Формулы приведения (9 класс, геометрия)
Цели и задачи
- Цель: Сформулировать и доказать формулы приведения для углов 90° ± α и 180° - α, научиться применять их для нахождения значений тригонометрических функций тупых углов.
- Образовательная задача: Вывести формулы приведения, опираясь на свойства координат точек единичной полуокружности.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления и функциональной грамотности через анализ связей между тригонометрическими функциями.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к обучению через демонстрацию значимости темы для успешной сдачи ОГЭ.
- Методическая задача: Использовать приёмы парной работы и проблемного обучения для активизации познавательной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Навык работы с информацией, представленной в виде графических моделей (единичная полуокружность).
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать формулы приведения для sin(90° - α), cos(90° - α), sin(180° - α), cos(180° - α).
- Уметь вычислять значения синуса, косинуса и тангенса тупых углов, используя значения для острых углов.
- Владеть навыком преобразования тригонометрических выражений с использованием формул приведения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение: понимание практической значимости тригонометрии в задачах ОГЭ.
- Смыслообразование: установление связи между учебной деятельностью и будущим профессиональным самоопределением.
Регулятивные УУД
- Целеполагание: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль: сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Общеучебные: поиск и выделение необходимой информации в учебнике Атанасяна.
- Логические: анализ объектов с целью выделения признаков, синтез как составление целого из частей.
Коммуникативные УУД
- Сотрудничество: умение договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности при работе в парах.
- Аргументация: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображением единичной полуокружности и ключевыми формулами.
- Распечатать карточки для парной работы (задания на сопоставление) — 15 шт. (на парту).
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
- Проверить наличие в кабинете демонстрационного циркуля и линейки.
- Открыть учебник Атанасяна на стр. 248, пункт 102.
- Выписать на доску значения sin и cos для углов 30°, 45°, 60° как опорный материал.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: создание эмоционального настроя и актуализация связи темы с экзаменационными требованиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы продолжаем погружение в мир тригонометрии. Посмотрите на слайд: это задание №15 из открытого банка ОГЭ. Нам нужно найти площадь треугольника, зная две стороны и синус тупого угла между ними. Но в таблице значений синусов, которую вы учили в 8 классе, углы заканчиваются на 90 градусах. Как быть с углом 120 или 150 градусов? Сегодня мы научимся 'приводить' такие углы к уже знакомым нам острым углам. Эта тема — 'Формулы приведения' — ваш ключ к баллам на экзамене." | Слушают учителя, настраиваются на работу. Смотрят на экран, осознают проблему нехватки знаний для решения задачи ОГЭ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы успешно работать с новыми формулами, давайте вспомним базу, на которой они строятся."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторение определений синуса и косинуса через координаты точки на единичной полуокружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Вспомним определение из пункта 101 учебника. Если мы возьмем единичную полуокружность, то чему равен синус угла α? А косинус?" Учитель рисует полуокружность на доске и отмечает точку M(x; y). "Правильно. Запишите в тетрадях: sin α = y, cos α = x. Какие знаки имеют синус и косинус для углов от 0 до 180 градусов?" | Отвечают: "Синус равен ординате y точки, косинус — абсциссе x". Записывают формулы. Отвечают: "Синус всегда положителен, а косинус положителен для острых углов и отрицателен для тупых". |
2 мин | "Проверим знание таблицы. Чему равен sin 30°? cos 60°? sin 90°?" Учитель быстро опрашивает класс. | Фронтально отвечают: "1/2", "1/2", "1". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, фундамент заложен. Теперь перейдем к главной проблеме урока."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: формулировка темы и целей урока самими учащимися.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Представьте, что нам нужно найти sin 150°. Как это сделать, не имея под рукой калькулятора или таблиц Брадиса? Посмотрите на полуокружность. Угол 150° можно представить как 180° - 30°. Как вы думаете, связаны ли синусы этих углов? Какую цель мы поставим перед собой на этот урок?" | Ученики предполагают: "Наверное, они равны или отличаются знаком". Формулируют цель: "Вывести формулы, которые помогут вычислять тригонометрические функции углов больше 90 градусов через острые углы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно. Запишите тему урока: 'Формулы приведения'."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывод основных формул приведения через геометрические соображения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Рассмотрим первую пару формул для угла (90° - α). Это мы знаем из курса 8 класса для прямоугольного треугольника. Откройте учебник на стр. 249. Посмотрите на вывод формул sin(90° - α) = cos α и cos(90° - α) = sin α. Давайте докажем их, используя координаты точек. Если точка M имеет координаты (cos α; sin α), то точка M', полученная симметрией относительно биссектрисы 1-й четверти, будет иметь координаты...?" | Следят за рассуждением учителя, работают с текстом учебника. Отвечают: "Координаты поменяются местами: (sin α; cos α)". Делают чертеж в тетрадях. |
6 мин | "Теперь самое важное для тупых углов: угол (180° - α). Посмотрите на полуокружность. Углы α и 180° - α симметричны относительно оси OY. Что это значит для их координат x и y? Запишем результат: sin(180° - α) = sin α, cos(180° - α) = -cos α." | Анализируют симметрию: "Координата y (синус) одинаковая, а координата x (косинус) противоположна по знаку". Записывают формулы в рамку. |
Запись в тетрадях
Основные формулы приведения:
1) sin(90° - α) = cos α
2) cos(90° - α) = sin α
3) sin(180° - α) = sin α
4) cos(180° - α) = -cos α
5) tg(180° - α) = -tg α (при α ≠ 90°)
1) sin(90° - α) = cos α
2) cos(90° - α) = sin α
3) sin(180° - α) = sin α
4) cos(180° - α) = -cos α
5) tg(180° - α) = -tg α (при α ≠ 90°)
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили инструменты. Теперь научимся ими пользоваться в парах."
Этап 5. Первичное закрепление. Парная работа (7 мин)
Цель этапа: отработка применения формул в коммуникации между учениками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "У вас на партах карточки. Приём 'Найди пару'. В левой колонке — выражение (например, sin 120°), в правой — его упрощенный вид через острый угол (sin 60°). Обсудите с соседом, какие выражения равны, и соедините их линиями." | Работают в парах. Обсуждают: "Так, sin 120° — это sin(180° - 60°), значит это sin 60°. А cos 150° — это -cos 30°". |
5 мин | Учитель проходит по рядам, консультирует. Затем выводит правильные ответы на экран. "Проверьте себя. У кого нет ни одной ошибки, поднимите зеленую карточку (светофор)." | Сверяют свои результаты с эталоном на экране. Сигнализируют о понимании с помощью карточек самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что большинство справилось. Попробуем решить задачи посложнее самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Выберите один из уровней заданий. Уровень А — базовый (вычислить sin 135°, cos 120°). Уровень Б — продвинутый (найти значение выражения sin 150° + cos 120° - tg 135°). Уровень В — творческий (доказать, что в любом треугольнике sin(A+B) = sin C). Приступайте." | Выбирают уровень сложности в соответствии со своими силами. Самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
Эталон решения (Уровень Б)
1) sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2;
2) cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60° = -1/2;
3) tg 135° = tg(180° - 45°) = -tg 45° = -1;
4) 1/2 + (-1/2) - (-1) = 0 + 1 = 1.
2) cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60° = -1/2;
3) tg 135° = tg(180° - 45°) = -tg 45° = -1;
4) 1/2 + (-1/2) - (-1) = 0 + 1 = 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сдайте тетради на проверку те, кто выбрал уровень В. Остальные сверьтесь с ответами на доске."
Этап 7. Межпредметные связи и функциональная грамотность (5 мин)
Цель этапа: показать применение тригонометрии в физике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Знаете ли вы, что формулы приведения — это не только геометрия? В курсе физики 9 класса вы будете изучать оптику. Закон преломления света (закон Снеллиуса) гласит: n1 * sin α = n2 * sin β. Если свет падает под тупым углом к какой-то поверхности (в сложных оптических системах), физики всегда используют формулы приведения, чтобы упростить расчеты. Также они незаменимы при описании колебаний маятника. Математика — это язык, на котором говорит физика." | Слушают, делают пометки. Осознают универсальный характер изучаемых формул. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наш урок подходит к концу, пора подвести итоги нашей работы."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Заполните таблицу рефлексии в ваших листах самооценки. И запишите домашнее задание. Обратите внимание на творческое задание — оно поможет вам лучше понять связь тригонометрии и координат." | Заполняют листы самооценки, записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или В), аргументирован выбор формул, отсутствуют вычислительные ошибки.
- "4" — верно выполнены задания, но допущена одна негрубая ошибка в знаке или вычислениях, или работа выполнена не в полном объеме.
- "3" — выполнен только базовый уровень А с подсказками учителя или соседа, есть ошибки в применении формул приведения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая формула сегодня показалась самой сложной для запоминания? | Выявление зон затруднения в понимании тригонометрических связей. |
Где в ОГЭ мне пригодятся эти знания? | Осознание практической значимости и повышение учебной мотивации. |
Оцени свою работу на уроке от 1 до 10. Почему такая оценка? | Развитие навыка самоанализа и адекватной самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы отлично поработали и 'приручили' тупые углы. Теперь они не страшны вам ни в задачах на площади, ни в физических опытах. Помните, что тригонометрия — это логика, а не просто зазубривание. На следующем уроке мы применим эти формулы для вывода теоремы косинусов. Всем спасибо за урок!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник Атанасян, № 1014, 1015 | Вычислить значения синуса и косинуса для углов 120°, 135°, 150°. |
Средний (повышающий) | Учебник Атанасян, № 1017 | Доказать тождества, используя формулы приведения. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Составить мнемоническое правило ('запоминалку') для знаков синуса и косинуса в разных четвертях. |
Контрольный вопрос: Чему равен косинус угла 180 градусов и как это доказать с помощью единичной полуокружности?