Уравнение сферы
Цели и задачи
- Цель урока (по SMART): научиться выводить уравнение сферы в декартовой системе координат, определять координаты центра и радиус сферы по её уравнению, составлять уравнение сферы по заданным геометрическим свойствам и применять эти навыки для решения аналитических задач, в том числе из профильного уровня ЕГЭ.
- Образовательные задачи: актуализировать знания об уравнении окружности на плоскости и формуле расстояния между точками в пространстве; вывести каноническое уравнение сферы; сформировать алгоритм приведения общего уравнения второго порядка к каноническому виду через выделение полных квадратов.
- Развивающие задачи: развивать пространственное воображение, абстрактно-логическое мышление, умение применять метод аналогий при переносе планиметрических закономерностей в стереометрию.
- Воспитательные задачи: содействовать формированию академической самостоятельности, уверенности в собственных силах при подготовке к государственной итоговой аттестации, снижению уровня экзаменационного стресса через глубокое понимание теоретических основ предмета.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование готовности к осознанному выбору будущей профессиональной траектории, связанной с инженерно-техническими, архитектурными и IT-направлениями, где критически важно трехмерное компьютерное моделирование.
- Развитие критического мышления и способности объективно оценивать логическую правильность собственных математических рассуждений.
- Повышение учебной мотивации за счет демонстрации практической применимости абстрактных геометрических моделей в современных технологиях навигации.
Метапредметные
- Познавательные УУД: умение выделять существенные признаки математических объектов, устанавливать глубокие структурные аналогии между плоскостными и пространственными фигурами, осуществлять математическое моделирование.
- Регулятивные УУД: умение самостоятельно формулировать цели и задачи учебного исследования, планировать пути их достижения, осуществлять самоконтроль и коррекцию в процессе решения задач.
- Коммуникативные УУД: умение организовывать учебное сотрудничество с преподавателем и сверстниками, аргументированно отстаивать свою точку зрения, использовать точный и лаконичный математический язык.
Предметные
- Владение геометрическим определением сферы и формулой её канонического уравнения в прямоугольной системе координат.
- Умение безошибочно находить координаты центра и радиус сферы по её каноническому и общему уравнению.
- Умение составлять уравнение сферы по заданным координатам центра и радиусу, а также по координатам концов её диаметра.
- Свободное владение методом выделения полного квадрата двучлена для преобразования уравнений пространственных фигур второго порядка.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявление устойчивого познавательного интереса к изучению аналитических методов в стереометрии.
- Осознание ценности фундаментального научного познания как основы для успешного освоения будущей профессии в вузе.
Регулятивные УУД
- Самостоятельное определение целей и задач учебной деятельности на этапе обнаружения дефицита знаний.
- Оценка промежуточных результатов решения аналитических задач, своевременное обнаружение и исправление вычислительных ошибок.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств для выражения пространственных отношений и построения уравнений.
- Выдвижение обоснованных гипотез о виде уравнения сферы на основе аналогии с уравнением окружности и их последующее строгое доказательство.
Коммуникативные УУД
- Построение развернутых, логически безупречных устных высказываний с использованием академической геометрической терминологии.
- Эффективное взаимодействие в парах при обсуждении проблемных вопросов и поиске путей выхода из учебного затруднения.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать «Исследовательские листы» для вывода уравнения сферы — 15 экземпляров (один лист на парту).
- Подготовить мультимедийную презентацию: Слайд 1 — Визуализация сферы в трехмерной системе координат Oxyz; Слайд 2 — Схема работы спутниковой навигации (пересечение сфер); Слайд 3 — Интерактивный тренажер на сопоставление уравнений и геометрических параметров.
- Выписать на доске опорные формулы: уравнение окружности $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$ и формулу расстояния между точками на плоскости.
- Проверить работоспособность интерактивной доски, проектора и беспроводного презентера.
- Подготовить раздаточные карточки для самостоятельной работы трех уровней сложности (А, Б, В) по числу учащихся в классе.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (3 мин)
Цель этапа: проверить готовность учащихся к уроку, создать рабочую академическую атмосферу, активизировать интерес через практический контекст современных технологий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс, проверяет готовность рабочих мест: «"Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Рад вас видеть в хорошем настроении. Присаживайтесь. Сегодня у нас урок-исследование, который свяжет привычную нам планиметрию с серьезными пространственными моделями, активно используемыми в высшей математике. Проверьте, чтобы на столах были тетради, чертежные инструменты и исследовательские листы, которые я вам раздал перед уроком"». | Ученики приветствуют учителя, организуют рабочее пространство, проверяют наличие необходимых принадлежностей, настраиваются на аналитическую работу. |
2 мин | Учитель применяет методический приём «Реальный контекст» и «Крючок»: «"Ребята, каждый из вас ежедневно пользуется смартфонами с навигацией — Яндекс.Карты или GPS. Задумывались ли вы, как именно спутник в космосе определяет, что вы находитесь, например, ровно на перекрестке улиц? Спутник не видит вас напрямую, он лишь измеряет расстояние от себя до вашего телефона. Если один спутник знает расстояние до вас, то вы находитесь где-то на поверхности огромной фигуры в пространстве. Что это за фигура? Правильно, сфера. А если спутников три? Их сферы пересекаются в конкретных точках, определяя ваши координаты. Чтобы запрограммировать такую систему, инженерам нужно уметь описывать сферу языком алгебры. Как вы думаете, какова тема нашего урока?"» | Ученики внимательно слушают учителя. Отвечают на вопрос: «"Это сфера"». Анализируют практическую ситуацию и самостоятельно формулируют тему: «"Тема урока — Уравнение сферы"». Записывают тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Совершенно верно. Тема нашего урока — Уравнение сферы. Запишите её в тетради. Сегодня мы побудем в роли создателей математических моделей и выведем формулу, которая управляет трехмерными объектами в пространстве"».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия планиметрии и стереометрии, необходимые для вывода нового уравнения, актуализировать формулу расстояния между точками в пространстве.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует фронтальный опрос, используя приём «Аналогия»: «"Давайте вспомним планиметрию. Дайте геометрическое определение окружности. Как звучит её определение через множество точек?"» Учитель фиксирует на доске ключевые слова, предложенные учениками. | Ученики формулируют определение: «"Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром окружности"». |
3 мин | Учитель продолжает: «"Отлично. А теперь запишите на доске уравнение окружности с центром в точке $M_0(x_0; y_0)$ и радиусом $R$. Кто готов?"» Учитель вызывает одного ученика к доске. «"А теперь вспомним стереометрию. Какая формула позволяет нам найти расстояние между двумя любыми точками $A(x_1; y_1; z_1)$ and $B(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве? Запишите её рядом"». | Один ученик пишет на доске: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$. Второй ученик по просьбе учителя записывает формулу расстояния в пространстве: $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$. Остальные ученики делают записи в тетрадях, проверяя себя. |
Запись в тетрадях
Опорные формулы:
1) Уравнение окружности на плоскости: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$
2) Расстояние между точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
1) Уравнение окружности на плоскости: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$
2) Расстояние между точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Прекрасно, эти две формулы — уравнение окружности и расстояние между точками в пространстве — станут нашими главными инструментами для сегодняшнего открытия"».
Этап 3. Постановка проблемы и выявление причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать интеллектуальное затруднение, сформулировать цель и план исследования на основе аналогии.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задает проблемный вопрос: «"Ребята, дайте определение сферы в пространстве. Чем оно концептуально отличается от определения окружности?"» Учитель выводит на экран Слайд 1 с изображением сферы в трехмерной системе координат Oxyz. | Ученики анализируют графический объект и отвечают: «"Сфера — это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от центра. Отличие в том, что окружность ограничивает плоский диск, а сфера — это трехмерная оболочка, её точки имеют три координаты"». |
2 мин | Учитель фиксирует проблему: «"А теперь попробуйте, используя метод аналогии и формулу расстояния между точками, самостоятельно составить уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$. Возьмите произвольную точку сферы $M(x; y; z)$. Какое условие должно выполняться для расстояния $CM$? Обсудите в парах в течение 1 минуты и запишите гипотезу в исследовательский лист"». | Ученики работают в парах (приём «Подумай — обсуди в паре»). Они понимают, что расстояние от центра $C$ до любой точки $M$ должно быть строго равно радиусу $R$, то есть $CM = R$. Пытаются расписать это через формулу расстояния в пространстве, сталкиваясь с необходимостью избавиться от знака корня. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Итак, у нас есть геометрическое условие $CM = R$. Давайте переведем его на язык алгебры и выведем строгое уравнение сферы, избавившись от радикалов"».
Этап 4. Реализация проекта выхода из затруднения / Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести каноническое уравнение сферы, зафиксировать его в тетрадях, рассмотреть частный случай расположения центра сферы и алгоритм работы с общим уравнением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель ведет «Сократовский диалог», направляя учащихся: «"Давайте запишем расстояние $CM$ по формуле, которую мы повторили. Как оно будет выглядеть для точек $C(x_0; y_0; z_0)$ и $M(x; y; z)$?"» Учитель просит одного из учеников диктовать. «"По определению сферы, это выражение равно $R$. Запишем равенство: $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} = R$. Как нам избавиться от иррациональности в левой части, чтобы уравнение приняло удобный аналитический вид?"» | Ученик диктует, учитель пишет на доске: $CM = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}$. Класс отвечает на вопрос об избавлении от корня: «"Нужно возвести обе части уравнения в квадрат. Так как радиус $R$ — величина положительная, мы имеем право это сделать без потери корней"». Один из учеников записывает итоговый вид: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$. |
4 мин | Учитель вводит понятие канонического уравнения сферы: «"Посмотрите на полученное уравнение. Это и есть каноническое уравнение сферы в прямоугольной системе координат. Давайте рассмотрим важный частный случай. Что произойдет с уравнением, если центр сферы совпадет с началом координат — точкой $O(0;0;0)$? Запишите этот вариант самостоятельно"». | Ученики подставляют вместо $x_0, y_0, z_0$ нули и записывают в тетрадях частный случай уравнения сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. Выводят формулировку: если центр в начале координат, уравнение содержит только сумму квадратов текущих координат. |
3 мин | Учитель усложняет задачу, демонстрируя связь с профильным ЕГЭ (задания на аналитическую геометрию): «"А теперь представьте, что сфера задана в развернутом виде, например: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0$. Похоже ли это на наше каноническое уравнение? Какой алгебраический прием из курса основной школы нам нужно применить, чтобы найти центр и радиус этой сферы?"» | Ученики анализируют уравнение, замечают сходство с квадратными трехчленами. Отвечают: «"Это уравнение общего вида. Чтобы привести его к каноническому, нужно сгруппировать слагаемые по переменным $x, y, z$ и применить метод выделения полного квадрата двучлена"». |
Запись в тетрадях
Каноническое уравнение сферы:
$$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$$
где $C(x_0; y_0; z_0)$ — центр сферы, $R$ — радиус сферы.
Частный случай (центр в начале координат $O(0;0;0)$):
$$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$$
$$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$$
где $C(x_0; y_0; z_0)$ — центр сферы, $R$ — радиус сферы.
Частный случай (центр в начале координат $O(0;0;0)$):
$$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$$
Эталон решения
Приведение общего уравнения сферы к каноническому виду:
Дано: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0$.
Решение:
1) Группируем по переменным: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 6z) = 2$.
2) Выделяем полные квадраты:
$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + (z^2 - 6z + 9) - 9 = 2$;
$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 - 14 = 2$;
$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16$.
Ответ: Центр сферы $C(1; -2; 3)$, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Дано: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0$.
Решение:
1) Группируем по переменным: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 6z) = 2$.
2) Выделяем полные квадраты:
$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + (z^2 - 6z + 9) - 9 = 2$;
$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 - 14 = 2$;
$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16$.
Ответ: Центр сферы $C(1; -2; 3)$, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Отлично! Мы вывели уравнение сферы и научились преобразовывать его общий вид к каноническому. Теперь давайте закрепим эти навыки на практике"».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать умение определять параметры сферы по готовому уравнению и составлять уравнение по заданным точкам диаметра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание на устный анализ (приём «Толстые и тонкие вопросы»): «"Посмотрите на уравнения на слайде. Определите, являются ли они уравнениями сферы? Если да, назовите центр и радиус: а) $(x-3)^2 + y^2 + (z+5)^2 = 25$; б) $x^2 + y^2 + z^2 + 4 = 0$; в) $(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-7)^2 = 7$. Обратите внимание на пункт 'в' — чему равен радиус?"» | Ученики устно анализируют уравнения и отвечают: «"а) Да, это сфера с центром $C(3; 0; -5)$ и радиусом $R=5$. б) Нет, так как сумма квадратов не может быть равна $-4$, радиус не может быть мнимым. в) Да, это сфера с центром $C(-1; 2; 7)$ и радиусом $R=\sqrt{7}$"». |
4 мин | Учитель предлагает письменную задачу повышенной сложности: «"Давайте решим задачу: Составьте уравнение сферы, если точки $A(2; -1; 3)$ и $B(0; 5; -1)$ являются концами одного из её диаметра. Что нам нужно найти в первую очередь, зная концы диаметра?"» Учитель вызывает ученика к доске. | Ученики выполняют задание в тетрадях. Ученик у доски рассуждает: «"Центр сферы $C$ является серединой диаметра $AB$. Найдем его координаты по формулам середины отрезка: $x_0 = \frac{2+0}{2}=1$, $y_0 = \frac{-1+5}{2}=2$, $z_0 = \frac{3+(-1)}{2}=1$. Центр сферы — $C(1; 2; 1)$. Теперь найдем радиус как расстояние $CA$: $R = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$. Уравнение сферы: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 14$"». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Замечательно, задача решена абсолютно верно. Мы успешно использовали свойства диаметра и середины отрезка для нахождения уравнения сферы. Теперь пришло время проверить свои силы индивидуально"».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: провести индивидуальный контроль усвоения материала, используя дифференцированные задания, и научить сопоставлять результаты с эталоном.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздает карточки с самостоятельной работой (приём «Выбор» — три уровня сложности) и включает видимый таймер на 5 минут: «"Перед вами задания трех уровней. Уровень А — базовый, уровень Б — повышенный, уровень В — исследовательский (содержит элементы задач с параметром из ЕГЭ). Выберите тот уровень, в котором вы чувствуете уверенность, и приступайте. Время пошло"». | Ученики выбирают уровень сложности и самостоятельно выполняют задания в тетрадях. В классе соблюдается тишина, учащиеся ориентируются на таймер. |
3 мин | Учитель выводит на экран Слайд 3 с подробными эталонами ответов для каждого уровня: «"Время истекло. Возьмите зеленые ручки и проведите самопроверку по эталону. Оцените свою работу. Если допущена ошибка, зафиксируйте, на каком этапе — в знаках координат или при возведении радиуса в квадрат"». | Ученики сверяют свои решения с эталоном на экране, исправляют ошибки зеленым цветом, выставляют себе предварительный балл в лист самооценки. |
Эталон решения самостоятельной работы (Уровень Б)
Задание уровня Б: Составить уравнение сферы с центром в точке $C(-2; 3; 0)$, проходящей через точку $A(1; 3; 4)$.
Решение:
1) Так как точка $A$ лежит на сфере, радиус $R$ равен расстоянию $CA$.
2) $CA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - 3)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
3) Подставляем координаты центра $C(-2; 3; 0)$ и радиус $R=5$ в каноническое уравнение:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = 5^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 25$.
Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 25$.
Решение:
1) Так как точка $A$ лежит на сфере, радиус $R$ равен расстоянию $CA$.
2) $CA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - 3)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
3) Подставляем координаты центра $C(-2; 3; 0)$ и радиус $R=5$ в каноническое уравнение:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = 5^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 25$.
Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 25$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Рад видеть, что большинство успешно справились с выбранными уровнями. Ошибки в знаках — это нормальный этап адаптации к новой формуле, главное — вовремя их заметить и исправить"».
Этап 7. Рефлексия учебной деятельности и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, зафиксировать новые знания, выдать дифференцированное домашнее задание и собрать обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию, используя приём «Билет на выход»: «"Наш урок-исследование подходит к концу. На отдельных листочках, которые лежат у вас на краю парты, ответьте на два вопроса: 1) Какая геометрическая аналогия помогла нам сегодня вывести уравнение сферы? 2) В каком месте алгоритма выделения полного квадрата нужно быть особенно внимательным? Сдайте эти листочки мне при выходе из класса"». | Ученики письменно отвечают на вопросы «Билета на выход», анализируя свою деятельность на уроке и фиксируя основные когнитивные вехи. |
3 мин | Учитель комментирует домашнее задание, представленное на доске: «"Обратите внимание на домашнее задание. Оно также разделено по уровням. Обратите внимание, что продвинутый уровень содержит задачу, которая часто встречается в геометрическом блоке профильного ЕГЭ. Всем спасибо за продуктивную работу! Урок окончен"». | Ученики записывают домашнее задание в дневники, задают уточняющие вопросы по условиям задач. |
Критерии оценивания практической работы
- Оценка «5» — учащийся без ошибок выполнил задания самостоятельной работы базового и повышенного уровня (или выбрал и верно решил уровень В), продемонстрировал четкое владение методом выделения полного квадрата и составления уравнения сферы.
- Оценка «4» — учащийся успешно справился с базовым уровнем, но допустил 1-2 вычислительные ошибки или ошибки в знаках координат при выполнении повышенного уровня, которые смог самостоятельно исправить при самопроверке.
- Оценка «3» — учащийся смог составить уравнение сферы только в простейших случаях (по готовому центру и радиусу), испытывает серьезные затруднения при выделении полного квадрата двучлена или нахождении расстояния между точками.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая связь между уравнением окружности и уравнением сферы показалась вам наиболее очевидной? | Проверка усвоения метода аналогий и понимания преемственности между планиметрией и стереометрией. |
С какими трудностями вы столкнулись при выделении полного квадрата в трехмерном уравнении? | Выявление пробелов в алгебраической подготовке учащихся (навыки преобразования выражений) для последующей коррекции. |
Как понимание уравнения сферы может помочь при решении стереометрических задач из ЕГЭ? | Формирование осознанной мотивации к изучению аналитического метода в геометрии как альтернативы чисто геометрическим построениям. |
Завершающее слово учителя
«"Сегодня мы проделали отличную аналитическую работу. Мы не просто зазубрили готовую формулу, а вывели её сами, используя фундаментальные законы геометрии. Это и есть настоящий взрослый подход к математике, который пригодится вам и на экзаменах, и в университете. Помните, что стереометрия в координатах часто спасает сложные задачи из ЕГЭ, где трудно построить сечение геометрически. На следующем уроке мы рассмотрим взаимное расположение сферы и плоскости. Удачи в выполнении домашнего задания!"»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник Геометрии 10-11 кл., №576, №578 | Составить уравнения сфер по известным центрам и радиусам, определить параметры сферы по каноническому уравнению. |
Средний (повышающий) | Учебник, №582; Карточка с 2 уравнениями общего вида | Привести общие уравнения сферы к каноническому виду методом выделения полного квадрата, найти радиус и центр. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача с параметром: найти все значения $a$, при которых уравнение $x^2+y^2+z^2-2ax+4y-2z+a^2+4=0$ задает сферу. | Исследовать уравнение второго порядка с параметром, применив условия существования сферы (положительный радиус). |
Контрольные вопросы перед выходом из класса:
1) Чему равен радиус сферы, заданной уравнением $x^2+y^2+z^2=11$?
2) Каковы координаты центра сферы $(x+3)^2+(y-4)^2+z^2=1$?
1) Чему равен радиус сферы, заданной уравнением $x^2+y^2+z^2=11$?
2) Каковы координаты центра сферы $(x+3)^2+(y-4)^2+z^2=1$?
