти ту самую точку, из которой выходят линии. Если вы научитесь видеть "клюв" секущих или "перекресток" хорд, задачи ОГЭ перестанут быть для вас проблемой. На следующем уроке мы перейдем к вписанным и описанным окружностям, где эти знания нам очень пригодятся. Спасибо за работу!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №666 (б, в), №671 | Отработка стандартных формул для хорд и секущих. |
Средний (повышающий) | РТ стр. 54, №128, №130 | Задачи с буквенными данными и выводами. |
Продвинутый (дополнительный) | Сайт «Решу ОГЭ», задания №23 (раздел «Окружность») | Решить 2 задачи с развернутым ответом для подготовки к части 2. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если точка M лежит внутри окружности, а хорды AB и CD пересекаются в ней, верно ли, что MA+MB = MC+MD?» (Ожидаемый ответ: Нет, равны произведения, а не суммы).