Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие площади сферы и касательной плоскости к сфере, научить применять формулу площади и свойства касания при решении геометрических задач, в том числе прототипов ЕГЭ.
- Образовательная задача: Вывести (обосновать) формулу площади сферы, изучить условие касания плоскости и сферы, сформировать навык нахождения площади поверхности тел вращения.
- Развивающая задача: Развивать пространственное мышление, умение анализировать взаимное расположение объектов в пространстве и устанавливать аналогии между планиметрией и стереометрией.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи, академическую самостоятельность и готовность к осознанному выбору профессии через решение задач прикладного характера.
Планируемые результаты
Личностные
- Умение управлять своей познавательной деятельностью в условиях подготовки к итоговой аттестации.
- Развитие критического мышления при анализе геометрических моделей реальных объектов.
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
Метапредметные
- Познавательные: умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства для решения задач.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров при работе в группах.
Предметные
- Знать определение сферы, шара, касательной плоскости и точки касания.
- Владеть формулой площади сферы S = 4πR² и уметь применять её для расчётов.
- Уметь доказывать теорему о перпендикулярности радиуса, проведённого в точку касания, и касательной плоскости.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом — подготовкой к вузу).
- Нравственно-этическая ориентация в ходе парной и групповой работы.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
- Построение логической цепи рассуждений при выводе формул.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с 3D-моделями сферы и касательной плоскости.
- Распечатать рабочие листы с задачами формата ЕГЭ (прототипы на площадь сферы и комбинации тел) — по 1 на ученика.
- Подготовить демонстрационные модели: футбольный мяч, теннисный мячик, лист бумаги (для демонстрации касания).
- Подготовить карточки для приёма «Светофор» (красный, жёлтый, зелёный) для каждого ученика.
- Обеспечить наличие чертёжных инструментов на каждом столе (циркуль, линейка).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, вызвать интерес к теме через прикладной контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Мы продолжаем изучать тела вращения. Сегодня на повестке дня объект, который окружает нас повсюду: от капли росы до планет Солнечной системы. Посмотрите на этот теннисный мяч. Как вы думаете, сколько материала потребовалось на его покрытие? И как математически описать момент, когда ракетка едва касается мяча?" | Приветствуют учителя, проверяют готовность мест, настраиваются на диалог. |
2 мин | "Сегодня мы не просто выучим формулу, мы поймём, почему она именно такая, и разберём ловушки, которые готовит нам ЕГЭ в задачах на сферу. Запишите тему урока: 'Площадь сферы. Касательная плоскость'." | Записывают тему урока в тетради, включаются в обсуждение практической значимости темы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили вектор нашего движения. Чтобы построить новое, нужно проверить фундамент."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия о сфере и шаре, вспомнить аналогичные понятия из планиметрии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит блиц-опрос: "Давайте вспомним: чем отличается сфера от шара? Какое уравнение имеет сфера с центром в начале координат? Как мы находили площадь поверхности цилиндра и конуса? Можно ли развернуть сферу на плоскость без искажений?" | Отвечают: "Сфера — поверхность, шар — тело"; "x² + y² + z² = R²"; "Через развёртку боковой поверхности"; "Нет, сферу нельзя развернуть на плоскость без разрывов (картография)". |
2 мин | "Вспомните планиметрию: как называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку? Каким свойством она обладает относительно радиуса?" | Отвечают: "Касательная, она перпендикулярна радиусу в точке касания". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, мы вспомнили, что сферу нельзя развернуть как цилиндр. Значит, нам нужен другой способ нахождения площади."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Представьте, что мы очищаем апельсин. Если мы разложим кожуру на столе, она не образует идеальный круг или прямоугольник. Как же Архимед ещё в III веке до н.э. смог доказать, что площадь сферы в 4 раза больше площади её большого круга? Какую гипотезу мы можем выдвинуть о формуле площади?" | Выдвигают гипотезы: "Возможно, она связана с числом Пи и радиусом в квадрате", "S = 4πR²". |
2 мин | "Сегодня наша задача — не просто принять эту формулу на веру, а понять её логику и научиться работать с касательной плоскостью. Что нам нужно для этого сделать? Сформулируйте план урока." | Формулируют пункты плана: 1. Узнать формулу площади. 2. Разобраться с касанием. 3. Научиться решать задачи ЕГЭ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План намечен. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: обосновать формулу площади сферы и изучить теорию касательной плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "В школьном курсе мы принимаем формулу S = 4πR² без строгого вывода через интегралы, но давайте осознаем её масштаб. Архимед доказал, что площадь сферы равна боковой поверхности описанного около неё цилиндра. Запишем формулу и проанализируем её: во сколько раз изменится площадь, если радиус увеличить в 3 раза? Это классическая ловушка ЕГЭ." | Записывают формулу в тетрадь. Отвечают: "В 9 раз, так как зависимость квадратичная". Делают схематичный рисунок сферы и описанного цилиндра. |
6 мин | "Теперь о касании. Плоскость называется касательной, если имеет со сферой одну общую точку. Посмотрите на демонстрацию: я кладу лист бумаги на мяч. Каково расстояние от центра сферы до этой плоскости? Сформулируйте теорему о свойстве касательной плоскости по аналогии с касательной к окружности." | Ученики формулируют: "Расстояние равно радиусу. Теорема: Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания". Записывают формулировку и рисуют чертёж. |
Запись в тетрадях
- Формула площади сферы: S = 4πR².
- Условие касания: d = R (расстояние от центра до плоскости равно радиусу).
- Свойство: α ⊥ OR (касательная плоскость перпендикулярна радиусу в точке касания R).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теоретический багаж собран. Пора проверить его в деле."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение формулы на простых задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Решим задачу: площадь большого круга сферы равна 15π. Найдите площадь поверхности этой сферы. Кто готов прокомментировать решение у доски?" | Ученик у доски: "Площадь большого круга S_кр = πR² = 15π, значит R² = 15. Площадь сферы S_сф = 4πR² = 4 * 15π = 60π". Остальные записывают в тетрадях. |
3 мин | "Вторая задача: Дана сфера с центром в точке O(0,0,0) и радиусом 5. Касается ли её плоскость z = 5? Почему?" | Отвечают: "Да, так как расстояние от центра (0,0,0) до плоскости z=5 равно 5, что совпадает с радиусом". |
Эталон решения
Задача на изменение: Если S1 = 4πR1² и S2 = 4πR2², а R2 = k*R1, то S2 = 4π(k*R1)² = k² * S1. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Базовые расчеты не вызывают трудностей. Переходим к индивидуальному испытанию."
Этап 6. Самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала на задачах разного уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Перед вами рабочие листы. Задание 1 — базовое (найти площадь по радиусу), Задание 2 — обратное (найти радиус по площади), Задание 3 — повышенное (сфера вписана в куб). Выберите свой уровень и приступайте. Время пошло." | Выполняют самостоятельную работу. Кто-то решает все три задачи, кто-то фокусируется на первых двух. |
2 мин | "Поменяйтесь тетрадями с соседом. На экране — ответы и критерии. Оцените работу товарища приёмом 'Две звезды и пожелание'." | Проводят взаимопроверку, пишут краткие отзывы на полях тетрадей соседа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что большинство из вас уверенно владеет формулой. Те, у кого возникли вопросы по вписанным телам, не волнуйтесь — это тема следующего урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результаты урока и получить инструкции по дальнейшей работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Подведём итоги. Поднимите зелёную карточку те, кто сегодня чувствует себя 'королём сферы'. Жёлтую — если остались сомнения в задачах с касанием. Красную — если тема пока кажется 'тёмным лесом'." | Оценивают свои успехи с помощью карточек. |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно дифференцировано. Обратите внимание на задачу про площадь поверхности Луны — это для тех, кто любит астрономию." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — безошибочно выполнены все 3 задачи самостоятельной работы, приведён аккуратный чертёж и логически обоснован ответ.
- "4" — верно решены 2 задачи, в третьей допущена вычислительная ошибка или неточность в обосновании касания.
- "3" — решена только 1 базовая задача на прямое применение формулы площади сферы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Во сколько раз увеличится площадь сферы, если её радиус удвоится? | Проверка понимания квадратичной зависимости. |
Что общего у касательной к окружности и касательной плоскости к сфере? | Выявление навыка проведения аналогий между 2D и 3D. |
Какое задание сегодня вызвало наибольшее затруднение? | Диагностика проблемных зон для планирования следующего урока. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы покорили ещё одну вершину стереометрии. Сфера — это идеальная форма, и знание её законов поможет вам не только на экзамене, но и в понимании того, как устроен наш мир. Помните, что в задачах ЕГЭ площадь сферы часто встречается в связке с многогранниками, поэтому дома уделите особое внимание чертежам. Спасибо за работу, до встречи на следующем уроке!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи: 1) Найти S сферы, если R=7см. 2) Найти R, если S=144π. 3) Найти S, если длина большой окружности равна 10π. | Закрепление основного алгоритма вычислений и связи параметров сферы. |
Средний (повышающий) | Задача на комбинацию: Сфера вписана в цилиндр. Найти отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра. | Развитие навыка работы с комбинациями тел вращения (частый сюжет ЕГЭ). |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательская задача: Рассчитать площадь поверхности Земли (приняв за сферу с R=6400км) и сравнить её с площадью России. Сделать вывод о доле территории. | Формирование функциональной грамотности и межпредметных связей с географией. |
