Тема урока: Определение тригонометрических функций для углов от 0° до 180°
Цели и задачи
- Цель: расширить представления о синусе, косинусе и тангенсе, введя их определения для углов от 0° до 180° через координаты точки на единичной полуокружности.
- Образовательная задача: научить находить значения тригонометрических функций для тупых углов, используя формулы приведения на базовом уровне.
- Развивающая задача: развивать навыки аналитического мышления и умение переносить знания из геометрии в алгебру и физику.
- Воспитательная задача: снизить уровень тревожности перед ОГЭ через отработку алгоритмов решения типовых задач (задание №15).
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие логического мышления и критического восприятия информации.
- Понимание практической значимости тригонометрии в будущей профессиональной деятельности (инженерия, архитектура).
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: владение основами самоконтроля и самооценки, умение планировать пути достижения целей.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0° до 180°.
- Уметь определять знаки тригонометрических функций в зависимости от четверти.
- Владеть основным тригонометрическим тождеством для углов от 0° до 180°.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование познавательного интереса к изучению геометрии через решение задач с практическим содержанием.
Регулятивные УУД
- Умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий.
Познавательные УУД
- Умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного; добывать новые знания.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и понимать речь других; оформлять свои мысли в устной и письменной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа актуализации (таблица значений для 30, 45, 60 градусов) — 15 шт.
- Подготовить чертежный инструмент (циркуль, линейка) для работы у доски.
- Подготовить презентацию со слайдом «Единичная полуокружность» и заданиями из открытого банка ОГЭ.
- Распечатать «Билеты на выход» для рефлексии.
- Проверить наличие в кабинете таблицы тригонометрических значений.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать положительный эмоциональный настрой, обозначить практическую значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем одну из самых важных тем, которая связывает геометрию и алгебру. Многие из вас переживают по поводу ОГЭ. Так вот, хорошая новость: задания на тригонометрию в первой части экзамена — одни из самых быстрых в решении, если знать «секретный код» координат. Сегодня мы его расшифруем. Как вы думаете, зачем нам нужны синусы для углов больше 90 градусов, если в прямоугольном треугольнике таких углов не бывает?» | Слушают учителя, настраиваются на работу. Высказывают предположения: «Для решения задач с тупоугольными треугольниками», «В физике для векторов», «Чтобы считать углы в координатах». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Мы выходим за рамки треугольника в большой мир координат. Запишите тему урока: «Определение тригонометрических функций для углов от 0° до 180°».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить определения тригонометрических функций острого угла, изученные в 8 классе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте вспомним базу. У вас на столах лежат карточки №1. За 2 минуты заполните пропуски: чему равен синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике через отношение сторон? И вспомните значения для 30, 45 и 60 градусов. Кто готов озвучить определение синуса?» Учитель контролирует выполнение, проходит по рядам. | Заполняют карточки. Отвечают с места: «Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе», «Косинус — прилежащего к гипотенузе». Сверяют значения углов по памяти. |
Запись в тетрадях
- sin α = a/c (противолежащий/гипотенуза)
- cos α = b/c (прилежащий/гипотенуза)
- tg α = a/b (синус/косинус)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, фундамент есть. Но что делать, если угол α = 120°? Треугольник с таким острым углом не построить. Нам нужен новый инструмент».
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать невозможность использования старого определения для тупых углов.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Посмотрите на экран (Слайд №2). Перед вами задача из ОГЭ: найти синус угла AOB, если точки имеют координаты O(0,0), A(3,0), B(-2,2). Угол AOB — тупой. Можем ли мы сейчас применить отношение катета к гипотенузе? В чем проблема?» Учитель подводит к мысли о координатной плоскости. | Анализируют чертеж. Отвечают: «Нет прямоугольного треугольника с углом AOB», «Мы не знаем, как определять синус для угла больше 90 градусов». Формулируют проблему: нужно новое определение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Значит, наша цель — дать такое определение, которое будет работать для любого угла от 0 до 180 градусов, используя координаты точек».
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие единичной полуокружности и новые определения функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Введем систему координат. Построим полуокружность с центром в начале координат и радиусом R=1. Такая полуокружность называется единичной. Возьмем на ней точку M(x; y). Проведем луч OM. Угол между положительной полуосью Ox и лучом OM назовем α. Давайте опустим перпендикуляр MD на ось Ox. Получили прямоугольный треугольник OMD. Чему равна гипотенуза OM? Чему равен катет OD? А катет MD?» | Рисуют в тетрадях единичную полуокружность. Отвечают: «Гипотенуза OM = 1 (это радиус)», «OD — это координата x точки M», «MD — это координата y точки M». |
6 мин | «Теперь применим старое определение к треугольнику OMD: sin α = MD/OM = y/1 = y. cos α = OD/OM = x/1 = x. Запишите это! Это революция в нашем понимании: синус — это просто координата y, а косинус — это координата x точки на единичной окружности! Теперь мы можем найти синус любого угла, просто посмотрев на координату y точки. Какие координаты у точки при 180 градусах?» | Записывают: sin α = y, cos α = x. Анализируют: «При 180 градусах точка лежит на оси Ox слева, её координаты (-1; 0). Значит, cos 180° = -1, а sin 180° = 0». Осознают, что косинус может быть отрицательным. |
Запись в тетрадях
Определение: Синусом угла α (0° ≤ α ≤ 180°) называется ордината y точки M единичной полуокружности. Косинусом — абсцисса x.
tg α = sin α / cos α (при α ≠ 90°).
Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1 (уравнение окружности x² + y² = 1).
tg α = sin α / cos α (при α ≠ 90°).
Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1 (уравнение окружности x² + y² = 1).
Этап 5. Физкультминутка «Тригонометрический светофор» (2 мин)
Цель этапа: физическая разгрузка и закрепление знаков функций в четвертях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаем. Правила просты: я называю функцию и угол. Если значение положительное — руки вверх и тянемся, если отрицательное — приседаем, если ноль — руки на пояс. Синус 30 градусов? (y вверху). Косинус 120 градусов? (x слева). Синус 150 градусов? Косинус 0 градусов?» | Выполняют упражнения. 30° — руки вверх (sin > 0). 120° — приседают (cos < 0). 150° — руки вверх. 0° — руки вверх (cos 0 = 1). |
Этап 6. Первичное закрепление и межпредметные связи (7 мин)
Цель этапа: применить знания в задачах и увидеть связь с физикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Вспомните уроки физики. Когда мы тянем санки за веревку под углом к горизонту, мы раскладываем силу на проекции Fx и Fy. Теперь вы видите, что Fx = F * cos α, а Fy = F * sin α. Это те же самые x и y! Давайте решим задачу: найдите sin 150° и cos 150°, используя формулы приведения: sin(180-α)=sin α, cos(180-α)=-cos α. Почему у косинуса минус?» | Решают в тетрадях: sin 150° = sin(180°-30°) = sin 30° = 1/2. cos 150° = -cos 30° = -√3/2. Отвечают: «Минус, потому что для тупого угла точка находится во второй четверти, где координата x отрицательна». |
3 мин | «Приём «Толстые и тонкие вопросы». Задайте соседу «тонкий» вопрос по значениям и «толстый» — по смыслу определений.» | Работают в парах. Тонкий: «Чему равен sin 90°?». Толстый: «Почему тангенс 90 градусов не существует?». |
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала на задачах формата ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Выполняем мини-тест на листочках. 3 задания: 1) Найти sin 120°. 2) Определить знак выражения sin 100° * cos 100°. 3) Найти cos α, если sin α = 0,6 и угол тупой. Внимание на 3-ю задачу — это классика ОГЭ! Не забудьте про знак косинуса.» Учитель выводит эталон на экран через 5 минут. | Выполняют работу самостоятельно. Сверяют с эталоном на экране. Проводят самооценку: «+» — всё верно, «?» — есть сомнение. |
Эталон решения (задача 3)
sin²α + cos²α = 1
(0,6)² + cos²α = 1
0,36 + cos²α = 1
cos²α = 0,64
Так как 90° < α < 180°, то cos α < 0.
cos α = -√0,64 = -0,8.
Ответ: -0,8.
(0,6)² + cos²α = 1
0,36 + cos²α = 1
cos²α = 0,64
Так как 90° < α < 180°, то cos α < 0.
cos α = -√0,64 = -0,8.
Ответ: -0,8.
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учеником своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Мы совершили переход от треугольника к окружности. Заполните «Билет на выход»: один момент, который стал для вас открытием, и один вопрос, который еще «чешется». Домашнее задание на доске — обратите внимание на творческий уровень для тех, кто сдает физику.» | Заполняют листки рефлексии. Записывают домашнее задание. Сдают «Билеты на выход» учителю. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 задания самостоятельной работы, учтен знак косинуса для тупого угла.
- «4» — верно выполнены 2 задания, в 3-м допущена вычислительная ошибка, но алгоритм верный.
- «3» — верно выполнено 1 задание или 2 задания с грубыми ошибками в знаках.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая координата (x или y) отвечает за синус? | Проверка базового запоминания нового определения. |
В чем главное отличие косинуса 30° от косинуса 150°? | Осознание изменения знака функции во второй четверти. |
Где в жизни или других предметах мне пригодится знание координат точки на окружности? | Поиск межпредметных связей и личной значимости темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы отлично потрудились. Мы не просто выучили формулы, мы поняли, как геометрия управляет числами на координатной плоскости. Помните: синус — это высота (y), косинус — это ширина (x). Эта простая ассоциация спасет вас на ОГЭ. На следующем уроке мы научимся решать треугольники, используя эти знания. Всем спасибо, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: §1, п. 93, № 1014, 1017. | Отработка определений и вычисление значений по формулам приведения. |
Средний (повышающий) | Задания из открытого банка ОГЭ (ФИПИ) по теме «Тригонометрия в треугольнике» (5 задач). | Подготовка к экзамену, работа с реальными формулировками. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование: «Как изменяется тангенс при приближении угла к 90 градусам?» | Подготовка к введению понятия предела и понимание графического смысла тангенса. |