Коническая поверхность: образующие, ось и вершина
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока сформировать представление о конической поверхности и научиться распознавать, обозначать и описывать её образующие, ось и вершину в пространственных моделях и чертежах.
- Сформировать понимание конической поверхности как геометрического места точек движущейся прямой, проходящей через фиксированную точку и пересекающей заданную направляющую.
- Научить выделять вершину, ось и образующие конической поверхности на рисунке и объяснять их взаимное расположение.
- Развивать пространственное воображение, умение анализировать чертёж, строить гипотезу и аргументировать геометрический вывод.
- Формировать интерес к применению геометрических моделей в архитектуре, инженерии и техническом проектировании.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение пространственных геометрических моделей для дальнейшего изучения стереометрии и профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательную самостоятельность при исследовании новой фигуры.
- Осознают ценность точного чертежа, доказательного рассуждения и проверки гипотез.
- Развивают ответственное отношение к совместной работе и уважение к аргументированной позиции одноклассника.
Метапредметные
- Извлекают определения и свойства из учебного текста, преобразуют их в схему и краткую запись.
- Сравнивают плоские и пространственные модели, устанавливают причинно-следственные связи.
- Планируют исследование модели, фиксируют результат и проверяют его по определению.
- Формулируют вопросы, объясняют ход рассуждения и используют математическую речь.
- Применяют цифровую или предметную модель для проверки пространственных представлений.
Предметные
- Знать определения конической поверхности, образующей, вершины и оси конической поверхности.
- Уметь находить и показывать на чертеже вершину, ось и образующие конической поверхности.
- Уметь объяснять, почему все образующие проходят через вершину и пересекают направляющую.
- Уметь строить схематическое изображение конической поверхности и подписывать её основные элементы.
- Владеть навыком описания взаимного расположения прямых и точек в пространственной модели.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться видеть структуру пространственной фигуры на плоском чертеже.
- Соотносят изучаемое понятие с будущим изучением тел вращения и геометрических методов в технических дисциплинах.
- Проявляют готовность самостоятельно исправлять неточности в чертеже и рассуждении.
- Оценивают собственный вклад в парное и групповое исследование.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования после выявления затруднения.
- Планируют последовательность действий: изучить модель, выделить элементы, сформулировать определение.
- Сверяют чертёж с заданными признаками конической поверхности.
- Осуществляют самоконтроль по чек-листу и корректируют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по итогам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки конической поверхности и отделяют их от несущественных.
- Анализируют пространственную модель и переводят её в схематический чертёж.
- Сравнивают конус и коническую поверхность, устанавливая различие между поверхностью и телом.
- Строят модель понятия: вершина — образующая — направляющая — ось.
- Формулируют вывод на основе наблюдения и определения.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: исследователь, докладчик, проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о расположении оси и образующих.
- Аргументируют ответ ссылкой на определение, а не только на внешний вид рисунка.
- Согласуют общий вариант схемы и корректно обсуждают различия.
- Представляют результат исследования классу в краткой форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить коническую модель: конус без основания или каркас из нескольких нитей, сходящихся в одной точке.
- Подготовить цилиндрическую или призматическую модель для сравнения с конической поверхностью.
- Распечатать карточки с тремя заданиями разного уровня — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Распечатать лист исследования для работы в парах — по одному на пару.
- Подготовить изображения конуса, конической поверхности, цилиндра и двух пересекающихся плоскостей — по одному комплекту на группу.
- Вывести на доску схему: «вершина — образующая — направляющая — ось» и оставить место для определения.
- Подготовить слайд с проблемным вопросом: «Как получить поверхность конуса движением прямой?»
- Подготовить проектор или интерактивную доску; при наличии — динамическую трёхмерную модель.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы для самостоятельной работы.
- Заранее выбрать в учебном тексте фрагмент с определениями конической поверхности, образующей, оси и вершины для смыслового чтения без указания страниц.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает модель конуса: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём исследование поверхности, которая встречается в архитектуре, оптике и инженерных конструкциях. Посмотрите на модель: какие элементы вы узнаёте? Что здесь является телом, а что может быть только поверхностью?" | Рассматривают модель, называют знакомые элементы: "вершина", "круг", "боковая поверхность", "отрезки от вершины к окружности". |
2 мин | Учитель показывает изображение конической поверхности и задаёт проблемный вопрос: "Представьте, что одна прямая движется так, чтобы всё время проходить через одну фиксированную точку и пересекать окружность. Какую фигуру она оставит? Какие элементы этой фигуры нужно будет назвать, чтобы описать её однозначно?" Учитель фиксирует гипотезы на доске, не оценивая их заранее. | Формулируют предположения: "получится поверхность конуса", "фиксированная точка будет вершиной", "движущаяся прямая станет образующей". Записывают проблемный вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели знакомую модель, но пока не можем строго описать её элементы. Сейчас проверим наши предположения и выясним, как геометрия определяет коническую поверхность."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о прямой, окружности, плоскости и геометрическом месте точек.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, чем отличается точка от прямой и какие условия задают окружность. Сначала подумайте молча, затем обсудите ответ с соседом, после этого назовите одну точную формулировку." | Индивидуально формулируют ответы, затем обсуждают их в парах и предлагают классу: "Окружность состоит из точек, равноудалённых от центра"; "Прямая задаётся двумя точками". |
3 мин | Учитель показывает на доске окружность в плоскости и спрашивает: "Что произойдёт, если соединять одну точку вне плоскости с разными точками окружности? Как будут называться полученные отрезки? Можно ли считать их частью одной фигуры?" Учитель уточняет: "Какая точка будет общей для всех отрезков?" | Отвечают: "Получатся отрезки, выходящие из одной точки"; "Все они имеют общую точку"; "Вместе они образуют поверхность". На мини-схеме отмечают общую точку и окружность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что множество отрезков может быть задано общей точкой и направляющей. Теперь найдём точное геометрическое название такой поверхности и определим её основные элементы."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить недостаточность бытового описания и сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить два описания на доске: «поверхность, похожая на конус» и «поверхность, образованная движением прямой через фиксированную точку по заданной направляющей». Учитель спрашивает: "Какое описание математически точнее? Какие слова в нём требуют определения?" | Сравнивают формулировки и отвечают: "Второе описание точнее"; выделяют слова "движение прямой", "фиксированная точка", "направляющая". |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте цель урока самостоятельно. В конце занятия вы должны будете не только назвать коническую поверхность, но и показать её элементы на любом схематическом рисунке." Учитель записывает согласованную цель на доске. | Формулируют цель: "Узнать определение конической поверхности и научиться находить её вершину, образующие и ось". Записывают тему и цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от наблюдения перейти к строгому определению и затем применить его к чертежам. Начнём с чтения и анализа нового материала."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать определения конической поверхности, образующей, вершины и оси.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт лист исследования и предлагает обратиться к соответствующему фрагменту учебного текста: "Читайте текст с пометками. Знаком плюс отметьте новое, вопросом — непонятное, галочкой — уже известное. Найдите предложение, в котором описывается способ образования поверхности. Не переписывайте всё подряд: выделите только существенные признаки." | Читают фрагмент с пометками, находят признаки: фиксированная точка, направляющая, прямая, движение прямой. |
4 мин | Учитель демонстрирует модель: "Обозначим фиксированную точку $S$, окружность в плоскости — направляющую, а одну из прямых — $l$. Посмотрите: прямая $l$ проходит через $S$ и пересекает направляющую. При её движении возникает коническая поверхность. Все положения прямой называются образующими. Почему именно такое название?" | Соотносят обозначения с моделью и отвечают: "Прямая образует поверхность"; указывают на разные положения прямой и называют их образующими. |
4 мин | Учитель записывает на доске: "Коническая поверхность образуется движением прямой, проходящей через фиксированную точку и пересекающей заданную направляющую. Фиксированная точка называется вершиной конической поверхности, а прямая, проходящая через вершину и центр окружности направляющей, — её осью." Учитель уточняет: "Все ли образующие проходят через вершину? Пересекает ли ось каждая образующая только в вершине?" | Записывают определения, отвечают: "Да, все образующие проходят через вершину"; "Каждая образующая и ось имеют общую вершину". На схеме подписывают $S$, ось, одну образующую и направляющую. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Коническая поверхность образуется движением прямой, проходящей через фиксированную точку и пересекающей заданную направляющую. Фиксированная точка — вершина. Прямые, образующие поверхность, — образующие. Прямая через вершину и центр окружности направляющей — ось». Схема: вершина $S$, ось, направляющая и две образующие.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили строгие определения и увидели, что внешний вид рисунка недостаточен без анализа признаков. Теперь проверим новое знание на конкретных моделях и научимся быстро находить нужные элементы."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять определения при чтении чертежа и объяснять ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует работу в парах и раздаёт карточку с изображением конической поверхности: "В первой части подпишите вершину, ось, направляющую и две образующие. Во второй части объясните одним предложением, почему выбранные прямые являются образующими. Используйте слова определения, а не выражение «так видно на рисунке»." | В парах подписывают элементы, составляют объяснение: "Эта прямая является образующей, потому что проходит через вершину и пересекает направляющую". |
2 мин | Учитель показывает три утверждения: «1. Все образующие параллельны оси. 2. Все образующие проходят через вершину. 3. Ось обязательно проходит через центр окружности направляющей». Учитель просит отметить верные утверждения и обосновать выбор. | Отмечают утверждения 2 и 3, исправляют первое: "Образующие не параллельны оси, а пересекают её в вершине". |
2 мин | Учитель проводит краткую проверку: "Назовите элемент по описанию: фиксированная точка; прямая, получаемая при движении; прямая через вершину и центр направляющей." | Отвечают: "Вершина"; "образующая"; "ось". Сверяют ответы с эталоном на доске. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определения уже работают: вы смогли восстановить элементы по их признакам и обнаружить ошибочное утверждение. Следующий шаг — самостоятельная проверка без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать и описывать элементы конической поверхности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательное задание, а затем выберите базовый или повышенный уровень. В задании 1 подпишите элементы на рисунке. В задании 2 определите, какие утверждения верны. В повышенном задании объясните, почему две разные образующие не могут быть параллельными, если они проходят через одну вершину." Учитель напоминает критерии: точность обозначений и ссылка на определение. | Индивидуально выполняют задания. В обязательной части подписывают вершину, ось, направляющую и образующие; в дополнительной формулируют доказательство через свойство двух пересекающихся прямых. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте себя по трём пунктам: названы все элементы; образующая проходит через вершину и направляющую; ось проходит через вершину и центр окружности. Ошибку не стирайте сразу — зачеркните одной линией и рядом запишите исправление." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, ставят отметку самооценки: «выполнено уверенно», «нужна тренировка» или «требуется объяснение». |
Эталон решения
Вершина определяется как фиксированная точка, через которую проходят все образующие. Образующая — прямая, проходящая через вершину и пересекающая направляющую. Ось — прямая, проходящая через вершину и центр окружности направляющей. Две различные образующие имеют общую точку — вершину, поэтому они не могут быть параллельными.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что главное затруднение связано не с названием элементов, а с точным использованием их признаков. Завершим урок применением понятия к реальным объектам и краткой рефлексией."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: связать новое понятие с практическими объектами, обобщить знания и определить дальнейшие шаги.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает изображения воронки, прожектора и конической крыши: "Выберите один объект и объясните, какая его часть может быть моделью конической поверхности. Где находится предполагаемая вершина? Что можно считать образующей и осью? Помните: это математическая модель, поэтому назовите, какие свойства мы сохраняем." | В парах выбирают объект и формулируют объяснение: "У прожектора отражающая поверхность может быть частью конической поверхности; вершина находится в области источника света, образующие идут к краю, ось проходит через центр". |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно назвать и показать все элементы; жёлтую — если путаете ось и образующую; красную — если требуется повторное объяснение. На стикере допишите один вопрос, который поможет вам закрепить тему." | Показывают карточку, записывают вопрос или формулировку затруднения: "Как отличить ось от любой образующей?"; "Почему поверхность, а не тело?". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы прошли путь от наблюдения модели к строгому определению и применили его к чертежу и реальному объекту. Дома вы закрепите различие между конической поверхностью и конусом и подготовитесь к дальнейшему изучению тел вращения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно подписаны вершина, ось, направляющая и не менее двух образующих; все утверждения классифицированы без ошибок; дано аргументированное объяснение через определения.
- «4» — правильно определены основные элементы, допущена одна неточность в обозначениях или формулировке, но связь образующей с вершиной и направляющей объяснена.
- «3» — названы вершина и хотя бы один вид образующих, но допущены две ошибки в определении элементов или отсутствует полное обоснование.
- Ниже базового уровня — элементы определены фрагментарно; требуется повторить признаки вершины, образующей и оси по схеме.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о способе образования конической поверхности? | Выявление понимания ключевой идеи движения прямой через фиксированную точку. |
Как отличить образующую от оси на чертеже? | Проверка различения признаков двух элементов. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения и причин ошибки. |
Можете ли вы объяснить понятие «вершина конической поверхности» своими словами? | Проверка осознанности определения и качества математической речи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что коническая поверхность задаётся не внешним сходством с конусом, а точным способом образования. Мы научились находить вершину, образующие и ось и объяснять их роль через определение. Самая частая ошибка — принимать любую прямую на рисунке за ось или считать образующие параллельными друг другу. На следующем уроке мы продолжим исследование конической поверхности и рассмотрим связанные с ней тела и сечения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить в тетради определения конической поверхности, образующей, вершины и оси; выполнить 3 задания на распознавание этих элементов по готовым чертежам. | Закрепляет терминологию и умение находить элементы по их признакам; при проверке обратить внимание на различие оси и образующей. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания: подписать элементы конической поверхности, исправить ошибочные утверждения, объяснить способ образования поверхности и сравнить коническую поверхность с цилиндрической. | Развивает анализ чертежа и применение определения в новой ситуации; проверять наличие обоснования, а не только ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить небольшой исследовательский рисунок реального объекта конической формы и описать в 5–7 предложениях его предполагаемую вершину, образующие, направляющую и ось; указать, какие свойства модели приближённы. | Формирует пространственное воображение, функциональную грамотность и умение применять геометрическую модель к практическому объекту. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется конической поверхностью?», «Какая точка является её вершиной?», «Что называют образующей?», «Как проходит ось конической поверхности?». Ответьте на один вопрос устно соседу и на один — письменно в тетради.
