Теорема косинусов: практикум «Геометрическое ралли»
Цели и задачи
- Цель: закрепить навык применения теоремы косинусов при решении задач различного уровня сложности, в том числе задач формата ОГЭ.
- Образовательная задача: отработать алгоритм нахождения неизвестной стороны и угла треугольника по трем заданным элементам.
- Развивающая задача: развивать навыки самоконтроля и парного взаимодействия через игровую форму деятельности.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к подготовке к итоговой аттестации (ОГЭ) и культуру математической записи.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления и воля к достижению цели при решении сложных задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и временем (тайм-менеджмент).
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и координировать её с партнёром.
Предметные
- Знать формулировку и математическую запись теоремы косинусов.
- Уметь вычислять сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними.
- Уметь находить косинус угла треугольника по трём известным сторонам.
- Применять теорему косинусов в прикладных задачах реальной геометрии.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание практической значимости теоремы косинусов для решения задач ОГЭ.
Регулятивные УУД
- Оценка: осознание качества и уровня усвоения материала через систему баллов.
Познавательные УУД
- Логические: установление причинно-следственных связей между видом угла и знаками слагаемых в теореме.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнёра: контроль и коррекция действий напарника при парной работе.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать «Листы достижений» с таблицей баллов (по количеству учеников).
- Распечатать карточки с заданиями для «Геометрического ралли» (3 уровня сложности).
- Подготовить презентацию с таймером и эталонами решений для самопроверки.
- Проверить работу проектора и ноутбука.
- Подготовить на доске таблицу перевода баллов в отметки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, объявить игровой формат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня у нас необычный урок — геометрическое ралли по теме "Теорема косинусов". Нам предстоит пройти три этапа трассы, за каждый из которых вы будете получать баллы в свои листы достижений. В конце урока мы подведем итоги и конвертируем ваши успехи в оценки. Проверьте, у всех ли на столах есть учебники, тетради и чертежные инструменты. Мы начинаем!» | Приветствуют учителя, проверяют готовность рабочих мест, подписывают индивидуальные листы достижений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Двигатели заведены, приступаем к проверке систем — актуализации знаний».
Этап 2. Проверка ДЗ и актуализация знаний (8 мин)
Цель этапа: проверить выполнение домашнего задания у доски и одновременно активизировать знания всего класса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «К доске приглашаются Иванов и Петров для оформления решения задач №1025 и №1027 из домашней работы. Пока ребята работают у доски, мы с классом проведем блиц-опрос "Верно-неверно"». | Двое учеников выходят к доске и записывают решение задач. Остальные готовят тетради для блиц-опроса. |
5 мин | Учитель выводит на экран 5 утверждений (ИКТ). «Ребята, если утверждение верно, ставьте "+", если нет — "-". 1) Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) Если угол тупой, то косинус отрицательный. 3) Теорема косинусов работает только в прямоугольном треугольнике. 4) Если косинус равен 0, теорема превращается в теорему Пифагора. 5) По трем сторонам можно найти любой угол треугольника». | Ученики в тетрадях фиксируют ответы. После этого сверяются с эталоном на слайде. Ответы: -, +, -, +, +. |
2 мин | Учитель обращается к доске: «Давайте проверим записи ребят. Есть ли замечания к оформлению?». Учитель комментирует решение, выставляет первые баллы в журнал отвечающим. | Ученики сверяют свое домашнее задание с записями на доске, задают вопросы, исправляют ошибки. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теория проверена, переходим к основной части нашего ралли — решению практических задач».
Этап 3. Игровой практикум «Геометрическое ралли» (20 мин)
Цель этапа: практическое применение знаний в задачах разного уровня сложности с использованием парной работы и элементов соревнования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Уровень 1: Разминка (2 балла). Перед вами карточка №1. В треугольнике ABC: AB=5 см, AC=8 см, угол A=60 градусов. Найдите сторону BC. Работаем индивидуально. Время пошло!» | Ученики самостоятельно решают задачу, применяя формулу $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$. Сверяют ответ (7 см) с соседом. |
7 мин | «Уровень 2: Вираж (3 балла). Работаем в парах. Карточка №2. Стороны треугольника равны 3, 5 и 7. Найдите наибольший угол этого треугольника. Обсудите в паре: против какой стороны лежит наибольший угол?» | Ученики обсуждают в парах, что наибольший угол лежит против стороны 7. Вычисляют косинус: $\cos \alpha = (3^2 + 5^2 - 7^2)/(2 \cdot 3 \cdot 5) = -15/30 = -0,5$. Делают вывод: угол равен 120 градусов. |
8 мин | «Уровень 3: Финишная прямая (5 баллов). Задача формата ОГЭ. Два корабля вышли из порта одновременно под углом 120 градусов друг к другу. Скорость первого — 30 км/ч, второго — 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? Это задача на функциональную грамотность. Нарисуйте схему!» | Ученики строят математическую модель (треугольник со сторонами 30 и 50 и углом 120). Вычисляют: $x^2 = 900 + 2500 - 2 \cdot 30 \cdot 50 \cdot (-0,5) = 3400 + 1500 = 4900$. Ответ: 70 км. |
Эталон решения (Уровень 3)
1) $S_1 = 30 \cdot 1 = 30$ км; $S_2 = 50 \cdot 1 = 50$ км.
2) По теореме косинусов: $d^2 = 30^2 + 50^2 - 2 \cdot 30 \cdot 50 \cdot \cos 120^\circ$.
3) $d^2 = 900 + 2500 - 3000 \cdot (-0,5) = 3400 + 1500 = 4900$.
4) $d = \sqrt{4900} = 70$ км.
2) По теореме косинусов: $d^2 = 30^2 + 50^2 - 2 \cdot 30 \cdot 50 \cdot \cos 120^\circ$.
3) $d^2 = 900 + 2500 - 3000 \cdot (-0,5) = 3400 + 1500 = 4900$.
4) $d = \sqrt{4900} = 70$ км.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Все экипажи пересекли финишную черту! Пора подсчитать заработанные баллы».
Этап 4. Подведение итогов и перевод баллов (5 мин)
Цель этапа: оценить успешность каждого ученика на уроке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Ребята, посмотрите на экран. Здесь выведены правильные ответы на все уровни. Проверьте свои решения еще раз. Подсчитайте общую сумму баллов (максимум 10 + 5 за блиц). Поднимите руки те, у кого 13-15 баллов? Это оценка "5". У кого 10-12 баллов? Это "4". Остальные, не расстраивайтесь, у вас будет шанс добрать баллы на самостоятельной работе». | Проводят самопроверку, суммируют баллы в листах достижений, выставляют себе предварительную оценку. Сдают листы учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Результаты ралли показывают, что большинство из вас успешно освоили трассу теоремы косинусов».
Этап 5. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, постановка задач на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Наше ралли подошло к концу. Давайте проанализируем наш заезд. Что было самым сложным: расчеты, выбор формулы или понимание условия? Запишите домашнее задание: подготовиться к самостоятельной работе. Вам нужно решить по одной задаче каждого уровня из параграфа 102 (номера на доске)». | Ученики анализируют свои ошибки, записывают домашнее задание в дневники, задают уточняющие вопросы по подготовке к самостоятельной работе. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — 13-15 баллов: верно выполнен блиц-тест, решены задачи всех уровней без ошибок в вычислениях.
- «4» — 10-12 баллов: допущены мелкие ошибки в вычислениях или не полностью решена задача 3-го уровня.
- «3» — 7-9 баллов: решены только задачи 1 и 2 уровней, или допущены серьезные ошибки в применении формул.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
На каком этапе «ралли» вы почувствовали наибольшее затруднение? | Выявление пробелов в алгоритме решения (вычисления vs логика). |
Помогла ли вам работа в паре при решении задачи на нахождение угла? | Оценка эффективности коммуникативных УУД. |
Какую оценку вы бы поставили себе за внимательность сегодня? | Развитие навыка самокритичности и ответственности. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы убедились, что теорема косинусов — это мощный инструмент, который позволяет "раскрыть" любой треугольник. Мы увидели, как она помогает решать задачи из реальной жизни и задания ОГЭ. Помните, что точность в геометрии — это залог успеха. Если сегодня что-то не получилось, у вас есть домашнее задание, чтобы потренироваться перед контрольным заездом — самостоятельной работой. Спасибо за урок, все свободны!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №1025 (б), №1026 (а) | Отработка прямого применения формулы для нахождения сторон. |
Средний (повышающий) | №1030 | Нахождение углов треугольника, определение вида треугольника (остро-, прямоугольный или тупоугольный). |
Продвинутый (дополнительный) | Карточка «Задача о маяке» | Прикладная задача на нахождение расстояния между объектами на местности. |
Контрольный вопрос: «Как изменится формула теоремы косинусов, если угол между сторонами станет тупым? Подумайте над этим при выполнении ДЗ».