Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут определять значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180° через координаты точек единичной полуокружности.
- Образовательная задача: ввести понятие единичной полуокружности и обосновать новые определения тригонометрических функций.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать зависимости между геометрическими объектами и их алгебраическим представлением в системе координат.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к подготовке к ОГЭ через осознание практической значимости темы.
- Методическая задача: актуализировать знания о тригонометрии как инструменте решения треугольников после летних каникул.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Развитие логического мышления и критичности восприятия информации.
- Осознание геометрии как части общечеловеческой культуры.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение единичной полуокружности.
- Уметь находить координаты точек на единичной полуокружности для углов 0°, 90°, 180°.
- Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°.
- Понимать связь между координатами точки и значениями тригонометрических функций.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение в учебной деятельности (понимание «зачем мне это нужно для ОГЭ»).
- Смыслообразование (связь между теорией и практическим применением).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Прогнозирование результата и уровня усвоения знаний.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации из учебника Атанасяна.
- Моделирование (переход от треугольника к координатной плоскости).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с чертежом единичной полуокружности и таблицей значений.
- Распечатать рабочие листы с заготовками координатной плоскости (15 шт. — на каждую парту).
- Проверить наличие мела/маркеров разных цветов для выделения осей и радиус-вектора.
- Открыть учебник Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9» на странице 246 (пункт 93).
- Подготовить демонстрационный циркуль и линейку для работы у доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу после каникул и обозначить важность темы для итоговой аттестации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, ребята! Поздравляю вас с началом учебного года. Мы начинаем курс геометрии 9 класса, и впереди у нас ответственный этап — подготовка к ОГЭ. Сегодня мы открываем первую большую главу. Скажите, кто из вас помнит, как переводится слово 'тригонометрия'? Оно состоит из греческих корней 'тригонон' — треугольник и 'метрео' — измеряю. То есть мы будем заниматься измерением треугольников. Это те задачи, которые приносят стабильные баллы на экзамене. Настройтесь на серьезную, но интересную работу!» | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебника Атанасяна, тетради и чертежных инструментов. Отвечают на вопрос учителя о значении термина. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что тригонометрия — это наука об измерениях в треугольнике. Но сегодня мы увидим, что она выходит далеко за пределы простого треугольника».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти определения синуса, косинуса и тангенса для острого угла прямоугольного треугольника, изученные в 8 классе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним базу. На доске изображен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Как мы определяли синус, косинус и тангенс острого угла A? Посмотрите на плакат-подсказку. Кто может сформулировать правила?» Учитель записывает на доске: sin A = ?, cos A = ?, tg A = ?. | Ученики отвечают: «Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему». Один ученик записывает формулы буквами на доске: a/c, b/c, a/b. |
3 мин | «Отлично. А теперь вспомним значения для углов 30, 45 и 60 градусов. У вас на столах лежат карточки с пропусками, заполните их за 1 минуту. Это наш фундамент». Учитель контролирует процесс, проходя по рядам. | Заполняют мини-таблицу в тетрадях. Проверяют себя по эталону, который учитель выводит на экран. Вспоминают, что sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2. |
Запись в тетрадях
sin α = противолежащий катет / гипотенуза; cos α = прилежащий катет / гипотенуза; tg α = sin α / cos α.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Эти определения прекрасно работают для острых углов. Но что делать, если угол в треугольнике тупой? Например, 120 или 150 градусов? В прямоугольном треугольнике такого быть не может. Значит, нам нужно новое, более универсальное определение».
Этап 3. Проблемная ситуация и постановка задачи (3 мин)
Цель этапа: создать интеллектуальное затруднение, мотивирующее к поиску нового способа определения функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Представьте, что перед нами задача из ОГЭ: найти площадь треугольника, у которого угол равен 120 градусов. Формула площади включает синус этого угла. Но как найти синус 120 градусов, если мы не можем построить прямоугольный треугольник с таким углом? Есть идеи?» Учитель выдерживает паузу. «Нам нужно поместить наш угол в систему координат. Сегодня мы узнаем, как координаты точки помогут нам заменить катеты и гипотенузу». | Ученики задумываются, предлагают варианты (разбить угол на части, достроить до чего-то). Приходят к выводу, что старых знаний недостаточно. Формулируют цель: «Узнать, как определяются синус и косинус для углов больше 90 градусов». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, цель ясна. Для этого нам понадобится специальный инструмент — единичная полуокружность».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение единичной полуокружности и через координаты её точек определить sin, cos и tg.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Рисуем в тетрадях систему координат. Отмечаем начало координат O. Проведем полуокружность с центром в точке O и радиусом, равным 1. Она располагается в 1-й и 2-й четвертях. Такая полуокружность называется единичной. Почему именно 1? Потому что на 1 очень удобно делить! Давайте отметим на ней точку M с координатами (x; y). Проведем луч OM. Угол между положительной полуосью Ox и лучом OM назовем α (альфа)» | Аккуратно чертят систему координат, используют циркуль. Обозначают полуокружность, точку M(x, y) и угол α. Осознают, что радиус R = 1. |
4 мин | «Опустим перпендикуляр MD из точки M на ось Ox. Получился прямоугольный треугольник OMD. Чему равна его гипотенуза OM? Правильно, 1. Чему равен катет OD? Это координата x. А катет MD? Это координата y. Теперь подставим это в наши старые определения: sin α = MD/OM = y/1 = y. cos α = OD/OM = x/1 = x. Посмотрите, какая магия: синус — это просто координата y, а косинус — это координата x!» | Следя за рассуждением учителя, делают пометки в чертеже. Записывают в тетрадь: sin α = y, cos α = x. Делают вывод: чтобы найти синус и косинус, нужно просто знать координаты точки на окружности. |
4 мин | «Теперь давайте определим тангенс. Мы помним, что tg α = sin α / cos α. Значит, в координатах это будет y/x. При каком условии тангенс не существует? Правильно, когда x = 0. А при каком угле x равен нулю? При 90 градусах. Запишем это важное наблюдение». Учитель обращает внимание на пункт 93 учебника Атанасяна. | Записывают определение тангенса через координаты. Отмечают в тетрадях, что для α = 90° тангенс не определен. Находят этот абзац в учебнике на стр. 247. |
Запись в тетрадях
Определение: Единичная полуокружность — полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенная в полуплоскости y ≥ 0.
Для любого угла α от 0° до 180°:
sin α = y (ордината точки M)
cos α = x (абсцисса точки M)
tg α = y/x (при α ≠ 90°)
Для любого угла α от 0° до 180°:
sin α = y (ордината точки M)
cos α = x (абсцисса точки M)
tg α = y/x (при α ≠ 90°)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили универсальный инструмент. Теперь нам не важен треугольник, нам важна точка на окружности. Давайте проверим, как это работает для крайних точек».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: вычислить значения тригонометрических функций для углов 0°, 90° и 180°.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте найдем значения для углов 0°, 90° и 180°. Посмотрите на чертеж. Углу 0° соответствует точка A на оси Ox. Какие у неё координаты, если радиус равен 1? Правильно, (1; 0). Значит, cos 0° = 1, а sin 0° = 0. Теперь посмотрите на точку B (угол 90°) и точку C (угол 180°). Назовите их координаты». Учитель заполняет таблицу на доске по ответам детей. | Работают с чертежом. Отвечают: «Точка B имеет координаты (0; 1), значит sin 90° = 1, cos 90° = 0. Точка C имеет координаты (-1; 0), значит sin 180° = 0, cos 180° = -1». Заносят данные в таблицу. |
3 мин | «Обратите внимание на косинус 180 градусов. Он отрицательный! Это логично, ведь точка лежит в левой полуплоскости. А синус во всей верхней полуплоскости (от 0 до 180) всегда положительный или равен нулю. Это очень важный момент для задач ОГЭ, где нужно определить знак выражения». | Делают пометку: sin α ≥ 0 для α ∈ [0°; 180°]. Осознают, что косинус может быть отрицательным для тупых углов. |
Эталон таблицы
Угол α | 0° | 90° | 180° |
|---|---|---|---|
sin α | 0 | 1 | 0 |
cos α | 1 | 0 | -1 |
tg α | 0 | - | 0 |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь вы видите, что тригонометрия — это не только числа, но и знаки. Перейдем к самостоятельной проверке».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: проверить усвоение связи координат и функций на простых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Выполним небольшое задание. На карточке указаны координаты точек, лежащих на единичной полуокружности. Ваша задача — записать значения синуса и косинуса для соответствующих углов. 1) M(0.6; 0.8); 2) N(-0.5; 0.86). Также ответьте на вопрос: может ли синус угла быть равным 1.5? Почему?» Учитель выводит правильные ответы на экран через 3 минуты. | Выполняют задание. 1) sin = 0.8, cos = 0.6. 2) sin = 0.86, cos = -0.5. Отвечают на вопрос: «Нет, не может, так как точка лежит на единичной окружности, и координата y не может быть больше 1». Сверяются с экраном. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Молодцы, вы усвоили главное ограничение: значения синуса и косинуса всегда лежат в пределах от -1 до 1».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить уровень понимания и дать инструкции по выполнению домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к началу. Что нового мы узнали о синусе и косинусе? Как они связаны с координатами? Что было самым сложным сегодня?» Учитель использует прием 'Светофор': просит поднять зеленую карточку, если все понятно, желтую — если остались вопросы, красную — если тема кажется очень сложной. | Участвуют в беседе. Формулируют выводы: «Синус — это y, косинус — это x». Поднимают карточки самооценки. Большинство поднимает зеленые и желтые. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Вам нужно будет выучить определения и выполнить номера из учебника. Обратите внимание на номер 1013 — он как раз про координаты». | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно определил координаты всех точек, правильно назвал значения sin, cos, tg для граничных углов (0, 90, 180) и обосновал невозможность существования sin α > 1.
- «4» — допущены 1-2 ошибки в знаках координат или в значениях для граничных углов, но общая логика определений понята верно.
- «3» — ученик понимает связь функций с координатами, но путает x и y, допускает ошибки в вычислениях или не может определить значения для 180°.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая координата (x или y) отвечает за синус угла? | Проверка базового понимания нового определения. |
Почему косинус 120 градусов будет отрицательным? | Осознание связи геометрии с расположением в координатных четвертях. |
Где в ОГЭ нам могут встретиться эти знания? | Формирование учебной мотивации и связи с итоговой аттестацией. |
Что сегодня на уроке было самым понятным, а что — нет? | Выявление зон затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы сделали важный шаг. Мы вышли за рамки прямоугольного треугольника и научились смотреть на тригонометрию шире — через систему координат. Это знание станет ключом к решению сложных задач на площади и теоремы синусов и косинусов. Не пугайтесь новых определений, они станут вашими надежными помощниками. На следующем уроке мы докажем основное тригонометрическое тождество, которое связывает наши x и y. Спасибо за работу, до встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Пункт 93 учебника, № 1012, 1013 | Прочитать теорию, выучить определения sin, cos, tg через координаты. Выполнить упражнения на нахождение значений. |
Средний (повышающий) | № 1014, 1015 | Задания на нахождение координат точек, если известен угол. Требует применения знаний о спец. углах (30, 45, 60). |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательская задача | Попробуйте доказать, используя теорему Пифагора для треугольника OMD, что (sin α)² + (cos α)² = 1. |
Контрольный вопрос: «Как изменится синус угла, если мы будем увеличивать угол от 0 до 90 градусов? А от 90 до 180?» (Подумайте над этим дома, глядя на движение точки по полуокружности).