Треугольники. Первый признак равенства треугольников
Цели и задачи
- Цель: за 45 минут закрепить умение распознавать первый признак равенства треугольников и применять его для доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
- Закрепить понимание того, что у равных треугольников совпадают соответствующие элементы, а порядок букв в записи равенства показывает соответствие вершин.
- Отработать алгоритм доказательства: выбрать треугольники, установить равенство двух сторон и угла между ними, сделать вывод по первому признаку.
- Развивать умение находить общую сторону, вертикальные углы и правильно записывать соответствующие вершины.
- Формировать навыки сотрудничества в паре, самопроверки и аргументированного ответа.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к доказательному рассуждению и понимают ценность точной записи геометрического вывода.
- Осознают личную ответственность за результат парной и индивидуальной работы.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно найти соответствие вершин треугольников.
Метапредметные
- Выделяют условие и вывод геометрической задачи, структурируют доказательство по шагам.
- Работают с рисунком, обозначениями равных отрезков и дугами равных углов.
- Сопоставляют разные способы поиска равных элементов и проверяют правильность записи равенства треугольников.
- Формулируют ответ и аргументируют его в паре.
Предметные
- Знать формулировку первого признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.
- Уметь находить угол между двумя указанными сторонами.
- Уметь использовать общую сторону и вертикальные углы при доказательстве.
- Уметь правильно записывать равенство треугольников с учётом соответствия вершин.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе пары равных треугольников.
- Осознают смысл точного математического языка и последовательного доказательства.
- Оценивают собственный вклад в работу пары.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и планируют последовательность доказательства.
- Контролируют соответствие выбранного угла указанным сторонам.
- Проверяют порядок вершин в записи равенства треугольников.
- Исправляют ошибку в доказательстве после сравнения с эталоном.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из чертежа и текста задачи.
- Сравнивают элементы двух треугольников и устанавливают их соответствие.
- Распознают вертикальные углы и общую сторону.
- Строят краткое доказательство по первому признаку.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и распределяют действия при доказательстве.
- Формулируют вопросы о соответствии вершин и угле между сторонами.
- Аргументируют выбор треугольников и корректно исправляют неточности партнёра.
- Представляют классу последовательное доказательство.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с формулировкой первого признака, задачами 1–9 и готовыми решениями задач 1, 2, 3, 4 и 8.
- Подготовить проектор, компьютер и экран для показа презентации.
- Вывести на доску памятку: «1) выбрать треугольники; 2) найти две равные стороны; 3) найти угол между ними; 4) сделать вывод по первому признаку; 5) проверить соответствие вершин».
- Подготовить карточки для парной работы с условиями задач 2, 3 и 8 — по одной карточке на парту.
- Подготовить листы для самостоятельной работы с задачами 4 и 5 из презентации — по одному на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами: «нахожу две стороны», «нахожу угол между ними», «правильно записываю соответствие».
- Организовать показ чертежей треугольников и четырёхугольников без замены их словесным описанием.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и обозначить практическую задачу урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня мы будем не изучать новый материал, а проверять, насколько уверенно умеем доказывать равенство треугольников." | Готовят тетради и ручки, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает первый слайд презентации: "Посмотрите на тему: две стороны и угол между ними. Сегодня важно не просто назвать признак, а применить его к чертежу и записать доказательство без ошибки в порядке вершин. В конце урока вы сможете проверить себя по памятке." | Формулируют ожидаемый результат: "Нужно научиться доказывать равенство треугольников по первому признаку". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Тема и цель определены. Сначала вспомним, что означает равенство треугольников и как читается соответствие вершин, а затем перейдём к доказательствам."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить определения и признаки, необходимые для решения задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает слайд о равных треугольниках: "Что значит, что треугольники равны? Что происходит при наложении? Какие элементы у равных треугольников соответствуют друг другу?" | Отвечают: "Треугольники совмещаются наложением"; "Равны все соответствующие стороны и углы". |
3 мин | Учитель показывает запись соответствия: "Рассмотрите запись равенства треугольников. Почему порядок букв нельзя менять произвольно? Назовите соответствующие вершины в записи △ABC = △KNM." | Называют соответствие: "A соответствует K, B соответствует N, C соответствует M". Объясняют, что порядок букв показывает соответствующие вершины. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что равенство треугольников связано с соответствием всех элементов, а запись должна сохранять порядок вершин. Теперь проверим, как эти знания работают в первом признаке."
Этап 3. Формулировка правила и разбор ошибки (5 мин)
Цель этапа: закрепить формулировку первого признака и увидеть типичную ошибку в записи соответствия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает слайд с теоремой: "Прочитайте условие и вывод. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны. Обратите внимание: обе стороны должны выходить из вершины указанного угла." | Читают формулировку, выделяют условие и вывод, повторяют название признака: "По двум сторонам и углу между ними". |
3 мин | Учитель показывает задачу 1: "Известно, что AC = MK, CB = MN, угол C равен углу M. Докажите равенство треугольников. В презентации дана запись △ABC = △MNK. Найдите ошибку и объясните, почему правильная запись — △ABC = △KNM." | В парах обсуждают 1 минуту, затем отвечают: "C соответствует M, B соответствует N, значит A соответствует K; правильная запись — △ABC = △KNM". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная проверка перед выводом — найти именно угол между двумя равными сторонами и правильно установить соответствие вершин. Теперь применим этот алгоритм к задачам с вертикальными углами и общей стороной."
Этап 4. Парная работа. Задачи 2 и 3 (9 мин)
Цель этапа: отработать применение первого признака при использовании вертикальных углов и общей стороны.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает задачу 2: "Известно, что AO = OD, BO = OC. Отрезки AD и BC пересекаются в точке O. Докажите, что △ABO = △DCO. Работайте в парах: один ученик называет равные стороны, второй формулирует равенство углов и итог." | В парах находят AO = OD и BO = OC, определяют вертикальные углы, записывают ∠AOB = ∠DOC и вывод △ABO = △DCO по первому признаку. |
5 мин | Учитель показывает задачу 3: "Известно, что AD = BC, ∠CAD = ∠ACB. Докажите, что △ABC = △CDA. Найдите сторону, которая принадлежит обоим треугольникам. Проверьте, что данный угол находится между двумя используемыми сторонами." | Находят общую сторону AC, записывают AC = CA, используют BC = AD и ∠ACB = ∠CAD, формулируют вывод: "△ABC = △CDA по первому признаку". |
Запись в тетрадях
Алгоритм доказательства: 1) рассматриваем выбранные треугольники; 2) записываем равенство двух сторон; 3) записываем равенство угла между ними; 4) делаем вывод по первому признаку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В задачах 2 и 3 недостающий элемент находился не в условии напрямую: это были вертикальные углы и общая сторона. Сейчас каждый выполнит доказательство самостоятельно и проверит, умеет ли применять тот же алгоритм без подсказки пары."
Этап 5. Первичное закрепление. Задачи 4 и 5 (8 мин)
Цель этапа: закрепить поиск общей стороны и вертикальных углов в доказательстве равенства треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает задачу 4: "Известно, что AB = DC, ∠CAB = ∠ACD. Докажите, что △ABC = △CDA. На рисунке отрезки пересекаются, но это не мешает найти общую сторону. Какая сторона принадлежит обоим треугольникам?" | Находят общую сторону AC, записывают AC = CA, AB = CD, ∠CAB = ∠ACD и выводят △ABC = △CDA. |
4 мин | Учитель показывает рисунок задачи 5: "Найдите пару равных треугольников и докажите их равенство. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, одинаковые штрихи обозначают равные отрезки. Сначала назовите два треугольника, затем угол при O." | Выбирают △AOB и △COD, записывают AO = OC, BO = OD, ∠AOB = ∠COD как вертикальные, делают вывод △AOB = △COD. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели два устойчивых приёма: общая сторона записывается как равная самой себе, а вертикальные углы — как равные. Переходим к индивидуальной проверке."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой. Задачи 6 и 8 (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное выполнение доказательства по первому признаку и правильность записи соответствия вершин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель показывает задачу 6: "Найдите пару равных треугольников и докажите их равенство. Из точки A выходят лучи AB, AC, AD; на рисунке отмечены равные стороны и углы. Какая сторона участвует сразу в двух треугольниках? Запишите доказательство полностью." | Индивидуально выбирают △ABC и △ADC, записывают AB = AD, AC = AC как общую сторону, ∠BAC = ∠DAC, делают вывод △ABC = △ADC. |
4 мин | Учитель показывает задачу 8 и эталон решения: "Сравните свою запись с решением на экране. Проверьте, правильно ли выбраны вершины и назван угол между равными сторонами." | Проверяют: △FKH и △PEH; FK = PE, KH = HE, ∠FKH = ∠PEH; выводят △FKH = △PEH по первому признаку. Исправляют ошибки и отмечают их в листе самооценки. |
Эталон решения
Для задачи 8: рассматриваем △FKH и △PEH. По отметкам FK = PE и KH = HE. Углы ∠FKH и ∠PEH являются углами между указанными равными сторонами и равны по отметкам. Следовательно, △FKH = △PEH по первому признаку. Соответствие вершин: F↔P, K↔E, H↔H.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, умеете ли вы пройти весь алгоритм без подсказки. Осталось оценить не только правильность ответа, но и то, какой шаг доказательства требует дополнительного внимания."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и закрепить алгоритм доказательства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите зелёный, жёлтый или красный сигнал: зелёный — уверенно применяю признак, жёлтый — иногда путаю соответствие, красный — нужна помощь. Объясните одним предложением свой выбор." | Показывают сигнал и формулируют самооценку: "Уверенно нахожу равные стороны" или "Путаю порядок вершин". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что является ключевыми словами первого признака? Где должен находиться угол? Какие элементы мы находили дополнительно? Как записать общую сторону?" | Отвечают: "Две стороны и угол между ними"; "Угол должен быть между сторонами"; "Вертикальные углы и общую сторону"; "AC = CA". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы закрепили полный алгоритм доказательства и увидели, что рисунок помогает найти недостающие равные элементы. При выполнении домашней работы особенно проверьте угол между сторонами и порядок букв в выводе."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выбрана пара треугольников, найдены две равные стороны и угол между ними, корректно использованы вертикальные углы или общая сторона, доказательство завершено верной записью равенства.
- «4» — решение в целом верное, но допущена одна неточность в формулировке или записи соответствия вершин, не повлиявшая на выбор первого признака.
- «3» — выбрана подходящая пара треугольников и указаны некоторые равные элементы, но доказательство неполное либо неверно определён угол между сторонами.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является ключевыми словами первого признака равенства треугольников? | Проверка осознания формулировки признака. |
Как проверить, что угол является углом между указанными сторонами? | Выявление понимания расположения элементов. |
Какая ошибка возникла при записи соответствия вершин? | Выявление затруднений в чтении записи равенства. |
Какой шаг доказательства вы теперь можете выполнить самостоятельно? | Субъективная оценка освоения алгоритма. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили первый признак равенства треугольников: две стороны и угол между ними. Вы научились находить вертикальные углы, использовать общую сторону и проверять порядок соответствующих вершин. Типичная ошибка — записать правильные элементы, но нарушить соответствие букв в названии треугольников. На следующем уроке продолжим применять признаки равенства при решении геометрических задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Повторить формулировку первого признака и выполнить 3 доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, используя чертежи из презентации. | Закрепляет формулировку признака и базовый алгоритм; проверить наличие всех трёх равных элементов. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задачи, в которых недостающими элементами являются общая сторона или вертикальные углы, по образцу задач 2–5 презентации. | Закрепляет поиск скрытых равных элементов и последовательность доказательства. |
Продвинутый (дополнительный) | Выполнить доказательство для двух чертежей из презентации, самостоятельно выбрать пару треугольников и записать соответствие вершин в обоих возможных порядках. | Развивает анализ чертежа и точность математической записи. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как формулируется первый признак? Где должен находиться угол? Как записать общую сторону? Почему в записи равенства треугольников нельзя произвольно менять порядок букв?»
