Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут дать определение цилиндра как тела вращения, перечислить его основные элементы (ось, образующая, основания) и вычислить площадь боковой и полной поверхности цилиндра по заданным параметрам.
- Образовательные задачи: изучить определение цилиндра, рассмотреть его элементы и сечения, вывести формулы площади боковой и полной поверхности.
- Развивающие задачи: развивать пространственное мышление, умение анализировать трехмерные объекты через их плоские развертки, формировать навыки работы с учебником Атанасяна.
- Воспитательные задачи: способствовать осознанию практической значимости геометрии в архитектуре и технике, формировать навыки самоконтроля при решении задач формата ЕГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей профессиональной траектории, понимание роли стереометрии в инженерных специальностях.
- Критичность мышления, умение распознавать логически ошибочные рассуждения.
- Навыки самоорганизации в процессе выполнения самостоятельной работы.
Метапредметные
- Познавательные: умение создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач (переход от цилиндра к развертке).
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения при обсуждении проблемных вопросов.
Предметные
- Знать определение цилиндра, его элементов (основания, образующие, ось, высота, радиус).
- Уметь изображать цилиндр на плоскости, проводить его осевое сечение и сечение, параллельное оси.
- Владеть формулами площади боковой (Sбок = 2πrh) и полной (Sполн = 2πr(r+h)) поверхности цилиндра.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование устойчивого интереса к изучению геометрии через связь с реальными объектами.
- Развитие эстетического восприятия геометрических форм.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка правильности выполнения действия и внесение необходимых корректив.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
- Синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить модель прямого кругового цилиндра и развертку цилиндра из плотной бумаги.
- Распечатать карточки для этапа актуализации (тест на знание формул окружности и круга) — 25 шт.
- Подготовить презентацию со слайдами: 1. Объекты цилиндрической формы в жизни; 2. Чертеж цилиндра с обозначениями; 3. Вывод формулы площади.
- Обеспечить наличие чертежных инструментов (циркуль, линейка) у каждого ученика.
- Открыть учебник Л.С. Атанасяна «Геометрия 10-11» на странице 119.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, создать проблемную ситуацию через визуальные образы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Мы продолжаем наше путешествие по миру стереометрии. Посмотрите на слайд. Перед вами колонны Парфенона, банка газировки, тубус для чертежей и ствол дерева. Какая геометрическая форма объединяет эти предметы?" | Ученики приветствуют учителя, смотрят на экран и отвечают: "Все эти предметы имеют форму цилиндра". |
2 мин | "Верно. Мы часто встречаем цилиндры, но сегодня нам нужно перейти от бытового понимания к строгому математическому. Как вы думаете, достаточно ли нам знаний о призме, чтобы рассчитать, сколько краски нужно для покраски такой колонны? В чем принципиальное отличие цилиндра от многогранников?" | Ученики предполагают: "У цилиндра нет граней, его поверхность круглая. Нам нужны новые формулы для расчета площади". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, тема нашего урока — 'Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра'. Запишите её в тетради. Сегодня мы узнаем, как 'создать' цилиндр и как измерить его поверхность."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить планиметрические сведения о круге и окружности, необходимые для изучения цилиндра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Прежде чем строить цилиндр, давайте вспомним его 'родителей' — круг и прямоугольник. Применим приём 'Блиц-опрос'. Назовите формулу длины окружности? Формулу площади круга? Как связаны радиус и диаметр?" | Ученики отвечают: "C = 2πr", "S = πr²", "d = 2r". |
2 мин | "Хорошо. Теперь представьте прямоугольник ABCD. Если мы начнем вращать его вокруг стороны AB, какая фигура получится в пространстве? Попробуйте изобразить это движение рукой в воздухе." | Ученики имитируют вращение и приходят к выводу, что получится тело вращения — цилиндр. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили базу. Теперь откроем учебник Атанасяна на странице 119 и дадим строгое определение тому, что мы только что представили."
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести основные понятия, связанные с цилиндром, и вывести формулы площади поверхности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Работаем с текстом учебника (п. 38). Найдите определение цилиндра. Обратите внимание: мы рассматриваем прямой круговой цилиндр. Учитель рисует цилиндр на доске: 'Проведем две параллельные плоскости, в них — два равных круга. Соединим их точки отрезками'. Вводит понятия: основания, образующие, ось цилиндра, радиус, высота." | Ученики делают чертеж в тетради, подписывают элементы: L — образующая, H — высота, R — радиус. Записывают: 'Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований'. |
7 мин | "Теперь самое интересное — площадь. Представьте, что мы разрезали боковую поверхность цилиндра по образующей и развернули её. Учитель демонстрирует бумажную модель. Какую фигуру мы видим? Чему равны её стороны? Применяем приём 'Открытие': свяжите стороны прямоугольника с параметрами цилиндра." | Ученики обсуждают в парах и отвечают: "Получился прямоугольник. Одна сторона — это высота цилиндра (h), а другая — длина окружности основания (2πr)". Выводят формулу: Sбок = 2πrh. Затем добавляют площади двух оснований: Sполн = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r). |
Запись в тетрадях
- Определение: Цилиндр — тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями (основаниями).
- Sбок = 2πrh
- Sполн = 2πr(h + r)
- Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, стороны которого равны высоте и диаметру цилиндра.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы получены. Они логичны и красивы. Теперь проверим, как они работают на практике."
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение формул на простых задачах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Решим задачу №522 из учебника Атанасяна. Условие: Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота — 3 м. Найдите площадь диагонального сечения (осевого), площадь боковой и полной поверхности. Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях. Используем ПОПС-формулу для объяснения решения." | Ученик у доски: "Дано: r=2, h=3. Решение: 1) Осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r и h. Sсеч = 4 * 3 = 12 м². 2) Sбок = 2 * π * 2 * 3 = 12π м². 3) Sполн = 12π + 2 * π * 2² = 12π + 8π = 20π м²." |
Эталон решения
1. $S_{сеч} = 2r \cdot h = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \text{ (м}^2\text{)}$.
2. $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 2 \cdot 3 = 12\pi \text{ (м}^2\text{)}$.
3. $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 12\pi + 2\pi \cdot 2^2 = 20\pi \text{ (м}^2\text{)}$.
2. $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 2 \cdot 3 = 12\pi \text{ (м}^2\text{)}$.
3. $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 12\pi + 2\pi \cdot 2^2 = 20\pi \text{ (м}^2\text{)}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Типичная ошибка в этой задаче — забыть, что оснований два. Будьте внимательны!"
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностика уровня усвоения материала в условиях, приближенных к ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Предлагаю вам задачу уровня ЕГЭ (Задание 3). Условие: Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24π, а радиус основания равен 3. Найдите высоту цилиндра. Выполняйте самостоятельно. Через 5 минут на экране появится эталон для самопроверки." | Ученики решают задачу в тетрадях. Записывают уравнение: 24π = 2 * π * 3 * h. Находят h = 24π / 6π = 4. |
2 мин | "Поднимите зеленые карточки те, у кого ответ сошелся. У кого возникли трудности? Давайте разберем, на каком этапе произошел сбой." | Ученики проводят самооценку, сигнализируют о результатах, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, большинство справилось. Это база, которая позволит вам решать более сложные задачи на комбинации тел."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте воспользуемся приёмом 'Билет на выход'. Напишите на листочке один 'тонкий' вопрос по теме (на знание фактов) и один 'толстый' (на понимание сути). Листочки сдайте мне." | Ученики пишут вопросы. Пример тонкого: 'Чему равна площадь основания?'. Пример толстого: 'Почему развертка боковой поверхности — это именно прямоугольник, а не трапеция?' |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно дифференцировано. Обратите внимание на задачу №525 — она потребует от вас знания тригонометрии." | Ученики записывают задание в дневники, задают вопросы по выполнению. |
Критерии оценивания
- "5" — Ученик верно определил все элементы цилиндра, безошибочно вывел формулы и решил самостоятельную задачу без подсказок.
- "4" — Ученик знает определения и формулы, но допустил одну вычислительную ошибку в самостоятельной работе или нуждался в наводящем вопросе при выводе формул.
- "3" — Ученик узнает цилиндр и его элементы, знает формулу боковой поверхности, но затрудняется в расчете полной поверхности или решении обратных задач (нахождение h через S).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство прямоугольника позволяет нам получить именно прямой цилиндр при вращении? | Проверка понимания связи между планиметрией и стереометрией. |
В чем была главная сложность при выводе формулы полной поверхности? | Выявление пробелов в логических операциях (синтез формулы). |
Где в вашей будущей профессии может пригодиться расчет площади цилиндра? | Формирование личностной значимости обучения (профориентация). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы с вами 'приручили' цилиндр — одну из самых гармоничных фигур в геометрии. Мы увидели, как плоский прямоугольник превращается в объемное тело, и научились измерять его 'кожу' — площадь поверхности. Помните, что впереди нас ждут сечения цилиндра плоскостями, где нам очень пригодится сегодняшняя база. Если у кого-то остались вопросы по развертке — задержитесь на минуту, я покажу на модели еще раз. Спасибо за активную работу, урок окончен!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник Атанасяна, п. 38-39, №320, №321 | Выучить определения и формулы. Решить задачи на прямое применение формул Sбок и Sполн. |
Средний (повышающий) | №324, №326 | Задачи на нахождение элементов цилиндра через площадь сечений с использованием углов. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти 3 примера использования цилиндрических форм в современной архитектуре и рассчитать примерную площадь их поверхности по фото (масштабирование). |
Контрольный вопрос: Изменится ли площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 2 раза?
