Тригонометрические функции угла от 0 до 180 градусов
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0° до 180° через введение модели единичной полуокружности.
- Образовательная задача: Научить определять координаты точек на единичной полуокружности и связывать их с тригонометрическими значениями углов.
- Развивающая задача: Развивать навыки математического моделирования и умение анализировать зависимости между геометрическими объектами.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к подготовке к ОГЭ через осознание практической значимости темы.
- Методическая задача: Использовать ИКТ-инструменты для визуализации абстрактных понятий тригонометрии.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к профильному обучению).
- Критичность мышления при анализе полученных результатов и поиске ошибок.
- Умение работать в паре, проявляя уважение к мнению партнёра.
Метапредметные
- Познавательные: умение создавать и преобразовывать знаково-символические модели (единичная полуокружность).
- Регулятивные: способность ставить учебные цели, планировать решение и оценивать правильность выполнения действий.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию при обсуждении проблемного вопроса в группе.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°.
- Уметь находить значения тригонометрических функций для углов 0°, 90°, 180° по координатам точек.
- Владеть основным тригонометрическим тождеством для углов от 0° до 180°.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование учебной мотивации на основе связи темы с задачами ОГЭ (задание №15).
- Осознание ценности математических знаний как инструмента познания мира.
Регулятивные УУД
- Самоконтроль в процессе выполнения заданий на вычисление координат.
- Коррекция своих действий после сопоставления с эталоном на экране.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения существенных признаков (абсцисса и ордината точки).
- Выдвижение гипотез об изменении знака косинуса при переходе к тупым углам.
Коммуникативные УУД
- Организация совместной деятельности в парах при заполнении сводной таблицы.
- Адекватное использование речевых средств для дискуссии.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заготовкой единичной полуокружности (по 1 на каждого ученика).
- Подготовить интерактивную модель в GeoGebra «Единичная окружность» для демонстрации на проекторе.
- Подготовить карточки для игры «Математическое лото» (значения функций для 30, 45, 60 градусов).
- Проверить работу ноутбука и мультимедийного проектора.
- Закладка в учебнике (Геометрия 7-9, Атанасян Л.С.) на главе IX, параграф 1.
- Распечатать «Билеты на выход» для этапа рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создание эмоционального настроя и актуализация практической значимости темы для предстоящего экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня на уроке мы не просто изучаем геометрию, мы начинаем строить мост между тем, что вы знали в 8 классе, и тем, что встретит вас в КИМах ОГЭ и в курсе физики. Проверьте, лежат ли у вас на столах циркули, линейки и рабочие листы." | Приветствуют учителя, проверяют наличие инструментов: линейки, циркуля, карандаша. |
2 мин | "Посмотрите на слайд. Перед вами задача из физики: разложение силы тяжести на наклонной плоскости. Угол наклона может быть как острым, так и тупым, если мы рассматриваем разные системы координат. А в задании №15 ОГЭ часто нужно найти площадь треугольника, зная две стороны и угол между ними. Но что, если этот угол — 120 градусов? Мы умеем находить синусы только для острых углов. Как быть?" | Слушают учителя, рассматривают физическую схему на слайде. Высказывают предположения: "Нужно построить высоту", "Может, есть таблица для тупых углов?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, наша проблема ясна: старых определений через прямоугольный треугольник нам недостаточно. Нам нужен новый, универсальный инструмент."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторение определений тригонометрических функций острого угла и прямоугольной системы координат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним базу. На ваших рабочих листах в блоке №1 изображен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Запишите, чему равен sin A, cos A и tg A через отношения сторон. Поменяйтесь листами с соседом и проверьте по эталону на доске." | Индивидуально записывают: sin A = a/c, cos A = b/c, tg A = a/b. Затем выполняют взаимопроверку в парах. |
2 мин | "Теперь вспомним координаты. Если точка M имеет координаты (x; y), что такое x и что такое y геометрически? Нарисуйте в системе координат точку M(3; 4) и опустите перпендикуляры на оси." | Рисуют систему координат, отмечают точку, проводят проекции на оси Ox и Oy. Вспоминают, что x — абсцисса, y — ордината. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, мы вспомнили, что тригонометрия — это отношения, а координаты — это положение. Теперь объединим эти два понятия."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: введение понятия единичной полуокружности и новых определений функций через координаты точки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Применим метод моделирования. В блоке №2 на рабочем листе постройте полуокружность с центром в начале координат и радиусом R=1. Такая полуокружность называется единичной. Отложим от положительной полуоси Ox угол α. Пусть сторона угла пересекает полуокружность в точке M(x; y). Учитель демонстрирует это в GeoGebra, двигая точку." | Строят единичную полуокружность в тетрадях. Отмечают произвольную точку M на ней, проводят радиус OM. Записывают определение: |OM| = 1. |
6 мин | "Рассмотрим прямоугольный треугольник OMH, где H — проекция точки M на ось Ox. Чему равен sin α в этом треугольнике? (y/1). А cos α? (x/1). Какой вывод мы можем сделать? Запишите новые определения: sin α = y, cos α = x. Теперь мы можем найти синус и косинус любого угла от 0 до 180 градусов, просто посмотрев на координаты точки!" | Анализируют чертеж. Делают вывод: ордината точки — это синус, абсцисса — косинус. Записывают в рамку: sin α = y, cos α = x, tg α = y/x (при x ≠ 0). |
Запись в тетрадях
Единичная полуокружность — это полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенная в 1 и 2 четвертях.
Для любого α (0° ≤ α ≤ 180°):
sin α = y (ордината точки M)
cos α = x (абсцисса точки M)
tg α = y/x (x ≠ 0)
Для любого α (0° ≤ α ≤ 180°):
sin α = y (ордината точки M)
cos α = x (абсцисса точки M)
tg α = y/x (x ≠ 0)
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили мощный инструмент. Теперь нам не нужен треугольник, нам нужны только координаты точки на этой дуге."
Этап 4. Первичное закрепление и исследовательская работа (7 мин)
Цель этапа: нахождение значений функций для граничных углов и исследование знаков функций в разных четвертях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте проведем мини-исследование в парах. Найдите координаты точек пересечения полуокружности с осями координат. Это углы 0°, 90° и 180°. Заполните таблицу значений функций для этих углов в ваших листах. Подумайте, почему для 90° тангенс не существует?" | Работают в парах. Определяют координаты: (1;0) для 0°, (0;1) для 90°, (-1;0) для 180°. Заполняют таблицу. Отвечают: "Для 90 градусов x=0, а на ноль делить нельзя, поэтому тангенс не определен". |
3 мин | "Посмотрите на вторую четверть (углы от 90° до 180°). Какие знаки имеют координаты x и y? Какой вывод сделаем о знаках синуса и косинуса тупого угла?" | Обсуждают: во 2-й четверти x < 0, y > 0. Делают вывод: синус тупого угла положителен, а косинус — отрицателен. |
Эталон решения (таблица)
Угол α | 0° | 90° | 180° |
|---|---|---|---|
sin α (y) | 0 | 1 | 0 |
cos α (x) | 1 | 0 | -1 |
tg α (y/x) | 0 | - | 0 |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы знаем 'границы' наших функций. Перейдем к практике решения задач."
Этап 5. Практикум и дифференцированная работа (7 мин)
Цель этапа: отработка умения использовать основное тригонометрическое тождество и формулы приведения (на интуитивном уровне).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Откройте учебник на стр. 215, №1014. Выполняем задания по уровням сложности. Уровень А (базовый): найти sin α, если cos α = 0,6 и угол острый. Уровень Б (повышенный): найти cos α, если sin α = 1/3 и угол тупой. Вспомните уравнение окружности: x² + y² = 1. Это и есть наше основное тождество sin²α + cos²α = 1. Помните про знаки!" | Самостоятельно выбирают уровень. Решают в тетрадях. Ученики уровня Б учитывают, что для тупого угла косинус будет отрицательным: cos α = -√(1 - (1/3)²) = -√8/3. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Многие из вас успешно справились с выбором знака. Это типичная ловушка в задачах ОГЭ, будьте внимательны."
Этап 6. Игровой элемент и творческое задание (7 мин)
Цель этапа: закрепление материала в неформальной обстановке и развитие креативного мышления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Игра 'Тригонометрическое домино'. У вас на партах наборы карточек. На одной стороне — функция (например, sin 120°), на другой — значение или формула (например, sin 60°). Соберите цепочку. Подсказка: точки для α и 180°-α имеют одинаковую высоту y!" | В парах собирают цепочку из карточек, обнаруживая закономерность: sin(180°-α) = sin α, cos(180°-α) = -cos α. |
3 мин | "Творческое задание: придумайте мнемоническое правило или ассоциацию, как запомнить, что косинус тупого угла 'уходит в минус', а синус остается 'на высоте'. Можно нарисовать мини-комикс в углу рабочего листа." | Рисуют или придумывают фразы. Пример: "Синус — это солнышко, оно всегда над горизонтом (положительное), а косинус — это путник, который зашел за гору 90° и стал грустным (отрицательным)". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши ассоциации помогут вам не ошибиться в знаках на экзамене."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Наш урок подходит к концу. Заполните 'Билет на выход': ответьте на один вопрос на выбор: 1. Что сегодня было самым неожиданным? 2. В чем главное отличие синуса 150° от косинуса 150°? 3. Какую оценку я бы поставил себе за работу в паре?" | Заполняют короткие анкеты-листочки и сдают их учителю при выходе из класса. |
1 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также дифференцированное. Спасибо за урок, вы сегодня отлично поработали с новой моделью!" | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания рабочего листа, включая уровень Б в практикуме, правильно заполнена таблица значений и сделаны верные выводы о знаках функций.
- «4» — верно заполнена таблица и выполнены задания уровня А, допущены незначительные вычислительные ошибки или ошибки в знаках в творческом задании.
- «3» — правильно определены координаты точек для углов 0, 90, 180 градусов, но возникли трудности с применением основного тождества и пониманием знаков функций тупого угла.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая координата точки отвечает за синус угла? | Проверка усвоения базового определения через модель. |
Почему косинус 120 градусов имеет знак 'минус'? | Выявление понимания связи между четвертями координатной плоскости и значениями функций. |
Где в реальной жизни нам могут встретиться тупые углы? | Развитие умения видеть геометрию в окружающем мире (межпредметность). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы совершили важный переход от геометрии треугольника к геометрии координат. Мы расширили границы тригонометрии до 180 градусов. Помните, что единичная полуокружность — это ваш главный навигатор. Если вы забудете значение или знак, просто нарисуйте её на полях черновика ОГЭ. На следующем уроке мы научимся вычислять площади любых треугольников, используя наши новые знания. До свидания!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, п. 93-94, №1011, 1013. | Выучить определения sin, cos, tg через координаты. Найти значения функций по готовым координатам. |
Средний (повышающий) | №1015, 1017. | Применить основное тригонометрическое тождество для нахождения одной функции через другую с учетом знака. |
Продвинутый (творческий) | Проект «Тригонометрия в архитектуре». | Найти фотографию здания с тупоугольными элементами крыши или декора, распечатать и схематично найти синус этого угла. |
Контрольный вопрос: Может ли синус угла быть равен 1.5? Обоснуйте ответ, используя радиус единичной полуокружности.