Параллельные прямые и их свойства
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать параллельные прямые, формулировать признаки и свойства параллельных прямых, а также применять их при решении не менее трёх геометрических задач.
- Сформировать представление о параллельных прямых как прямых, лежащих в одной плоскости и не пересекающихся, и ввести обозначение $a \parallel b$.
- Научить устанавливать параллельность прямых по равенству соответственных, накрест лежащих и односторонних углов.
- Развивать умение читать чертёж, анализировать условие задачи, выдвигать гипотезу и аргументировать вывод.
- Воспитывать аккуратность геометрических построений, ответственность за результат совместной работы и готовность проверять собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию геометрических закономерностей через наблюдение и построение.
- Понимают значение точности, логичности и доказательности рассуждений в математике и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают личную ответственность за результат индивидуальной и парной работы.
- Уважительно относятся к иной точке зрения при обсуждении способов доказательства.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно с учителем определяют план её решения.
- Извлекают информацию из чертежа, текста учебника, интерактивной модели и таблицы углов.
- Сравнивают геометрические ситуации, классифицируют пары углов и устанавливают причинно-следственные связи.
- Осуществляют самопроверку по эталону, фиксируют ошибку и корректируют решение.
- Используют цифровую модель для проверки гипотезы, не подменяя доказательство наблюдением.
Предметные
- Знать определение параллельных прямых и их обозначение $a \parallel b$.
- Уметь распознавать соответственные, накрест лежащие и односторонние углы при пересечении двух прямых секущей.
- Знать признаки параллельности прямых и формулировать их своими словами.
- Уметь применять свойство параллельных прямых при нахождении углов на чертеже.
- Владеть алгоритмом доказательства параллельности двух прямых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и оценивают собственную уверенность при работе с чертежом.
- Формируют смыслообразование через понимание практического применения параллельных линий в архитектуре, проектировании и черчении.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через последовательный анализ условия.
- Осознают ценность математического доказательства как способа обоснования утверждения.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют действия: определить вид углов, сравнить их величины, выбрать признак и записать вывод.
- Контролируют правильность обозначений, измерений и логики рассуждения.
- Оценивают результат по критериям и вносят исправления после самопроверки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки параллельности прямых.
- Моделируют ситуацию пересечения двух прямых секущей и классифицируют образованные углы.
- Устанавливают связь между равенством углов и параллельностью прямых.
- Используют учебный текст, чертёж и цифровую модель для поиска и проверки информации.
- Строят простое дедуктивное рассуждение по схеме «условие — признак — вывод».
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу, обсуждая её с партнёром.
- Распределяют роли при выполнении задания: чертёжник, аналитик, докладчик, проверяющий.
- Аргументируют выбор признака параллельности, используя математические термины.
- Слушают партнёра, задают уточняющие вопросы и корректно разрешают расхождения в решении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель с двумя прямыми и секущей, где можно изменять положение прямых и измерять углы.
- Вывести на первый слайд изображения рельсов, оконной рамы, разметки дороги и линий в тетради для мотивационного сравнения.
- Подготовить на доске или отдельном слайде памятку «Виды углов при пересечении двух прямых секущей».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Распечатать мини-лист самопроверки и «билет на выход» по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить линейки, транспортиры и простые карандаши для каждой пары.
- Подготовить учебник: учащиеся работают с текстом темы, определением, рисунком и доказательством свойства без указания страниц.
- Подготовить проектор, компьютер, интерактивную доску и резервный статичный чертёж на случай технического сбоя.
- Разместить на доске обозначения $a$, $b$, $c$ и заготовку чертежа двух прямых, пересечённых секущей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, вызвать интерес к теме и подвести учащихся к проблеме существования параллельных прямых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, карандаша и учебника. Сегодня нам понадобятся не только знания, но и умение внимательно читать чертёж. На экране вы видите рельсы, оконную раму, линии дорожной разметки. Что общего у этих объектов?" | Проверяют готовность к уроку, рассматривают изображения и формулируют предположения: "Линии не пересекаются", "Они расположены рядом и сохраняют расстояние". |
2 мин | Учитель показывает интерактивный чертёж двух прямых и предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала десять секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, могут ли две прямые на плоскости не пересекаться. Не ограничивайтесь ответом да или нет: назовите условие, при котором это возможно." | Сначала записывают собственную гипотезу, затем обсуждают её в парах и сообщают классу: "Две прямые могут не пересекаться, если они лежат в одной плоскости и идут в одном направлении". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в окружающем мире параллельные направления встречаются постоянно. Теперь выясним, как геометрия определяет параллельные прямые и как по углам доказать, что прямые не пересекутся."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия прямой, секущей, смежных и вертикальных углов, необходимые для открытия нового свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске две пересекающиеся прямые и спрашивает: "Как называются углы, образованные при пересечении двух прямых? Какие пары углов равны? Что можно сказать о сумме смежных углов?" Учитель фиксирует ответы на доске и просит назвать причины утверждений. | Называют вертикальные и смежные углы, отвечают: "Вертикальные углы равны", "Сумма смежных углов равна $180^\circ$", приводят обоснование. |
2 мин | Учитель демонстрирует чертёж двух прямых, пересечённых третьей, и говорит: "Третья прямая называется секущей. Найдите пары углов, расположенных в одинаковом положении относительно прямых и секущей. Какие углы находятся внутри полосы между прямыми?" | Показывают на чертеже соответственные углы, затем выделяют внутренние углы и называют накрест лежащие и односторонние пары. |
2 мин | Учитель раздаёт короткие карточки с тремя рисунками: "На каждом рисунке подпишите одну пару соответственных, одну пару накрест лежащих и одну пару односторонних углов. На выполнение — одна минута. Затем сравните обозначения с партнёром." | Подписывают пары углов на карточках, сверяют обозначения с партнёром и исправляют неточности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что секущая образует несколько пар углов, а вертикальные и смежные углы помогают находить их величины. Теперь проверим, может ли информация об углах сказать нам, параллельны ли две прямые."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать учебную задачу урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран чертёж двух прямых $a$ и $b$, пересечённых секущей $c$, и сообщает: "На рисунке угол равен $65^\circ$, а один из углов, расположенных в таком же положении у второй прямой, также равен $65^\circ$. Можно ли уже утверждать, что прямые параллельны? Какие данные нам нужно использовать?" | Рассматривают чертёж, обсуждают в парах и формулируют затруднение: "Нужно знать, какие именно углы сравниваются", "Нужно установить признак, а не просто измерить рисунок". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как по величинам соответственных, накрест лежащих и односторонних углов доказать параллельность прямых? Составьте вместе со мной план: что сначала определим, что сравним, какой вывод сделаем." | Формулируют цель и план: определить вид пары углов, сравнить их величины, применить признак параллельности и записать вывод $a \parallel b$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: одного внешнего сходства линий недостаточно, нужен математический признак. Сейчас по тексту учебника, чертежу и интерактивной модели мы самостоятельно восстановим эти признаки."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: открыть и сформулировать признаки и свойства параллельных прямых через исследование чертежа, учебного текста и цифровой модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к тексту учебника: "Откройте учебник на теме урока и найдите определение параллельных прямых и рисунок с секущей. Прочитайте фрагмент молча, выделите определение и три утверждения о парах углов. Затем сравните запись с изображением на экране." | Читают определение и фрагмент текста, выделяют ключевые слова, сопоставляют их с обозначениями на чертеже. |
4 мин | Учитель запускает интерактивную модель и говорит: "Посмотрите, я изменяю положение секущей, но прямые остаются параллельными. Измерения показывают: соответственные углы равны, накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$. Запишите наблюдения в таблицу. Важно: цифровая модель помогает заметить закономерность, а окончательный вывод мы формулируем как геометрический признак." | Заполняют таблицу из трёх строк: «соответственные — равны», «накрест лежащие — равны», «односторонние — в сумме $180^\circ$». Проверяют значения углов при изменении положения секущей. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы эвристической беседы: "Если соответственные углы равны, что можно заключить о прямых? Если накрест лежащие углы равны? Как сформулировать третий признак без лишних слов?" Учитель корректирует формулировки и записывает на доске три признака. | Формулируют выводы: "Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны"; аналогично формулируют признаки для накрест лежащих углов и суммы односторонних углов. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Параллельные прямые — это две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Обозначение: $a \parallel b$. Признаки: 1) равенство соответственных углов; 2) равенство накрест лежащих углов; 3) сумма односторонних углов равна $180^\circ$. Свойство: если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные и накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три способа доказать параллельность прямых по углам. Теперь проверим, умеем ли мы выбирать нужный признак и применять его к конкретному чертежу."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: научить применять признаки параллельности по заданному чертежу и проговаривать ход рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку: "На рисунке прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$. Известно, что накрест лежащие углы равны $72^\circ$ и $72^\circ$. Докажите, что $a \parallel b$. Работайте в парах: один ученик определяет вид углов, второй формулирует признак, затем поменяйтесь ролями." | Определяют, что углы накрест лежащие, записывают равенство $72^\circ=72^\circ$, формулируют: "Накрест лежащие углы равны, следовательно, прямые параллельны". |
2 мин | Учитель предлагает вторую ситуацию: "Односторонние углы равны $118^\circ$ и $62^\circ$. Можно ли утверждать, что прямые параллельны? Объясните, какое условие проверяем." | Вычисляют $118^\circ+62^\circ=180^\circ$, распознают односторонние углы и делают вывод: "$a \parallel b$, потому что сумма односторонних углов равна $180^\circ$". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сверьте решение с эталоном на экране. Проверьте три позиции: вид углов, вычисление или сравнение, итоговая фраза с признаком. Поставьте партнёру две звезды за сильные стороны и одно пожелание." | Сверяют решение с эталоном, отмечают наличие трёх обязательных элементов, записывают партнёру две сильные стороны и один совет. |
Эталон решения
Для первой задачи: 1) указанные углы являются накрест лежащими; 2) их величины равны: $72^\circ=72^\circ$; 3) по признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны; 4) следовательно, $a \parallel b$. Для второй задачи: $118^\circ+62^\circ=180^\circ$; данные углы односторонние; по признаку параллельности прямых $a \parallel b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете не просто находить угол, а строить доказательство по признаку. Следующий шаг — выполнить задание самостоятельно, выбрав уровень сложности и проверив себя по критериям."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать углы и применять признаки параллельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Базовый уровень проверяет обязательное умение, повышающий требует двух последовательных рассуждений, дополнительный содержит задачу на составление собственного условия. Работайте самостоятельно, все обозначения выполняйте аккуратно." | Выбирают уровень с учётом собственной уверенности, подписывают карточку и приступают к решению. |
6 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый вариант: определить вид двух пар углов и установить, параллельны ли прямые при равенстве соответственных углов. Повышающий вариант: по односторонним углам $3x+10^\circ$ и $2x+20^\circ$ доказать параллельность и найти $x$. Продвинутый вариант: составить условие, при котором по накрест лежащим углам можно доказать $a \parallel b$, и решить его. | Решают выбранный вариант. В повышенном задании составляют уравнение $(3x+10^\circ)+(2x+20^\circ)=180^\circ$, получают $5x+30=180$, $x=30$, углы равны $100^\circ$ и $80^\circ$, их сумма равна $180^\circ$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только ответ, но и ход решения. Если ошибка найдена, зачеркните неверный шаг одной линией, рядом запишите исправление и укажите причину. Поднимите зелёную карточку, если готовы объяснить решение, жёлтую — если нужна консультация." | Сверяют решение по эталону, исправляют ошибки, отмечают уровень понимания зелёной или жёлтой карточкой, при необходимости задают конкретный вопрос учителю. |
Эталон решения
Для повышенного задания: односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают $180^\circ$. Составляем уравнение: $(3x+10)+(2x+20)=180$. Тогда $5x+30=180$, $5x=150$, $x=30$. Первый угол равен $3\cdot30+10=100^\circ$, второй — $2\cdot30+20=80^\circ$. Их сумма $100^\circ+80^\circ=180^\circ$, поэтому по признаку параллельности прямых $a \parallel b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что для доказательства важен не только числовой ответ, но и правильное распознавание пары углов. Завершим урок фиксацией главного результата и ответим на проблемный вопрос, поставленный в начале."
Этап 7. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить достижение цели и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как по углам доказать, что две прямые параллельны? Назовите три признака без подсказки. Какой признак сегодня было легче применять, а какой потребовал больше внимания?" | Формулируют три признака: равенство соответственных углов, равенство накрест лежащих углов, сумма односторонних углов $180^\circ$. Оценивают собственную уверенность и называют затруднение. |
1 мин | Учитель проводит приём "Билет на выход": "На маленьком листе завершите две фразы: «Сегодня я научился…» и «Чтобы доказать параллельность, сначала нужно…». Передайте лист при выходе." | Заполняют билет на выход, указывают конкретное умение и первый шаг алгоритма. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выполните обязательную часть и выберите один из двух уровней по желанию. При решении обязательно указывайте вид углов, применяемый признак и итоговый вывод. Можно использовать схему из тетради и текст учебника для самопроверки." | Записывают выбранный уровень домашней работы, уточняют требования к оформлению и задают вопросы по условию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы установили, что параллельность нельзя определять только на глаз: её нужно обосновывать свойствами и признаками углов. Вы научились читать чертёж, выбирать подходящий признак и записывать доказательство. Проверьте дома, сможете ли вы объяснить решение без опоры на измерение рисунка."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно определены виды углов, приведён подходящий признак, вычисления и обозначения записаны аккуратно, вывод о параллельности обоснован.
- «4» — выполнено не менее 80% задания, признак выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не нарушающая ход рассуждения.
- «3» — распознана хотя бы одна необходимая пара углов и начато применение признака, но допущены ошибки в вычислении, классификации углов или формулировке вывода.
- Оценка может быть повышена при самостоятельном исправлении ошибки с указанием её причины и корректного правила.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о параллельных прямых и их признаках? | Выявление осознания основного предметного результата урока. |
Какой шаг алгоритма доказательства оказался самым трудным: распознать углы, сравнить их или сформулировать вывод? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
Как вы поняли, что в задаче нужно применить признак параллельности, а не только найти угол? | Проверка понимания связи между условием, видом углов и математическим выводом. |
Насколько уверенно вы сможете решить аналогичную задачу самостоятельно: уверенно, с небольшой подсказкой или пока испытываю затруднение? | Субъективная оценка освоения темы и планирование последующей дифференциации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились распознавать параллельные прямые и доказывать их параллельность по трём признакам. Помните о типичной ошибке: нельзя смешивать соответственные, накрест лежащие и односторонние углы — сначала всегда определяйте их взаимное положение на чертеже. Если вы затрудняетесь, пользуйтесь алгоритмом: назвать пару углов, сравнить их величины, выбрать признак, записать вывод. На следующем уроке мы применим свойства параллельных прямых к вычислению неизвестных углов и решению более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи по чертежам на распознавание соответственных, накрест лежащих и односторонних углов; в двух задачах определить, параллельны ли прямые по заданным величинам углов. | Закрепляет терминологию и алгоритм применения трёх признаков; при проверке обратить внимание на правильное указание вида углов и обоснованный вывод. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на вычисление неизвестных углов при условии параллельности прямых, включая одну задачу с выражениями вида $3x+10^\circ$ и $2x+20^\circ$; оформить решение с пояснениями. | Формирует умение применять свойства параллельных прямых и составлять уравнение; при проверке смотреть на связь вычислений с геометрическим свойством. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с чертежом двух прямых и секущей, в которой параллельность доказывается одним из трёх признаков, затем решить её и записать доказательство в 4–5 последовательных предложениях. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке оценить корректность чертежа, однозначность условия и логичность доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как обозначают параллельные прямые? Какие три пары условий позволяют доказать их параллельность? Чем отличаются признак и свойство параллельных прямых? Какой первый шаг нужно выполнить при решении задачи по чертежу?»
