Теорема синусов
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут формулировать теорему синусов и применять её для нахождения неизвестных сторон треугольника в типовых задачах.
- Образовательная задача: Вывести формулу теоремы синусов, опираясь на ранее изученную формулу площади треугольника.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического вывода и работы с математическими пропорциями через парную работу.
- Воспитательная задача: Снизить уровень тревожности перед контрольной работой и ОГЭ через отработку понятных алгоритмов решения.
- Методическая задача: Актуализировать знания о площадях фигур для подготовки к стартовой контрольной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе полученных результатов.
- Повышение уверенности в своих силах при подготовке к экзаменационным испытаниям (ОГЭ).
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи между площадью треугольника и его элементами.
- Регулятивные: способность принимать и сохранять учебную задачу, планировать свои действия в соответствии с ней.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и слушать мнение партнера.
Предметные
- Знать формулировку и математическую запись теоремы синусов.
- Уметь выводить теорему синусов через формулу площади треугольника.
- Владеть навыком решения задач на нахождение сторон треугольника по двум углам и стороне.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между изучением теоремы и успешной сдачей ОГЭ).
- Оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Самоконтроль правильности выполнения вычислений.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Построение логической цепи рассуждений при выводе формулы.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Управление поведением партнера (контроль, коррекция действий партнера в паре).
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с чертежами к задачам и формулами площадей (слайды 1-6).
- Распечатать карточки для актуализации знаний по теме «Площади фигур» (15 шт. — по одной на парту).
- Проверить работу интерактивной доски и доступ к онлайн-платформе для мини-теста.
- Подготовить учебник Л.С. Атанасяна (2022 г.), закладка на стр. 255 (п. 102).
- Выписать на доске значения синусов для углов 30°, 45°, 60° как справочный материал.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и актуализация знаний (7 мин)
Цель этапа: настроить класс на работу и актуализировать знания о площадях фигур для подготовки к контрольной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы продолжаем исследовать мир треугольников. На прошлых уроках мы научились находить их площади. Как вы думаете, достаточно ли нам только формул площадей для решения любых задач на треугольники? Сегодня мы это проверим. Запишите дату.» | Приветствуют учителя, настраиваются на работу. |
5 мин | «На партах карточки №1. В парах соотнесите вид фигуры и формулу её площади. Особое внимание уделите треугольнику: запишите формулу, связывающую стороны и синус угла. Вспомните: для каких углов мы уже знаем точные значения синусов?» Учитель организует самопроверку по эталону на слайде. | Работают в парах, актуализируют знания о площадях и табличных значениях тригонометрических функций. Проводят самопроверку. |
Запись в тетрадях
Ученики фиксируют формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = ½ · a · b · sin(C).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, фундамент заложен. Формула площади треугольника через синус угла сегодня станет нашим главным инструментом для открытия нового знания.»
Этап 2. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: создать интеллектуальное затруднение, мотивирующее к изучению новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Посмотрите на задачу на доске (слайд 3). В треугольнике ABC известна сторона AB = 10 см, угол A = 45° и угол C = 60°. Нам нужно найти сторону BC. Можем ли мы воспользоваться теоремой Пифагора? Нет, треугольник не прямоугольный. Можем ли мы использовать формулы площади? У нас недостаточно данных. Возникает вопрос: существует ли связь между сторонами треугольника и синусами противоположных углов, которая поможет нам решить задачу в одно действие? Как вы думаете, какая у нас сегодня цель?» | Смотрят на чертеж, осознают нехватку инструментов. Отвечают: «Теорема Пифагора не подходит, так как нет прямого угла». Формулируют цель: «Найти способ связывать стороны и углы любого треугольника». Записывают тему урока: «Теорема синусов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Наша цель — вывести эту связь, которую в геометрии называют теоремой синусов.»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести теорему синусов, используя системно-деятельностный подход.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте проведем математическое исследование. Возьмем произвольный треугольник ABC со сторонами a, b, c. Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить тремя способами через синус угла. Запишем их на доске.» Учитель вызывает ученика к доске для записи: S = ½ ab sin C, S = ½ bc sin A, S = ½ ac sin B. «Так как площадь одна и та же, мы можем приравнять эти выражения. Давайте уберем ½ и разделим все части на произведение abc. Что получится?» | Один ученик пишет у доски, остальные в тетрадях. Проводят алгебраические преобразования: делят равенство ab sin C = bc sin A = ac sin B на abc. Получают: sin C / c = sin A / a = sin B / b. |
5 мин | «Перевернем наши дроби для удобства. Мы получили: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Это и есть теорема синусов! Прочитаем ее формулировку в учебнике Атанасяна на странице 255. Кто готов прочитать вслух?» Учитель акцентирует внимание: «Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Это очень просто запомнить: сторона 'дружит' с углом, который лежит напротив нее.» | Читают формулировку в учебнике. Записывают итоговую формулу в рамку. Повторяют формулировку про себя. |
Эталон вывода
1) $S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B$
2) $ab \sin C = bc \sin A = ac \sin B$
3) Разделим на $abc$: $\frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$
4) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
2) $ab \sin C = bc \sin A = ac \sin B$
3) Разделим на $abc$: $\frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$
4) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы сами вывели формулу. Теперь проверим ее в деле на той задаче, которая вызвала у нас затруднение.»
Этап 4. Первичное закрепление и парная работа (8 мин)
Цель этапа: отработать применение теоремы синусов в стандартной ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Вернемся к задаче со слайда 3. Составим пропорцию: BC / sin A = AB / sin C. Подставим значения: BC / sin 45° = 10 / sin 60°. Посмотрите на таблицу значений на доске. Чему равен sin 45° и sin 60°?» Учитель показывает, как выразить BC по правилу креста (пропорции). | Записывают пропорцию в тетрадь. Находят значения синусов: √2/2 и √3/2. Вычисляют: BC = (10 · √2/2) / (√3/2) = 10√2 / √3. |
4 мин | «Теперь поработаем в парах. Откройте учебник, № 1025 (а). Обсудите с соседом, какие стороны и углы образуют пары в этой задаче. Один из вас записывает пропорцию, второй делает вычисления. Затем поменяйтесь ролями для пункта (б).» | Работают в парах. Распределяют роли: «постановщик задачи» и «вычислитель». Проверяют друг друга. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, пары справились. Главное — правильно найти 'пару': сторону и лежащий напротив нее угол.»
Этап 5. Включение в систему знаний и ИКТ (7 мин)
Цель этапа: показать практическое применение теоремы в формате ОГЭ и провести быструю диагностику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Теорема синусов часто встречается в задании №15 ОГЭ. Посмотрите на экран (слайд 5). Задача: В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC = 4√6. Найдите AC. Решите ее самостоятельно в тетрадях. Кто первый решит правильно — получит бонусный балл.» | Решают задачу самостоятельно. Применяют теорему синусов: AC / sin 60° = BC / sin 45°. Получают ответ: AC = 12. |
3 мин | «А теперь достаньте телефоны (или используйте планшеты на партах). Перейдите по QR-коду на экране. Там короткий тест из 3 вопросов: 1) Верна ли формула? 2) Найдите пару для стороны x. 3) Выберите верное утверждение. У вас 2 минуты.» (Использование ИКТ-платформы типа Quizizz или Plickers). | Выполняют онлайн-тест. Сразу видят свои результаты и ошибки. Обсуждают коротко самые частые ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Результаты теста радуют — большинство из вас усвоили принцип работы с теоремой.»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности и фиксация домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте воспользуемся приемом 'Светофор'. Поднимите зеленую карточку, если вам все понятно и вы сможете решить задачу на ОГЭ. Желтую — если понимаете теорему, но путаетесь в вычислениях с корнями. Красную — если тема осталась темным лесом. Будьте честны, это поможет мне спланировать следующий урок.» | Оценивают свою работу на уроке, поднимают карточки соответствующего цвета. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное — выберите тот уровень, который вам по силам. Обратите внимание на задачу из открытого банка ОГЭ в продвинутом уровне.» Учитель поясняет задания. | Записывают домашнее задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно составил пропорцию во всех задачах, не допустил ошибок в вычислениях со значениями синусов, аккуратно оформил чертежи.
- «4» — верно составлена пропорция, но допущена 1 вычислительная ошибка (например, при извлечении корня или сокращении дроби).
- «3» — ученик понимает принцип теоремы, может составить пропорцию, но испытывает серьезные затруднения в преобразованиях и вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу мы использовали как 'ключ' для вывода новой теоремы? | Проверка осознания преемственности знаний (связь с площадями). |
В чем главная сложность при использовании теоремы синусов? | Выявление типичных затруднений (вычисления, поиск пар). |
Где в реальном экзамене нам пригодится это знание? | Мотивация и связь с практическими целями (ОГЭ). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали большой шаг в изучении тригонометрии в геометрии. Теорема синусов — это универсальный ключ, который открывает двери к решению любых треугольников, а не только прямоугольных. На следующем уроке мы узнаем, что у этой теоремы есть продолжение, связанное с радиусом описанной окружности. Не бойтесь корней и дробей — это просто числа, с которыми мы научимся справляться. Спасибо за работу, вы сегодня были отличными исследователями!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, стр. 255, выучить теорему; № 1025 (в, г) | Отработка навыка составления пропорции и базовых вычислений. |
Средний (повышающий) | № 1026 | Задача на нахождение углов треугольника (потребуется обратное действие). |
Продвинутый (дополнительный) | Карточка с задачей из ОГЭ №15 (вариант 12, Ященко) | Решение практической задачи экзаменационного уровня с 'некрасивыми' числами. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если сторона лежит против угла 30 градусов, а другая сторона — против угла 45 градусов, какая из них будет больше?»