Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, создать эмоциональный настрой и связать тему с практикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем одну из самых важных глав геометрии — 'Векторы'. Вы уже знакомы с этим понятием из курса физики. Вспомните, чем отличается путь от перемещения или масса от силы? Правильно, у силы и перемещения есть направление. В физике это векторные величины. В геометрии мы изучим вектор как абстрактный математический объект. Это не только поможет вам лучше понимать физику, но и принесет баллы на ОГЭ, так как задачи на векторы встречаются в экзаменационных материалах. Давайте настроимся на открытие нового!" | Ученики приветствуют учителя, проверяют наличие учебников, тетрадей и чертежных инструментов. Слушают вступительное слово, отвечают на вопрос о физических величинах (скорость, сила, ускорение). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы понимаем, что направление имеет значение. Запишем тему урока: 'Понятие вектора. Равенство векторов'."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые геометрические понятия (отрезок, луч, параллельность), необходимые для введения вектора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: "Прежде чем мы дадим строгое определение, давайте вспомним: что такое отрезок? Чем он отличается от луча? Посмотрите на доску, там изображен отрезок AB. Если я скажу, что мы движемся от A к B, что изменится? Мы задаем направление. В геометрии такой направленный отрезок и называется вектором. Давайте откроем учебник на странице 192 и найдем определение." Учитель демонстрирует рис. 242. | Ученики отвечают: "Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Луч имеет начало, но не имеет конца". Записывают определение вектора в тетрадь: "Вектор — это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом". |
Запись в тетрадях
Вектор $\vec{AB}$: $A$ — начало, $B$ — конец. Обозначение: $\vec{AB}$ или $\vec{a}$. Длина вектора $|\vec{AB}|$ — длина отрезка $AB$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, что такое вектор и как его обозначать. Но могут ли векторы быть точками?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в понимании нулевого вектора и коллинеарности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель: "Представьте, что объект не сдвинулся с места. Начало и конец его перемещения совпадают. Можно ли это считать вектором? Да, это нулевой вектор. Как вы думаете, какое у него направление?" Учитель подводит к мысли, что у нулевого вектора направление любое. "А теперь посмотрите на рис. 245. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат на параллельных прямых. Как называются такие векторы? Наша задача сегодня — разобраться в иерархии отношений между векторами." | Ученики высказывают предположения: "Направления нет" или "Оно любое". Записывают понятие нулевого вектора $\vec{0}$ или $\vec{MM}$. Рассматривают рисунок и пытаются сформулировать понятие коллинеарности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы должны научиться не просто видеть стрелочки, а строго определять их взаимное расположение и равенство. Это и будет целью нашего исследования."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятия коллинеарности, сонаправленности и равенства векторов через анализ визуальных образов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель: "Работаем с понятием коллинеарности. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Посмотрите на рис. 245. Какие векторы коллинеарны? А какие — нет?" Учитель вводит символы $\uparrow\uparrow$ и $\uparrow\downarrow$. "Теперь самое важное: когда мы можем сказать, что два вектора равны? Достаточно ли только равной длины?" Учитель показывает два вектора одинаковой длины, но разных направлений. | Ученики анализируют рис. 245, выписывают пары коллинеарных векторов. Делают вывод: "Нет, длины недостаточно, нужно, чтобы они смотрели в одну сторону". Формулируют определение: "Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны". |
6 мин | Учитель переходит к утверждению об откладывании вектора (рис. 247-248): "От любой точки M можно отложить вектор, равный данному $\vec{a}$, и притом только один. Давайте докажем это построением. Проведем через M прямую, параллельную вектору..." Учитель демонстрирует алгоритм на доске. | Ученики следят за построением, фиксируют алгоритм в тетрадях. Рисуют произвольный вектор $\vec{a}$ и точку $M$, пробуют самостоятельно отложить вектор $\vec{MN} = \vec{a}$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- Коллинеарные векторы: лежат на одной прямой или || прямых.
- $\vec{a} = \vec{b} \iff \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ и $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
- От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу равенства. Запомните: равенство векторов — это единство длины и направления. Теперь проверим это на практике."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать понятия на конкретных задачах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель: "Выполним задание №738. Отметьте точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с этими точками. Сколько таких векторов получится? Выпишите их и укажите начало и конец каждого." Учитель обходит класс, проверяя правильность обозначений (стрелочки над буквами). | Ученики отмечают точки, строят векторы $\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BC}, \vec{CB}$. Записывают: "$\vec{AB}$: начало A, конец B". Отвечают: "Всего 6 векторов". |
Эталон решения
Количество векторов: $n(n-1) = 3 \cdot 2 = 6$. Список: $\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BC}, \vec{CB}$. Все векторы имеют разное направление, хотя пары $(\vec{AB}, \vec{BA})$ имеют равные длины.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились. Обратите внимание: $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ — это разные векторы, так как у них разные направления, хотя длина одна и та же."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала и умение применять определения в нестандартной ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | Учитель раздает карточки с заданием: "На клетчатой бумаге изображен вектор $\vec{a}$ (длиной 4 клетки вправо и 3 вверх) и три точки K, L, M. Отложите от этих точек векторы, равные $\vec{a}$. Проверьте себя по эталону на слайде." Учитель также просит найти длину вектора $\vec{a}$, используя теорему Пифагора (связь с ОГЭ). | Ученики выполняют построение в тетрадях. Вычисляют длину: $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$. Сверяют свои чертежи с эталоном на экране. Поднимают руки те, у кого построение совпало. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что большинство из вас усвоили принцип сохранения длины и направления при переносе вектора."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить свою работу на уроке и получить инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель: "Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги. Что нового мы узнали о направленных отрезках? Чем равенство векторов отличается от равенства обычных отрезков?" Учитель предлагает заполнить краткий лист самооценки. Затем диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. | Ученики отвечают на вопросы, формулируют главные выводы урока. Записывают домашнее задание. Оценивают свою работу: "Я понял, как определять коллинеарность", "Мне нужно еще потренироваться в построении". |
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие равенства векторов кажется тебе самым важным? | Проверка осознания двухкомпонентной природы вектора (модуль + направление). |
Может ли нулевой вектор быть коллинеарен любому вектору? Почему? | Закрепление аксиоматического допущения о нулевом векторе. |
Где в реальной жизни мы можем встретить 'равные векторы'? | Развитие функциональной грамотности и связи с физикой. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали первый и очень важный шаг в изучении векторов. Мы поняли, что вектор — это не просто стрелка, а математический объект, обладающий длиной и направлением. Эти знания станут фундаментом для изучения операций над векторами на следующих уроках. Помните, что в задачах ОГЭ внимательность к направлению вектора часто отделяет правильный ответ от ошибки. Спасибо за работу, до встречи на следующем уроке!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Пункт 76-78, №739 | Изучить теорию, начертить векторы полета самолета в масштабе. |
Средний (повышающий) | №740, №741 | Решить задачи на распознавание равных векторов в геометрических фигурах (параллелограмм). |
Продвинутый (дополнительный) | Доказать утверждение | Письменно доказать, что если $\vec{a} = \vec{b}$ и $\vec{b} = \vec{c}$, то $\vec{a} = \vec{c}$. |
Контрольный вопрос перед выходом: "Если два вектора лежат на одной прямой и имеют равные длины, всегда ли они равны?" (Ожидаемый ответ: "Нет, они могут быть противоположно направлены").