Третий признак равенства треугольников
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока сформулировать третий признак равенства треугольников, научиться распознавать его применение и использовать признак для доказательства равенства треугольников минимум в двух геометрических задачах.
- Сформировать представление о третьем признаке равенства треугольников и его отличии от первого и второго признаков.
- Научить устанавливать равенство треугольников по трём сторонам и записывать доказательство с обоснованием каждого шага.
- Развивать умение анализировать чертёж, выдвигать гипотезу, проверять её и аргументировать решение в паре и при фронтальном обсуждении.
- Воспитывать аккуратность геометрических построений, ответственность за собственное решение и уважение к аргументированной позиции одноклассника.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к доказательствам и понимают значение точного рассуждения в математике.
- Осознают ценность самостоятельного поиска способа решения и готовность корректировать ошибочную гипотезу.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников при обсуждении различных вариантов доказательства.
- Понимают связь геометрических доказательств с инженерной, архитектурной и конструкторской деятельностью.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность доказательства.
- Извлекают информацию из чертежа, таблицы соответствий и краткого условия задачи.
- Сравнивают известные признаки равенства треугольников и выделяют существенные признаки нового способа.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы, формулируют и защищают вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют ошибки в записи доказательства.
Предметные
- Знать формулировку третьего признака равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Уметь находить на чертеже три пары соответственно равных сторон.
- Уметь записывать равенство треугольников с правильным порядком вершин.
- Уметь применять третий признак для доказательства равенства треугольников и получения новых равенств элементов.
- Различать случаи применения первого, второго и третьего признаков равенства треугольников.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за достоверность выполненного доказательства.
- Проявляют готовность доводить рассуждение до логического завершения.
- Оценивают собственную уверенность в применении нового признака.
- Связывают точность геометрических рассуждений с качеством практической работы инженера или архитектора.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после анализа проблемной ситуации.
- Планируют доказательство по шагам: выделить пары равных сторон, сопоставить вершины, применить признак.
- Сверяют собственную запись с критериями корректного доказательства.
- Обнаруживают ошибку в порядке вершин и самостоятельно исправляют её.
- Оценивают результат работы по предложенной шкале.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные свойства геометрических объектов на чертеже.
- Сравнивают третий признак с ранее изученными признаками равенства треугольников.
- Строят логическую цепочку доказательства на основе трёх пар равных сторон.
- Моделируют соответствие сторон и вершин с помощью таблицы и цветовых обозначений.
- Формулируют вывод на основе наблюдений и проверки гипотезы.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, докладчик или проверяющий.
- Формулируют вопрос к решению партнёра и объясняют собственный выбор.
- Используют математическую речь: «соответственно равные стороны», «по третьему признаку».
- Аргументированно соглашаются или не соглашаются с предложенным доказательством.
- Учитывают позицию одноклассника при выборе наиболее ясного способа записи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение двух пар треугольников: в первой паре равны две стороны и угол между ними, во второй — три стороны.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего 15 карточек, с чертежами и длинами сторон.
- Подготовить три комплекта карточек для дифференциации: базовый, стандартный и повышенный уровни.
- Подготовить цветные маркеры или магнитные полоски для выделения трёх пар соответствующих сторон.
- Вывесить на доску памятку: «1. Найди три пары равных сторон. 2. Установи соответствие вершин. 3. Запиши равенство треугольников. 4. Назови признак».
- Подготовить листы самооценки по три пункта: «нахожу пары сторон», «правильно записываю вершины», «обосновываю признак».
- Распечатать эталон решения для самостоятельной проверки — по одному листу на ученика или вывести его на экран после выполнения задания.
- Подготовить линейки и карандаши — по одному комплекту на каждого ученика.
- Проверить готовность доски, проектора или интерактивной доски; заранее открыть изображение чертежей без готового вывода.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, связанную с определением равенства треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, линейка, карандаш и ручка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только знание признаков, но и внимательность к каждой вершине и каждой стороне. В конце урока вы сами сформулируете новый признак." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, оставляют свободное место для темы. |
2 мин | Учитель показывает на экране два чертежа треугольников с одинаковыми наборами длин сторон, но без обозначения равенства: "Представьте, что две детали треугольной формы изготовлены отдельно. Как определить по измерениям, совпадут ли они при наложении? Достаточно ли знать только один размер? Какие данные нужно сравнить?" Учитель принимает гипотезы, но не сообщает готовое правило. | Рассматривают чертежи, формулируют предположения: "Нужно сравнить стороны", "Нужно знать все три стороны", "Надо проверить соответствие вершин". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую задачу: установить, задают ли три длины единственный треугольник. Сейчас проверим эту гипотезу и выясним, можно ли превратить её в строгий геометрический признак."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о треугольнике, соответствии вершин и первых двух признаках равенства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит короткий устный опрос: "Что называется треугольником? Какие элементы треугольника вы знаете? Что означает запись $AB = A_1B_1$?" На доске фиксирует слова «сторона», «угол», «вершина», «соответствие». | Отвечают: "Треугольник — фигура из трёх отрезков", "стороны, углы, вершины"; объясняют, что отрезки имеют одинаковую длину. |
3 мин | Учитель показывает карточки с двумя известными признаками: "Вспомните первый и второй признаки равенства треугольников. Какие элементы должны совпасть? Почему в первом признаке важно, что угол расположен между данными сторонами?" Учитель предлагает поднять зелёную карточку, если условие достаточно, и жёлтую, если требуется уточнение. | Определяют первый признак по двум сторонам и углу между ними, второй — по стороне и двум прилежащим углам. Объясняют: "Положение угла важно, потому что он связывает две данные стороны". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что равенство треугольников устанавливают по точно определённым наборам элементов. Первый и второй признаки требуют углов. Посмотрим, что произойдёт, если известны только три стороны."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель открытия нового признака.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с условием: «В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Можно ли сразу утверждать, что треугольники равны? Объясните ответ». Учитель просит сначала подумать молча 30 секунд, затем обсудить в паре. | Читают условие, выделяют три равенства сторон, обсуждают в паре. Одни пары отвечают: "Да, похоже на достаточное условие", другие: "Нужно доказать, что этого достаточно". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какой шаг нам неизвестен? Как проверить соответствие треугольников? Какую цель поставим на урок? Запишите формулировку, которую считаете точной." Учитель принимает 2–3 варианта и объединяет их. | Формулируют цель: "Узнать, достаточно ли трёх пар равных сторон для равенства треугольников, и научиться применять это в доказательстве". Записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно не просто заметить три равенства, а обосновать, почему они гарантируют равенство треугольников. Для этого проведём небольшое исследование и затем оформим результат как признак."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: через исследование и обсуждение вывести формулировку третьего признака равенства треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре набор из трёх полосок длиной 4 см, 5 см и 6 см: "Составьте из этих отрезков треугольник. Теперь попробуйте составить другой треугольник с теми же длинами сторон, но заметно иной формы. Можно ли сохранить все три длины и получить треугольник, не равный первому?" Учитель напоминает работать аккуратно, не растягивать полоски. | Собирают модель треугольника, сравнивают её с моделью соседа, проверяют длины сторон линейкой. Формулируют наблюдение: "При трёх заданных сторонах форма определяется однозначно с точностью до наложения". |
3 мин | Учитель выводит на экран два треугольника и цветом выделяет соответствующие стороны: "Посмотрите: $AB$ и $A_1B_1$ отмечены одним цветом, $BC$ и $B_1C_1$ — вторым, $AC$ и $A_1C_1$ — третьим. Если эти три пары сторон равны, что можно сказать о треугольниках? Как назовём такой способ установления равенства?" | Сопоставляют стороны по цветам, отвечают: "Треугольники равны"; предлагают формулировку: "По трём сторонам". |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске: "Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Обратите внимание на слово «соответственно»: равенства должны соединять стороны, лежащие напротив соответствующих вершин. Как определить порядок вершин в записи?" | Записывают формулировку, составляют соответствие $AB \leftrightarrow A_1B_1$, $BC \leftrightarrow B_1C_1$, $AC \leftrightarrow A_1C_1$, делают вывод: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны». Ниже записывают алгоритм: 1) найти три пары равных сторон; 2) установить соответствие вершин; 3) записать равенство треугольников; 4) указать третий признак.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли новый способ доказательства: три пары соответственно равных сторон дают равенство треугольников. Теперь проверим, умеем ли мы видеть соответствие на чертеже и не ошибаемся ли в порядке букв."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять новый признак по готовому чертежу с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает чертёж: в треугольниках $MNP$ и $KLM$ отмечено $MN = KL$, $NP = LM$, $MP = KM$. Говорит: "Работаем по алгоритму. Сначала назовите три пары равных сторон. Затем определите, какой вершине $M$ соответствует вершина $K$, какой вершине $N$ — $L$, какой вершине $P$ — $M$. Только после этого запишите равенство треугольников." | Называют пары сторон, составляют соответствие $M \leftrightarrow K$, $N \leftrightarrow L$, $P \leftrightarrow M$ и записывают: $\triangle MNP = \triangle KLM$. |
2 мин | Учитель просит одну пару объяснить решение: "Почему нельзя написать $\triangle MNP = \triangle KML$? Проверим первую, вторую и третью буквы по соответствующим сторонам." | Объясняют, что порядок вершин должен сохранять соответствие сторон; сравнивают стороны $MN$ и $KL$, $NP$ и $LM$. |
2 мин | Учитель раздаёт две короткие карточки на выбор: базовую — определить признак по трём равенствам сторон; повышенную — найти ошибку в готовой записи. "Выберите уровень, который позволит вам работать самостоятельно, но не бездумно. После решения обменяйтесь карточками с соседом и проверьте по алгоритму." | Решают выбранное задание, обмениваются карточками, отмечают правильность ответа и формулируют замечание партнёру. |
Эталон решения
Дано: $MN = KL$, $NP = LM$, $MP = KM$. Следовательно, стороне $MN$ соответствует $KL$, стороне $NP$ — $LM$, стороне $MP$ — $KM$. Вершине $M$ соответствует $K$, вершине $N$ — $L$, вершине $P$ — $M$. Поэтому $\triangle MNP = \triangle KLM$ по третьему признаку равенства треугольников.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная трудность сейчас — не запомнить название признака, а правильно установить соответствие вершин. Мы сделали это вместе. Теперь каждый проверит, сможет ли выполнить доказательство без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять третий признак и корректно оформлять доказательство.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет критерии: "Выполните два задания. В первом нужно установить равенство треугольников по данным сторонам. Во втором — доказать равенство и назвать отрезок, равный заданному после доказательства. Сначала работаем самостоятельно, вопросы не обсуждаем." | Записывают номера заданий, готовят чертёж и формулируют план решения. |
5 мин | Учитель выдаёт карточку: «В треугольниках $ABC$ и $DEF$: $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$. Если $AC = 7$ см, чему равен $DF$?» Для сильных учеников дополнительное задание: «Докажите равенство треугольников по чертежу, если $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ — общая сторона». Учитель наблюдает, задаёт только направляющие вопросы: "Какая сторона соответствует первой? Какой порядок вершин получится?" | Индивидуально записывают условие, выделяют три пары равных сторон, устанавливают соответствие $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$, оформляют доказательство. Получают: $DF = AC = 7$ см. |
4 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только ответ, но и логику. В доказательстве должны быть три равенства сторон, правильная запись равенства треугольников и название признака. Поставьте в листе самооценки знак «+» или «?» напротив каждого умения." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, заполняют лист самооценки, при необходимости формулируют вопрос учителю. |
Эталон решения
Имеем $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$. Три стороны треугольника $ABC$ соответственно равны трём сторонам треугольника $DEF$, поэтому $\triangle ABC = \triangle DEF$ по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства соответствующих сторон следует $AC = DF$. Так как $AC = 7$ см, то $DF = 7$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что признак можно применять не только для ответа «треугольники равны», но и для получения равенства соответствующих элементов. Осталось зафиксировать, что именно мы узнали и где ещё можем использовать этот способ."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить открытый способ, оценить степень его освоения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "На отдельном листке завершите три фразы: «Третий признак утверждает, что…»; «Чтобы правильно записать равенство треугольников, нужно…»; «Сегодня мне ещё нужно потренироваться…». Сдайте листок при выходе, это не контрольная оценка, а способ понять, какая помощь потребуется дальше." | Индивидуально дописывают три фразы. Примеры ответов: "Три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого"; "Нужно установить соответствие вершин"; "Мне нужно потренироваться читать чертёж". |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Обязательная часть нужна всем. Повышающий уровень выбирают те, кто уверенно справился с самостоятельной работой. Дополнительное задание — для тех, кто хочет проверить себя на доказательстве с несколькими шагами. Перед записью задания ответьте: сколько пар равных сторон нужно для третьего признака?" | Записывают выбранный уровень домашней работы, отвечают: "Три пары соответственно равных сторон"; формулируют один вопрос, который остался после урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не получили признак в готовом виде, а восстановили его через исследование и доказательство. Вы научились устанавливать соответствие сторон и вершин, а также применять третий признак для нахождения неизвестного элемента. На следующем уроке будем использовать признаки равенства в более сложных доказательствах."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены оба обязательных задания, указаны все три пары соответственно равных сторон, правильно записано равенство треугольников, назван третий признак, ответ обоснован.
- «4» — выполнены оба задания, но допущена одна неточность в оформлении или объяснении, не повлиявшая на общий ход доказательства; после самопроверки ошибка исправлена.
- «3» — правильно определено наличие трёх пар равных сторон и назван третий признак, но допущена ошибка в порядке вершин или доказательство записано неполно.
- Оценка может быть повышена при самостоятельном выполнении дополнительного задания с корректным доказательством и ясным объяснением соответствия вершин.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что утверждает третий признак равенства треугольников? | Проверка осознания формулировки нового признака. |
Как вы определяете порядок вершин при записи равенства треугольников? | Выявление понимания соответствия сторон и вершин. |
Какое действие в доказательстве оказалось самым сложным? | Выявление точки затруднения в алгоритме решения. |
В какой ситуации вы сможете применить этот признак вне сегодняшнего примера? | Проверка переноса знания на новую задачу и осознания практической ценности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли третий признак равенства треугольников и убедились, что три пары соответственно равных сторон позволяют установить равенство треугольников. Самая частая ошибка — назвать три равные стороны, но записать вершины в неправильном порядке. Поэтому каждый раз сначала устанавливайте соответствие сторон, а уже затем записывайте равенство треугольников. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, в которых равенство треугольников помогает доказать равенство отрезков и углов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выучить формулировку третьего признака и решить 3 задачи на установление равенства треугольников по трём парам соответственно равных сторон; в каждой задаче записать соответствие вершин и название признака. | Закрепляет формулировку и алгоритм применения; при проверке обратить внимание на правильный порядок вершин и полноту доказательства. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи, в которых после доказательства равенства треугольников требуется найти неизвестную сторону или доказать равенство двух отрезков. | Формирует умение использовать следствия из равенства треугольников; при проверке оценивать связь между доказанным равенством и требуемым выводом. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с двумя треугольниками, тремя парами равных сторон и чертежом, затем оформить доказательство по третьему признаку и предложить однокласснику найти один соответствующий элемент. | Развивает создание математической модели и умение конструировать доказательство; при проверке смотреть на корректность условия, чертежа и соответствия вершин. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Сколько пар сторон должно быть соответственно равными?», «Почему важен порядок вершин в записи равенства треугольников?», «Как называется признак, применённый сегодня?», «Что нужно сделать первым при решении задачи по чертежу?»
