Перпендикуляр к прямой. Высоты, медианы, биссектрисы треугольника
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать и строить перпендикуляр к прямой, а также высоту, медиану и биссектрису треугольника; верно выполнять не менее 4 из 5 заданий базового и повышенного уровней.
- Сформировать представление о перпендикуляре как отрезке, образующем с прямой угол $90^\circ$, и закрепить способы его построения с помощью угольника.
- Научить различать высоту, медиану и биссектрису треугольника по определению и строить их в треугольнике.
- Развивать умение исследовать чертёж, выдвигать гипотезу, проверять её измерением и формулировать вывод.
- Воспитывать аккуратность геометрических построений, самостоятельность выбора уровня задания и уважение к аргументированному мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точности геометрических построений для архитектуры, инженерии, дизайна и технического черчения.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за результат собственной работы.
- Понимают ценность доказательного рассуждения и принимают необходимость проверять гипотезу построением или измерением.
- Развивают положительное отношение к совместному поиску решения и корректному обсуждению различных способов построения.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность построения перпендикуляра и элементов треугольника.
- Извлекают информацию из условия, чертежа и обозначений, сравнивают объекты по заданным признакам.
- Проверяют гипотезы измерением углов, длин отрезков и сравнением полученного результата с определением.
- Аргументируют ответ в паре, задают уточняющие вопросы и представляют результат исследования классу.
- Осуществляют самооценку по критериям точности построения, правильности определения и полноты объяснения.
Предметные
- Знать определения перпендикулярных прямых, перпендикуляра к прямой, высоты, медианы и биссектрисы треугольника.
- Уметь распознавать перпендикуляр, высоту, медиану и биссектрису на чертеже.
- Уметь строить перпендикуляр к прямой через заданную точку с помощью угольника.
- Уметь строить высоту, медиану и биссектрису треугольника и обозначать их на чертеже.
- Владеть способом проверки построения по определяющему признаку: прямой угол, равенство отрезков или равенство углов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к построениям и выбирают посильное задание.
- Осознают смысл изучения геометрических элементов через их применение в практических профессиях.
- Проявляют настойчивость при исправлении неточного чертежа.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и группы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель на основе проблемного вопроса урока.
- Планируют построение по шагам и соблюдают последовательность действий.
- Сверяют чертёж с критериями: наличие нужной точки, прямого угла, середины отрезка или равных углов.
- Находят ошибку в построении, объясняют её причину и выполняют коррекцию.
- Оценивают результат по количеству правильно выполненных элементов.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки перпендикуляра, высоты, медианы и биссектрисы.
- Сравнивают три элемента треугольника и классифицируют их по определяющему свойству.
- Строят модель геометрической ситуации с помощью чертёжных инструментов.
- Проверяют гипотезу измерением и формулируют исследовательский вывод.
- Используют математическую речь и геометрические обозначения при объяснении решения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: исполнитель построения и контролёр по критериям.
- Формулируют вопросы к решению одноклассника и отвечают на них по существу.
- Аргументируют, почему данный отрезок является или не является высотой, медианой или биссектрисой.
- Согласовывают общий вывод и корректно относятся к другому способу построения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с прямой $a$, точками $A$, $B$, $C$ и тремя незавершёнными чертежами треугольника.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — базовые, синие — повышенные, красные — творческие; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки с определениями и названиями элементов треугольника для парной классификации — по одному комплекту на парту.
- Подготовить по одному угольнику, линейке, карандашу и циркулю на каждого ученика; проверить исправность инструментов.
- Раздать каждому ученику лист самооценки с критериями: «построил», «обозначил», «обосновал», «проверил».
- На доске заранее разместить памятку: «Высота — перпендикуляр к стороне или её продолжению; медиана — к середине стороны; биссектриса — делит угол пополам».
- Подготовить крупный демонстрационный треугольник и модели трёх элементов из цветной бумаги.
- Оборудовать рабочее место учителя проектором или интерактивной доской для показа алгоритма построения.
- Подготовить выходной билет с вопросами о различиях между высотой, медианой и биссектрисой.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать ситуацию практической необходимости перпендикуляра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, угольника и карандаша. Сегодня мы будем не только запоминать определения, но и исследовать, как по чертежу распознать нужный элемент. От точности ваших построений будет зависеть точность вывода." | Проверяют готовность, раскладывают инструменты, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает изображение стены и пола: "Представьте, что вы проектируете лестницу или устанавливаете вертикальную опору. Как проверить, что опора стоит под прямым углом к поверхности? Можно ли определить это только на глаз? Какой геометрический объект нам понадобится?" | Предполагают: "Нужно измерить угол", "получить прямой угол", "провести перпендикуляр". Формулируют практическую проблему. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что перпендикулярность нужна не только на чертеже. Теперь вспомним, что уже знаем о прямых углах и построениях, чтобы открыть точное правило."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия прямой, луча, отрезка, угла и середины отрезка, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Что называют прямым углом? Как его можно построить и проверить? Обсудите ответ сначала самостоятельно, затем в паре. На доске я зафиксирую точные формулировки." | Записывают краткий ответ, обсуждают его в паре, формулируют: "Прямой угол равен $90^\circ$; его можно проверить угольником". |
3 мин | Учитель показывает отрезок $BC$: "Как построить середину отрезка? Какие признаки помогут убедиться, что точка является серединой? А как разделить угол на две равные части?" Учитель напоминает, что сегодня эти знания будут использованы в новых построениях. | Называют признаки: "Точка лежит на отрезке и делит его на два равных отрезка"; "биссектриса делит угол на два равных угла". Показывают соответствующие действия на мини-чертежах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили прямой угол, середину отрезка и деление угла пополам. Но пока не ответили, как объединить эти признаки с треугольником. Это и станет нашей задачей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при различении высоты, медианы и биссектрисы и сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает треугольник $ABC$ с тремя отрезками из вершины $A$: один перпендикулярен стороне, второй проходит через середину стороны, третий делит угол $A$ пополам. Спрашивает: "Все ли эти отрезки можно назвать высотой? Почему? Чем они похожи и чем различаются?" | Рассматривают чертёж, замечают, что отрезки выглядят похоже, но имеют разные свойства. Предполагают: "Один связан с прямым углом, другой — с серединой стороны, третий — с равными углами". |
2 мин | Учитель организует проблемный диалог: "Как по одному чертежу доказать, что отрезок является именно высотой, а не медианой? Какие действия помогут проверить гипотезу? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Научиться строить и различать перпендикуляр, высоту, медиану и биссектрису, проверяя их свойства". Предлагают план: построить, измерить, сравнить, сделать вывод. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы исследуем не внешний вид отрезков, а их свойства. Начнём с самого общего понятия — перпендикуляра к прямой."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательское построение (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести определения и алгоритмы построения перпендикуляра, высоты, медианы и биссектрисы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает прямую $a$ и точку $A$ вне неё: "Поставьте угольник так, чтобы одна его сторона совпала с прямой $a$, а через точку $A$ прошла другая сторона угольника. Проведите через $A$ прямую $b$. Что можно утверждать о прямых $a$ и $b$?" Затем фиксирует на доске: $a \perp b$, если угол между ними равен $90^\circ$. | Строят прямую $b$ через точку $A$, проверяют угол угольником, формулируют: "Прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$, потому что они пересекаются под прямым углом". |
4 мин | Учитель раздаёт треугольники и карточки с тремя признаками: "В каждом треугольнике проведите из вершины $A$ три разных отрезка к стороне $BC$: перпендикуляр, отрезок к середине $BC$ и биссектрису угла $A$. Подпишите каждый отрезок, пользуясь карточками-определениями." | Строят $AH \perp BC$, отмечают $BH=HC$ и проводят $AD$, делящий угол $A$ на две равные части. Подписывают: $AH$ — высота, $AD$ — медиана или биссектриса в зависимости от построения. |
3 мин | Учитель задаёт исследовательские вопросы: "Какой признак является главным для высоты? Для медианы? Для биссектрисы? Может ли один и тот же отрезок обладать сразу двумя свойствами?" Учитель демонстрирует равнобедренный треугольник и предлагает проверить совпадение элементов. | Сравнивают свойства, отвечают: "Высота образует прямой угол со стороной или её продолжением; медиана проходит через середину стороны; биссектриса делит угол пополам". В равнобедренном треугольнике обнаруживают, что из вершины к основанию эти элементы могут совпасть. |
Запись в тетрадях
- Перпендикулярные прямые — прямые, пересекающиеся под прямым углом: $a \perp b$.
- Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
- Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
- Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у каждого элемента есть свой определяющий признак. Высоту проверяем прямым углом, медиану — равенством двух частей стороны, биссектрису — равенством двух углов. Проверим, насколько уверенно мы умеем применять эти признаки."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание элементов треугольника и проговорить алгоритмы построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с пятью утверждениями: "Определите, верно ли каждое утверждение, и исправьте ошибочное. 1) Медиана всегда перпендикулярна стороне. 2) Высота может быть проведена к продолжению стороны. 3) Биссектриса делит противоположную сторону пополам. 4) В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой. 5) Перпендикуляр образует с прямой угол $90^\circ$." | Работают в парах, отмечают верные утверждения и исправляют неверные: "Медиана не обязательно перпендикулярна", "биссектриса делит угол, а не сторону". Обосновывают ответы. |
4 мин | Учитель показывает три чертежа без подписей: "Назовите каждый отрезок и объясните выбор одним предложением. Используйте речевые шаблоны: ‘Это высота, потому что…’, ‘Это медиана, потому что…’, ‘Это биссектриса, потому что…’." | Подписывают чертежи и отвечают: "Это высота, потому что образует прямой угол со стороной"; "Это медиана, потому что конец отрезка — середина стороны"; "Это биссектриса, потому что два угла равны". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились распознавать элемент не по его положению на рисунке, а по признаку. Теперь каждый индивидуально выполнит построение и сможет выбрать уровень сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение построением и применением определений, обеспечить выбор уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите зелёную карточку, если хотите отработать базовый алгоритм, синюю — если готовы сравнить несколько свойств, красную — если хотите выполнить творческое исследование. Можно начать с базовой и перейти выше. До работы прочитайте критерии самопроверки." | Выбирают карточку и записывают номер выбранного уровня в лист самооценки. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: "В треугольнике $ABC$ проведите высоту из вершины $A$, медиану из вершины $B$ и биссектрису угла $C$. Подпишите их." Повышенный уровень: "На чертеже найдите ошибочно названные элементы и объясните исправление." Творческий уровень: "Создайте треугольник, в котором высота и медиана из одной вершины совпадают. Объясните, почему это возможно." Учитель консультирует по запросу. | Индивидуально выполняют выбранное задание, строят чертежи, проводят необходимые измерения и записывают объяснение. Учащиеся повышенного уровня исправляют названия, творческого уровня строят равнобедренный треугольник и формулируют вывод. |
3 мин | Учитель выводит на доску эталон-памятку: "Проверьте три вещи: точно ли проведен отрезок из вершины, выполнено ли определяющее свойство, подписаны ли точки. Обменяйтесь работами с соседом и поставьте две отметки: ‘верно построено’ и ‘есть объяснение’." | Проверяют работу по памятке и критериям, отмечают одну сильную сторону и одно исправление. При необходимости корректируют чертёж. |
Эталон решения
Для базового задания: 1) из вершины $A$ проводят прямую к прямой $BC$ так, чтобы угол между ними был равен $90^\circ$; конец перпендикуляра обозначают $H$, отрезок $AH$ является высотой; 2) находят середину $M$ стороны $AC$, проверяя $AM=MC$, соединяют $B$ и $M$, отрезок $BM$ является медианой; 3) делят угол $C$ на два равных угла и соединяют точку деления с вершиной $C$, полученный отрезок является биссектрисой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что один и тот же треугольник можно исследовать с разных сторон. В завершение проверим, какие признаки действительно стали опорой для каждого из вас."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальный результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Билет на выход": "Ответьте письменно на три вопроса: 1) По какому признаку распознают высоту? 2) Чем медиана отличается от биссектрисы? 3) Может ли высота быть проведена к продолжению стороны? Объясните ответ одним предложением." | Заполняют билет на выход: называют прямой угол, середину стороны и равенство углов; отвечают: "Да, если треугольник тупоугольный". |
2 мин | Учитель предлагает приём "Светофор": "Покажите цвет: зелёный — могу построить и объяснить все три элемента; жёлтый — путаю один признак; красный — нужна помощь. В листе самооценки запишите, что именно будете повторять." | Показывают карточку, заполняют самооценку, называют затруднение: "Мне нужно ещё потренироваться находить середину стороны" или "Мне трудно строить биссектрису". |
1 мин | Учитель формулирует домашнее задание и напоминает: "Выберите уровень осознанно. Важно не количество линий, а правильное объяснение каждого построения." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все построения выбранной карточки, каждый элемент подписан, определяющий признак указан без ошибок, чертёж аккуратен и выполнена самопроверка.
- "4" — выполнены основные построения, допущена одна неточность в обозначении или объяснении, но различия между высотой, медианой и биссектрисой в целом поняты.
- "3" — правильно построен хотя бы один элемент и частично воспроизведены определения, однако имеются две или более ошибки в построении или аргументации.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак помогает отличить высоту от медианы и биссектрисы? | Проверка осознания определяющих свойств трёх элементов. |
Какое построение сегодня удалось выполнить уверенно? | Выявление сформированного практического умения и положительной динамики. |
На каком шаге построения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Где в реальной деятельности может понадобиться прямой угол? | Связь учебного материала с функциональной грамотностью и будущими профессиями. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что высота, медиана и биссектриса могут выглядеть похоже, но различаются по строгим свойствам. Высоту узнаём по прямому углу, медиану — по середине противоположной стороны, биссектрису — по равенству двух углов. Самая частая ошибка — называть отрезок высотой только потому, что он проведён из вершины; обязательно проверяйте перпендикулярность. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства этих элементов и применим их при решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 построения: провести в треугольнике одну высоту, одну медиану и одну биссектрису из разных вершин; каждое построение сопроводить кратким объяснением по определению. | Закрепляет алгоритмы построения и умение связывать чертёж с определяющим признаком; проверять наличие обозначений и объяснений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на распознавание элементов по чертежу и условию, включая случай, когда высота выходит за пределы треугольника; обосновать каждый ответ. | Развивает анализ чертежа и применение определения в нестандартной конфигурации; проверять точность аргументации. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный чертёж равнобедренного треугольника, в котором из вершины к основанию совпадают высота, медиана и биссектриса, и написать доказательство совпадения этих отрезков. | Развивает исследовательское и творческое мышление; проверять наличие гипотезы, чертежа и последовательного доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как называется отрезок, перпендикулярный прямой? Какой признак у высоты? Какой признак у медианы? Какой признак у биссектрисы? Может ли один отрезок одновременно быть высотой, медианой и биссектрисой?"
