Аналитические методы расчёта угла между прямыми в многогранниках
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить угол между скрещивающимися прямыми в многограннике аналитическим методом через координаты направляющих векторов и проверять полученный результат по геометрическим свойствам фигуры.
- Сформировать умение выбирать систему координат, задавать координаты вершин многогранника и составлять направляющие векторы заданных прямых.
- Научить применять формулу косинуса угла между векторами и корректно выбирать острый угол между прямыми.
- Развивать умение анализировать условие пространственной задачи, сопоставлять аналитическое решение с чертежом и обнаруживать вычислительные ошибки.
- Воспитывать самостоятельность, точность записи, готовность обосновывать решение и переносить математический метод на задачи повышенной сложности.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую ценность координатного метода для описания пространственных объектов и решения задач, связанных с будущим обучением в вузе.
- Проявляет ответственное отношение к точности вычислений, обозначений и аргументации.
- Оценивает собственную готовность применять аналитический метод в новой пространственной ситуации.
- Понимает, что сложная геометрическая задача может быть преобразована в последовательность проверяемых алгебраических действий.
Метапредметные
- Выделяет данные и искомую величину, строит математическую модель пространственной задачи.
- Планирует последовательность действий: выбор координат, получение векторов, вычисление скалярного произведения и длин, нахождение угла.
- Сопоставляет результат вычислений с чертежом и оценивает его правдоподобие.
- Аргументированно представляет решение, использует математическую терминологию и осуществляет самопроверку.
Предметные
- Знать формулу скалярного произведения векторов и формулу косинуса угла между ними.
- Уметь находить координаты направляющего вектора прямой по координатам двух её точек.
- Уметь вычислять острый угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в пространстве.
- Владеть алгоритмом решения задач на угол между прямыми в прямоугольном параллелепипеде.
- Уметь объяснять выбор модуля скалярного произведения и проверять ответ по диапазону возможных значений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень владения координатным методом и формулируют учебную цель на урок.
- Осознают значение аккуратной математической записи для доказательства правильности результата.
- Проявляют готовность принимать интеллектуальный вызов при решении нестандартной пространственной задачи.
- Формируют установку на самостоятельную проверку промежуточных и итоговых результатов.
Регулятивные УУД
- Планируют решение по заданному алгоритму и при необходимости корректируют выбранную систему координат.
- Контролируют знаки координат, длины векторов и область значений косинуса.
- Сравнивают полученный результат с ожидаемым по чертежу.
- Оценивают качество решения по критериям полноты, точности и обоснованности.
Познавательные УУД
- Преобразуют геометрические объекты в координатную и векторную модель.
- Выделяют существенные признаки угла между прямыми.
- Применяют формулы, выполняют логические преобразования и рационально упрощают выражения.
- Моделируют положение прямых в пространстве и устанавливают связь между геометрическими и аналитическими свойствами.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к способу решения и уточняют смысл каждого вычислительного шага.
- Объясняют партнёру выбор направляющих векторов и системы координат.
- Сравнивают два решения и аргументированно выбирают более рациональное.
- Корректно фиксируют и обсуждают возможную ошибку в знаке или выборе угла.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, системой координат и формулой угла между векторами.
- Распечатать карточки двух уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельный лист с эталонами решений для самопроверки после самостоятельной работы.
- Записать на доске до начала урока тему и обозначения: координатные оси, начало координат O = A, длины рёбер a, b, c.
- Вывести на экран памятку: $\vec u=(x_1,y_1,z_1)$, $\vec v=(x_2,y_2,z_2)$, $\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}$.
- Подготовить маркеры трёх цветов для выделения координатных разностей, скалярного произведения и модуля.
- Подготовить таймер на 4 минуты для парного исследования и на 6 минут для самостоятельной работы.
- Проверить наличие проектора или интерактивной доски; при отсутствии оборудования подготовить чертёж на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и показать, что пространственную задачу можно свести к вычислению с векторами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁: «Сегодня начнём с геометрического рисунка, чтобы увидеть расположение прямых в пространстве. Затем переведём эту конфигурацию на язык координат и векторов и вычислим угол точно, без измерений на чертеже. Запишите тему урока и подготовьте тетради». | Записывают дату и тему урока, рассматривают модель параллелепипеда, называют известные элементы: вершины, рёбра, диагонали. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как найти угол между диагональю основания и пространственной диагональю, если эти прямые скрещиваются? Можно ли использовать привычную формулу косинуса, если прямые не пересекаются? Предположите, какие объекты нужно построить аналитически». | Формулируют гипотезы: «Нужно перенести одну прямую параллельно самой себе», «Можно взять направляющие векторы», «Нужно применить скалярное произведение». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Геометрически скрещивающиеся прямые неудобны для непосредственного измерения. Сегодня мы проверим, как координаты и векторы превращают эту пространственную ситуацию в точный вычислительный алгоритм."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить формулы и понятия, необходимые для вывода алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает памятку и говорит: «Если A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), то направляющий вектор прямой AB находится по формуле $\overrightarrow{AB}=(x₂-x₁,\ y₂-y₁,\ z₂-z₁)$. Запишите формулу и проговорите, почему порядок вычитания важен». | Записывают формулу $\overrightarrow{AB}=(x₂-x₁,\ y₂-y₁,\ z₂-z₁)$ и объясняют: координаты конца минус координаты начала. |
2 мин | Учитель спрашивает: «Как вычисляется скалярное произведение? Как находится длина вектора? Что произойдёт с косинусом, если поменять направление одного из векторов?» На доске фиксирует формулы: для $\vec u=(x₁,y₁,z₁)$ и $\vec v=(x₂,y₂,z₂)$: $\vec u\cdot\vec v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂$; $|\vec u|=\sqrt{x₁²+y₁²+z₁²}$; $|\vec v|=\sqrt{x₂²+y₂²+z₂²}$. | Отвечают по формулам: $\vec u\cdot\vec v=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂$; $|\vec u|=\sqrt{x₁²+y₁²+z₁²}$; $|\vec v|=\sqrt{x₂²+y₂²+z₂²}$. Делают вывод: при смене направления одного вектора знак скалярного произведения и ориентированного косинуса меняется. |
1 мин | Учитель уточняет: «Угол между прямыми обычно берём острый или прямой. Поэтому используем формулу $\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}$. Какой диапазон имеет искомый угол?» | Отвечают: $0°\leq\varphi\leq90°$; модуль скалярного произведения позволяет выбрать острый угол между прямыми. |
Запись в тетрадях
$\vec u=(x_1,y_1,z_1)$, $\vec v=(x_2,y_2,z_2)$;
$\vec u\cdot\vec v=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$;
$|\vec u|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$;
$\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}$.
$\vec u\cdot\vec v=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$;
$|\vec u|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$;
$\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что для угла между прямыми достаточно знать по одному ненулевому направляющему вектору каждой прямой. Теперь выясним, как получить эти векторы из вершин многогранника и не потерять геометрический смысл задачи."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: вывести общий план аналитического решения задачи на примере многогранника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предъявляет задачу: "Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Найдём угол между прямыми AC₁ и BD₁. Прямые не лежат в одной плоскости, поэтому построим не дополнительный чертёж, а координатную модель. Какие шаги нам потребуются? Назовите их в правильном порядке." Учитель записывает предложения учащихся на доске и подводит к алгоритму. | В парах формулируют план: "Задать координаты вершин; найти векторы AC₁ и BD₁; вычислить их скалярное произведение и длины; подставить в формулу; определить угол". Записывают цель: научиться находить угол между прямыми в многограннике координатным методом. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План решения сформирован. Сейчас мы выполним его полностью на конкретном кубе, а затем проверим, сможете ли вы самостоятельно перенести тот же алгоритм на прямоугольный параллелепипед."
Этап 4. Открытие нового знания: подробное решение (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритм вычисления угла между скрещивающимися прямыми через направляющие векторы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель задаёт координаты: "Поместим вершину A в начало координат: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A₁(0,0,1). Тогда C(1,1,0), C₁(1,1,1), D₁(0,1,1), B₁(1,0,1). Запишите координаты в тетрадь и проверьте, что соседние рёбра направлены вдоль разных координатных осей." | Записывают координаты вершин, проверяют: \(\vec{AB}=(1,0,0)\), \(\vec{AD}=(0,1,0)\), \(\vec{AA_1}=(0,0,1)\). |
3 мин | Учитель продолжает: "Для прямой AC₁ берём вектор \(\vec{AC_1}=C_1-A=(1,1,1)\). Для прямой BD₁ берём \(\vec{BD_1}=D_1-B=(0-1,1-0,1-0)=(-1,1,1)\). Обратите внимание: мы можем взять и противоположный вектор \((1,-1,-1)\), угол между прямыми не изменится благодаря модулю." | Вычисляют координаты двух направляющих векторов, проговаривают правило вычитания координат. Отмечают, что направление вектора можно заменить противоположным. |
2 мин | Учитель ведёт вычисление: "Скалярное произведение равно \(1\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot1=1\). Длины обоих векторов равны \(\sqrt3\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{|1|}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac13\). Найдите значение угла и округлите до градуса." | Записывают \(\cos\varphi=\frac13\), используют таблицу или калькулятор: \(\varphi\approx70,5^\circ\), то есть примерно \(71^\circ\). |
2 мин | Учитель организует проверку: "Проверьте ответ геометрически. Векторы не перпендикулярны, потому что скалярное произведение не равно нулю; угол острый и близок к 90°, поскольку косинус равен 0,333. Значит, результат правдоподобен. Сформулируйте общий алгоритм четырьмя пунктами." | Формулируют алгоритм: выбрать координаты; найти направляющие векторы; вычислить произведение и длины; применить формулу и выбрать острый угол. |
Эталон решения
Для куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, поэтому $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.
Направляющие векторы: $\vec u=\overrightarrow{AC_1}=(1,1,1)$, $\vec v=\overrightarrow{BD_1}=(-1,1,1)$.
Скалярное произведение: $\vec u\cdot\vec v=1\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot1=1$.
Длины: $|\vec u|=\sqrt3$, $|\vec v|=\sqrt3$.
Тогда $\cos\varphi=\frac{|1|}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac13$, следовательно, $\varphi=\arccos\frac13\approx70{,}5^\circ$.
Ответ: $\varphi\approx71^\circ$.
Направляющие векторы: $\vec u=\overrightarrow{AC_1}=(1,1,1)$, $\vec v=\overrightarrow{BD_1}=(-1,1,1)$.
Скалярное произведение: $\vec u\cdot\vec v=1\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot1=1$.
Длины: $|\vec u|=\sqrt3$, $|\vec v|=\sqrt3$.
Тогда $\cos\varphi=\frac{|1|}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac13$, следовательно, $\varphi=\arccos\frac13\approx70{,}5^\circ$.
Ответ: $\varphi\approx71^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что положение прямых в пространстве не мешает применить формулу для векторов. Критически важны три места: корректно задать координаты, не перепутать конец и начало вектора и взять модуль скалярного произведения. Теперь проверим алгоритм в парной работе."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к прямоугольному параллелепипеду и обсудить влияние длин рёбер.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки с задачей: "В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ длины рёбер AB=2, AD=1, AA₁=2. Найдите угол между прямыми AC₁ и BD₁. Работайте в парах: один ученик составляет координатную модель, второй выполняет вычисления, затем поменяйтесь ролями при проверке." | Читают условие, распределяют роли, выбирают начало координат в точке A. |
4 мин | Учитель направляет работу вопросами: "Какие координаты имеют B, D и A₁? Каковы координаты C₁ и D₁? Не забудьте, что длина ребра AA₁ равна 2. Запишите оба направляющих вектора, затем отдельно вычислите произведение и длины. Сравните результат с партнёром." | Записывают: \(A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,1,0), A_1(0,0,2)\), \(C_1(2,1,2)\), \(D_1(0,1,2)\). Находят \(\vec{AC_1}=(2,1,2)\), \(\vec{BD_1}=(-2,1,2)\), \(\vec u\cdot\vec v=-4+1+4=1\), \(|\vec u|=3\), \(|\vec v|=3\). Получают \(\cos\varphi=\frac19\). |
1 мин | Учитель приглашает ученика представить решение: "Назовите не только ответ, но и все промежуточные величины. Класс, проверьте знаки и длины. Почему угол получился больше, чем в задаче про куб?" | Представляют решение: \(\varphi=\arccos\frac19\approx83,6^\circ\). Объясняют: "Косинус меньше, поэтому угол ближе к 90°". |
Эталон решения
$A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,2)$; $C_1(2,1,2)$, $D_1(0,1,2)$.
Тогда $\vec u=\overrightarrow{AC_1}=(2,1,2)$, $\vec v=\overrightarrow{BD_1}=(-2,1,2)$.
$\vec u\cdot\vec v=2\cdot(-2)+1\cdot1+2\cdot2=1$.
$|\vec u|=\sqrt{4+1+4}=3$, $|\vec v|=3$.
Поэтому $\cos\varphi=\frac{1}{9}$, $\varphi=\arccos\frac19\approx83{,}6^\circ$.
Ответ: $\varphi\approx84^\circ$.
Тогда $\vec u=\overrightarrow{AC_1}=(2,1,2)$, $\vec v=\overrightarrow{BD_1}=(-2,1,2)$.
$\vec u\cdot\vec v=2\cdot(-2)+1\cdot1+2\cdot2=1$.
$|\vec u|=\sqrt{4+1+4}=3$, $|\vec v|=3$.
Поэтому $\cos\varphi=\frac{1}{9}$, $\varphi=\arccos\frac19\approx83{,}6^\circ$.
Ответ: $\varphi\approx84^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вторая задача подтвердила, что координатный метод работает не только для куба. Изменение размеров рёбер меняет координаты векторов и, следовательно, угол. Теперь каждый проверит себя индивидуально."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное владение алгоритмом и умение обосновать ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки: "Решите задачу самостоятельно. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ даны AB=3, AD=2, AA₁=1. Найдите угол между прямыми AC₁ и BD₁. В решении должны быть координаты четырёх базовых вершин, два направляющих вектора, скалярное произведение, длины и итоговая формула." | Записывают условие и план решения. |
5 мин | Учитель не сообщает ответ, а задаёт индивидуальные уточняющие вопросы испытывающим затруднение: "Начните с A(0,0,0). Куда направлен вектор AB? Какие координаты получит C₁? Проверьте, что координаты D₁ содержат высоту 1. После вычисления косинуса оцените: угол должен быть острым?" | Решают: \(A(0,0,0), B(3,0,0), D(0,2,0), A_1(0,0,1)\); \(C_1(3,2,1)\), \(D_1(0,2,1)\); \(\vec u=(3,2,1)\), \(\vec v=(-3,2,1)\). Вычисляют произведение \(-9+4+1=-4\), длины \(|\vec u|=|\vec v|=\sqrt{14}\), \(\cos\varphi=\frac4{14}=\frac27\). |
2 мин | Учитель выводит эталон на экран: "Сверьте каждый шаг, а не только ответ. Если у вас получилось \(-\frac27\), ошибка не обязательно в вычислении: вы нашли ориентированный угол между выбранными направлениями, а угол между прямыми берётся по модулю." | Проверяют решение по шагам, исправляют знаки, отмечают ошибку или ставят знак самопроверки. Получают \(\varphi=\arccos\frac27\approx73,4^\circ\). |
Эталон решения
$A(0,0,0)$, $B(3,0,0)$, $D(0,2,0)$, $A_1(0,0,1)$, поэтому $C_1(3,2,1)$, $D_1(0,2,1)$.
$\vec u=\overrightarrow{AC_1}=(3,2,1)$, $\vec v=\overrightarrow{BD_1}=(-3,2,1)$.
$\vec u\cdot\vec v=3\cdot(-3)+2\cdot2+1\cdot1=-4$.
$|\vec u|=|\vec v|=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{14}$.
$\cos\varphi=\frac{|-4|}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}}=\frac4{14}=\frac27$.
Следовательно, $\varphi=\arccos\frac27\approx73{,}4^\circ$.
Ответ: $\varphi\approx73^\circ$.
$\vec u=\overrightarrow{AC_1}=(3,2,1)$, $\vec v=\overrightarrow{BD_1}=(-3,2,1)$.
$\vec u\cdot\vec v=3\cdot(-3)+2\cdot2+1\cdot1=-4$.
$|\vec u|=|\vec v|=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{14}$.
$\cos\varphi=\frac{|-4|}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}}=\frac4{14}=\frac27$.
Следовательно, $\varphi=\arccos\frac27\approx73{,}4^\circ$.
Ответ: $\varphi\approx73^\circ$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что полный алгоритм уже можно применять без подсказки. Особое внимание обращаем на модуль: направление вектора выбирается произвольно, а геометрический угол между прямыми не может быть отрицательным."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать способ действия, выявить затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Одноминутка": "За одну минуту запишите три обязательных шага решения и одну типичную ошибку, которой нужно избежать. Затем поднимите зелёную карточку, если готовы решать аналогичную задачу, жёлтую — если нужен ещё один пример, красную — если затрудняетесь выбрать координаты." | Записывают три шага: координаты и векторы; скалярное произведение и длины; формула и проверка. Указывают ошибку: отсутствие модуля или неверное вычитание координат. |
1 мин | Учитель задаёт контрольный вопрос: "Почему угол между скрещивающимися прямыми можно находить через направляющие векторы?" | Отвечают: "Параллельным переносом одну прямую можно совместить с точкой другой, а угол сохраняется; направляющие векторы задают направления прямых". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный уровни предназначены для тех, кто хочет исследовать зависимость угла от размеров рёбер. Во всех решениях соблюдайте полный алгоритм и оставляйте точное значение через арккосинус." | Записывают выбранный уровень и критерии самопроверки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как получить направляющий вектор прямой по двум вершинам?», «Зачем в формуле угла между прямыми нужен модуль?», «Какие три величины нужно вычислить до нахождения косинуса?». Учащиеся отвечают устно или записывают краткие ответы на выходном листке.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — полностью и самостоятельно решена задача, корректно заданы координаты, найдены оба направляющих вектора, без ошибок вычислены скалярное произведение и длины, записана формула с модулем и дан точный либо обоснованно округлённый ответ.
- «4» — алгоритм выбран верно, но допущена одна вычислительная неточность, не повлиявшая на общую структуру решения, либо отсутствует подробная проверка результата.
- «3» — координатная модель и направляющие векторы составлены в основном верно, но допущены ошибки в вычислении скалярного произведения, длины или округлении; ход решения понятен.
- Ниже «3» — не выбрана корректная система координат, отсутствуют направляющие векторы или формула не связана с условием задачи.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым простым, а какой потребовал наибольшего внимания? | Выявление точки затруднения: координатная модель, векторы или вычисления. |
Почему при нахождении угла между прямыми мы используем модуль скалярного произведения? | Проверка понимания различия между ориентированным углом векторов и острым углом между прямыми. |
Как вы проверили правдоподобие полученного угла? | Формирование навыка самоконтроля и геометрической интерпретации результата. |
Сможете ли вы применить метод к правильной призме или пирамиде? Что потребуется изменить? | Оценка готовности переносить алгоритм на новую конфигурацию. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы превратили пространственную задачу об угле между скрещивающимися прямыми в последовательность точных аналитических действий. Главное — не начинать с механической подстановки, а сначала построить координатную модель и выбрать направляющие векторы. Типичные ошибки связаны с неверным вычитанием координат и отсутствием модуля скалярного произведения. На следующем уроке мы перенесём этот подход на углы между прямой и плоскостью и сравним несколько способов решения одной задачи.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на угол между прямыми AC₁ и BD₁ в прямоугольном параллелепипеде с разными заданными длинами трёх рёбер. В каждом решении указать координаты вершин, направляющие векторы, скалярное произведение, длины и точное значение косинуса. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на выбор координат, знаки координат векторов и наличие модуля. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на угол между диагональю многогранника и диагональю грани, используя удобную систему координат; одну задачу оформить с подробным объяснением, почему выбранные прямые могут быть скрещивающимися. | Развивает перенос метода на новую конфигурацию; проверять полноту обоснования и соответствие векторов заданным прямым. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать, при каких соотношениях длин рёбер прямоугольного параллелепипеда прямые AC₁ и BD₁ перпендикулярны. Составить уравнение через длины рёбер и объяснить геометрический смысл результата. | Формирует умение создавать математическую модель и анализировать параметрическую задачу; проверить вывод уравнения и интерпретацию условия перпендикулярности. |
Контрольные вопросы для проверки понимания перед выходом: «Какой вектор можно выбрать направляющим для прямой, проходящей через две заданные вершины?», «Что проверяет условие \(|\cos\varphi|\leq1\)?», «Почему замена направляющего вектора на противоположный не меняет угол между прямыми?»
