Второй признак равенства треугольников
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать второй признак равенства треугольников, формулировать его и применять для доказательства равенства треугольников в учебных задачах.
- Установить зависимость равенства треугольников от равенства двух сторон и угла, заключённого между ними.
- Сформулировать и записать второй признак равенства треугольников, отличать его от первого признака.
- Научиться выделять в условии две соответствующие стороны и заключённый между ними угол, составлять краткую запись и доказательство.
- Развивать умение аргументировать решение, работать в паре, проверять доказательство и корректировать допущенные ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам доказательства геометрических утверждений.
- Осознают ценность точного рассуждения и обоснованного вывода.
- Развивают самостоятельность при выборе способа решения и готовность принимать аргументированное мнение одноклассника.
- Формируют ответственное отношение к записи доказательства и взаимопроверке.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность доказательства.
- Извлекают информацию из чертежа, краткой записи и текста задачи.
- Сравнивают первый и второй признаки равенства треугольников, выделяют общее и различия.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют логические ошибки.
Предметные
- Знать формулировку второго признака равенства треугольников.
- Понимать, что речь идёт о двух сторонах и угле, заключённом между ними.
- Уметь распознавать соответствующие элементы на чертеже.
- Уметь применять второй признак при доказательстве равенства треугольников.
- Уметь записывать доказательство с указанием равных элементов и основания вывода.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение общей задачи.
- Осознают необходимость точности обозначений и последовательности рассуждений.
- Проявляют готовность обсуждать разные способы доказательства без перехода к оценке личности.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют действия: выделить данные, сопоставить элементы, выбрать признак, оформить вывод.
- Контролируют соответствие доказательства условию задачи.
- Находят и исправляют ошибку в готовом рассуждении.
- Оценивают степень освоения признака по критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки геометрической фигуры.
- Моделируют условие задачи на чертеже.
- Сравнивают два признака равенства треугольников.
- Устанавливают логическую связь между равенством элементов и выводом о равенстве треугольников.
- Используют символическую запись и геометрическую терминологию.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, докладчик, проверяющий.
- Формулируют вопрос к неполному доказательству.
- Объясняют выбор признака с опорой на условие.
- Согласуют общий вариант записи.
- Корректно дают обратную связь по схеме «две сильные стороны и пожелание».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя парами треугольников: в одной заданы две стороны и угол между ними, в другой — две стороны и угол, не заключённый между ними.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего 15 экземпляров, с чертежами и краткими условиями.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы: по одной на каждого ученика, 30 экземпляров.
- Подготовить цветные маркеры или мел: стороны обозначить одним цветом, заключённые углы — другим.
- Вывесить на доске памятку: «Дано → Найти соответствующие элементы → Выбрать признак → Сделать вывод».
- Подготовить мини-эталон с формулировками первого и второго признаков равенства треугольников.
- Подготовить листы для приёма «Билет на выход» — по одному на каждого ученика.
- Организовать проектор или интерактивную доску для показа чертежей.
- Разложить на парты линейки, карандаши и угольники для построения треугольников.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, требующую нового признака.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетради, линейки и внимательный взгляд на чертёж. Проверьте, чтобы на парте были ручка и карандаш. На уроке вы сможете выбрать: сначала самостоятельно исследовать чертёж или сразу обсудить его с партнёром." | Готовят принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает два треугольника с одинаковыми двумя сторонами и равными углами между ними: "Представьте, что конструктор должен изготовить деталь треугольной формы. Достаточно ли знать две стороны и угол между ними, чтобы деталь получилась единственной? Не отвечайте сразу — сначала рассмотрите чертёж и сформулируйте предположение." | Рассматривают чертёж, индивидуально формулируют предположение, затем обсуждают его с соседом; предполагают: "Да, такая информация может однозначно задать треугольник". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели ситуацию, в которой нужно не просто назвать элементы, а доказать, что их достаточно. Сейчас вспомним уже известный способ сравнения треугольников и найдём место для нового знания."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия соответствующих сторон, углов и первый признак равенства треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$: "Назовите элементы, которые могут быть соответствующими. Что означает запись $AB=A_1B_1$? Как определить, какие углы являются соответствующими?" Учитель просит одного ученика показать соответствующие элементы цветным маркером. | Называют пары соответствующих сторон и углов, отвечают: "$AB=A_1B_1$ означает равенство соответствующих сторон"; отмечают элементы на чертеже. |
2 мин | Учитель организует приём «Тонкие и толстые вопросы»: "Сформулируйте один вопрос на воспроизведение первого признака и один вопрос на объяснение, почему он работает. Напомню: первый признак связан с тремя элементами — двумя сторонами и углом между ними." | В парах формулируют вопросы: "Какие элементы должны быть равны?" и "Почему равенство двух сторон и угла между ними позволяет сделать вывод?" Отвечают: "По двум сторонам и углу между ними". |
2 мин | Учитель демонстрирует готовую запись: $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$. Спрашивает: "Какой вывод можно сделать и на каком основании? Что изменится, если мы будем рассматривать другой угол?" | Читают запись, отвечают: "$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку"; замечают, что важно положение угла между сторонами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что соответствие элементов и положение угла имеют принципиальное значение. Теперь проверим, можно ли построить новый признак на той же идее, но с другой комбинацией данных."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два условия на экране: 1) $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$; 2) $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle B=\angle B_1$. Учитель спрашивает: "В первом случае угол заключён между известными сторонами. А во втором? Можно ли автоматически применить первый признак? Объясните, чего нам не хватает в известном правиле." | Сравнивают условия, отвечают: "Во втором случае угол не заключён между двумя данными сторонами, поэтому первый признак применить нельзя"; фиксируют затруднение. |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, какой новый признак нам нужен. Затем обсудите формулировку в паре и предложите классу общий вариант. В цели обязательно укажите: какие элементы должны быть равны и что мы получим в результате." | Индивидуально записывают цель, обсуждают её в парах, формулируют: "Узнать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними и научиться применять его в доказательствах". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам нужно открыть и обосновать второй признак равенства треугольников. Для этого сначала исследуем чертёж, затем сформулируем правило и испытаем его на задачах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и сформулировать второй признак равенства треугольников через исследование чертежа и обсуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с двумя треугольниками и говорит: "Постройте или рассмотрите треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. На карточке отмечены равные стороны $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$ и равные углы $\angle A=\angle A_1$. Обведите стороны, образующие каждый из данных углов. Как называются такие углы?" | Выполняют построение или анализируют чертёж, обводят стороны, отвечают: "Это углы, заключённые между данными сторонами". |
3 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов в форме эвристической беседы: "Какие две стороны первого треугольника равны двум сторонам второго? Какой угол расположен между ними? Все ли элементы, необходимые для первого признака, у нас есть? Какой вывод подсказывает такая комбинация данных?" | Называют соответствующие стороны и углы, устанавливают наличие двух равных сторон и заключённого угла, предполагают вывод: "Треугольники равны". |
2 мин | Учитель формулирует правило и показывает его на доске: "Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники равны. Это второй признак равенства треугольников. Обратите внимание: слово «заключённые» нельзя пропускать." | Записывают формулировку, подчёркивают слова «две стороны» и «угол, заключённый между ними», повторяют правило по цепочке. |
2 мин | Учитель предлагает сравнить признаки: "Заполните устно таблицу: что общее у первого и второго признаков, а чем они различаются? Первый признак назовите кратко, второй — полностью." | Формулируют: "Оба признака позволяют доказать равенство треугольников; во втором используются две стороны и угол между ними, а не две стороны и угол как часть другой комбинации"; уточняют содержание изучаемого признака. |
Запись в тетрадях
Записать: «Второй признак равенства треугольников: если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники равны». Схематично: $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1 \Rightarrow \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило и увидели его главный ориентир — угол расположен между двумя известными сторонами. Теперь применим признак сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить выбирать второй признак по краткой записи и оформлять доказательство с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает задачу: "В треугольниках $ABC$ и $DEF$ известно, что $AB=DE$, $AC=DF$, $\angle BAC=\angle EDF$. Докажите, что $\triangle ABC=\triangle DEF$." Учитель спрашивает: "Какие стороны сравниваем? Какой угол заключён между ними? Как правильно назвать основание вывода?" | Составляют краткую запись, выделяют $AB$ и $AC$, $DE$ и $DF$, углы $\angle BAC$ и $\angle EDF$, отвечают: "Углы заключены между указанными сторонами; треугольники равны по второму признаку". |
2 мин | Учитель предлагает двум ученикам оформить решение у доски: "Записывайте доказательство не одной фразой, а последовательностью: равенство первой пары сторон, второй пары, заключённых углов, затем вывод. Класс проверяет, не нарушена ли последовательность соответствия." | Два ученика записывают доказательство, остальные сверяют порядок элементов, исправляют возможную перестановку вершин. |
2 мин | Учитель раздаёт карточку с выбором: «А» — определить признак по чертежу; «Б» — восстановить пропущенную строку доказательства. Говорит: "Выберите уровень самостоятельно. Важен не объём, а точность обоснования." | Выбирают карточку. В варианте А подписывают равные элементы и называют признак; в варианте Б вставляют фразу «углы заключены между соответствующими сторонами» или итоговый вывод. |
Эталон решения
Дано: $AB=DE$, $AC=DF$, $\angle BAC=\angle EDF$. Стороны $AB$ и $AC$ заключают угол $\angle BAC$, а стороны $DE$ и $DF$ заключают угол $\angle EDF$. Следовательно, две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а углы между ними равны. Поэтому $\triangle ABC=\triangle DEF$ по второму признаку равенства треугольников.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете находить три нужных элемента и связывать их с формулировкой признака. Следующий шаг — проверить, сможете ли вы выполнить рассуждение самостоятельно и заметить типичную ошибку с незаключённым углом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение второго признака и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: по готовому чертежу назвать соответствующие стороны и угол. Средний: доказать равенство треугольников по данным $AB=DE$, $BC=EF$, $\angle ABC=\angle DEF$. Повышенный: найти ошибку в рассуждении, где угол не заключён между указанными сторонами. Учитель напоминает: "Сначала подчеркните данные, затем проверьте положение угла и только после этого выбирайте признак." | Индивидуально решают выбранный вариант, подписывают соответствующие элементы, составляют доказательство или отмечают ошибку: "Нельзя применить второй признак, потому что данный угол не заключён между указанными сторонами". |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте работу по трём пунктам: названы две пары соответствующих сторон, указан именно заключённый угол, вывод связан с формулировкой признака. Если обнаружили ошибку, зачеркните только неверный шаг и исправьте его рядом." | Сверяют решение с эталоном, ставят отметки напротив выполненных критериев, исправляют запись. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку «Две звезды и пожелание»: "Обменяйтесь работами с соседом. Запишите две сильные стороны решения и одно конкретное пожелание: например, уточнить соответствие вершин или добавить основание вывода." | Проверяют работу партнёра, формулируют две положительные отметки и одно исправление, возвращают работу автору. |
Эталон решения
Для условия $AB=DE$, $BC=EF$, $\angle ABC=\angle DEF$: стороны $AB$ и $BC$ заключают угол $\angle ABC$, стороны $DE$ и $EF$ заключают угол $\angle DEF$. Значит, две стороны и углы между ними соответственно равны. Следовательно, $\triangle ABC=\triangle DEF$ по второму признаку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что признак нельзя применять по одному только внешнему сходству чертежей. Нужно каждый раз проверить соответствие сторон и убедиться, что угол находится между ними. Осталось подвести итог и зафиксировать личный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать новое знание, оценить степень его освоения и получить посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите цвет, который описывает ваше состояние: зелёный — могу сформулировать и применить признак; жёлтый — понимаю, но путаюсь в чертеже; красный — нужна помощь. После выбора одним предложением объясните свой цвет." | Поднимают карточку выбранного цвета, формулируют: "Я могу назвать признак, но пока путаю соответствующие вершины" или "Я могу выполнить доказательство". |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какие элементы входят во второй признак? Как проверить, что угол является заключённым? Сдайте билет при выходе." | Записывают: "Две стороны и угол между ними; нужно проверить, что стороны образуют данный угол". Сдают листок. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень или добавьте повышенный. При проверке я буду смотреть не только на ответ, но и на правильность соответствия элементов и запись основания вывода." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены соответствующие элементы, верно выбран второй признак, доказательство записано последовательно и содержит основание вывода; выполнены все задания выбранного варианта.
- «4» — признак выбран верно, но допущена одна неточность в обозначениях или пропущено пояснение положения угла; основная логика доказательства сохранена.
- «3» — распознаны отдельные равные элементы, но есть ошибка в выборе признака или в установлении соответствия; решение требует коррекции по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие три элемента необходимо найти, чтобы применить второй признак равенства треугольников? | Проверка осознания структуры признака. |
Как определить, что угол является заключённым? | Выявление понимания пространственного положения угла относительно двух сторон. |
Какая ошибка может помешать применить второй признак? | Диагностика типичного смешения соответствующих сторон и незаключённого угла. |
Что в самостоятельной работе получилось уверенно, а что потребовало исправления? | Субъективная оценка освоения алгоритма и определение индивидуальной зоны затруднения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли второй признак равенства треугольников и убедились, что решающую роль играет не только наличие двух равных сторон и угла, но и положение этого угла между сторонами. Типичная ошибка — назвать равными треугольники, не проверив соответствие вершин или заключённость угла. Используйте алгоритм: выделить данные, проверить угол, выбрать признак, оформить вывод. На следующем уроке мы продолжим применять признаки равенства при доказательстве геометрических утверждений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задачи на распознавание второго признака: по чертежам или кратким условиям указать две пары равных сторон, заключённый угол и сделать вывод о равенстве треугольников. | Закрепить формулировку признака и умение читать чертёж; при проверке смотреть на соответствие сторон и положение угла. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на доказательство равенства треугольников по двум сторонам и заключённому углу, оформляя запись «дано — доказать — доказательство». | Сформировать навык полного геометрического доказательства; проверить последовательность рассуждения и корректность обозначений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с двумя треугольниками, равными по второму признаку, выполнить чертёж, записать условие и доказательство; дополнительно привести пример, когда угол не является заключённым. | Развить умение создавать математическую модель и оценивать границы применимости признака. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие элементы сравниваются во втором признаке? Где должен находиться данный угол? Чем второй признак отличается от первого? Какую фразу нужно написать в конце доказательства?»
