Сфера и шар. Площадь поверхности и объем. Решение задач
Цели и задачи
- Цель: обобщить и систематизировать знания о сфере и шаре, закрепить навыки вычисления площади поверхности и объема при решении практико-ориентированных задач и заданий формата ЕГЭ (базовый уровень).
- Образовательные: отработать применение формул площади сферы и объема шара, научиться решать задачи на комбинации тел и изменение параметров (радиуса, диаметра).
- Развивающие: развивать пространственное мышление, навыки самоконтроля и умение анализировать условие задачи для выбора оптимального алгоритма решения.
- Воспитательные: формировать уверенность в своих силах при подготовке к государственной итоговой аттестации, воспитывать культуру математической речи.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории.
- Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
- Умение управлять своим вниманием и эмоциональным состоянием в условиях подготовки к экзаменам.
Метапредметные
- Познавательные: умение структурировать знания, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции своих действий в соответствии с эталоном.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, работать в паре и представлять результат своей деятельности.
Предметные
- Знать определения сферы, шара, их элементов (радиус, диаметр, сечение).
- Свободно оперировать формулами площади поверхности сферы S = 4πR² и объема шара V = 4/3πR³.
- Уметь решать задачи из открытого банка ФИПИ (ЕГЭ База) на нахождение объемов и площадей, в том числе при изменении линейных размеров в n раз.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к обучению, волевая саморегуляция при выполнении сложных заданий.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков, синтез как составление целого из частей.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации, умение слушать и слышать собеседника.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах (кейсы на основе заданий ФИПИ) — 15 штук.
- Подготовить раздаточный материал «Лист самооценки ЕГЭ» для каждого ученика.
- Вывести на экран слайд с ключевыми формулами, чертежами сферы и шара.
- Подготовить модель шара и куба для демонстрации взаимного расположения тел.
- Проверить работу таймера для этапа самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, актуализировать значимость темы для успешной сдачи ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Приветствует класс, проверяет готовность к уроку, кратко обозначает тему и практическую значимость: «Здравствуйте! Сегодня обобщаем тему “Сфера и шар” и закрепляем вычисление площади поверхности и объёма. Эти задачи часто решаются в одно-два действия, если внимательно определить, что именно требуется найти». Просит открыть тетради и листы самооценки. Инструктирует: «В начале урока оцените свою уверенность по шкале от 1 до 10 и запишите число». При необходимости напоминает критерий: 1 — тема почти не знакома, 10 — могу уверенно решать типовые задачи самостоятельно. | Приветствуют учителя, проверяют наличие тетради, ручки, линейки и листа самооценки. Записывают тему урока. Отмечают исходный уровень уверенности, например: «6 из 10». По просьбе учителя формулируют ожидание: «Хочу научиться не путать площадь и объём и быстрее выбирать формулу». Учитель принимает 2–3 ответа и кратко фиксирует общие затруднения. |
2 мин | Показывает изображения Земного шара и футбольного мяча. Задаёт вопросы: «Почему такие разные предметы можно описывать одной геометрической моделью? Что в реальном объекте мы упрощаем? Какой общий признак позволяет использовать модель шара?» После ответов обобщает: «В математической модели нас интересует форма, а не материал и назначение предмета. Сегодня будем использовать эту модель для вычислений и анализа зависимостей». Формулирует цель: «К концу урока вы должны уметь находить площадь и объём шара, определять изменение величин при изменении радиуса и решать задачи на шар, вписанный в другое тело». | Рассматривают изображения и отвечают: «Оба предмета близки к круглой форме во всех направлениях», «Мы не учитываем швы мяча, рельеф Земли и неровности поверхности», «У объектов можно выделить центр и радиус». На вопрос о цели формулируют ожидаемый результат: «Решить несколько типовых задач и научиться быстро определять, какую формулу применять». Записывают цель или ключевые действия в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, настрой есть. Начнем с быстрой ревизии нашего инструментария — формул."
Этап 2. Актуализация знаний. Прием «Математический диктант-наоборот» (5 мин)
Цель этапа: проверить знание формул и основных понятий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Объясняет порядок диктанта: «Я называю величину или описываю ситуацию, а вы записываете формулу или связь без подробного решения». По очереди задаёт четыре вопроса и выдерживает паузу для записи: «1. Чему равна площадь поверхности сферы радиуса R? 2. Как найти объём шара радиуса R? 3. Во сколько раз изменится площадь, если радиус увеличить в 2 раза? 4. Как связаны радиус и диаметр?» После каждого пункта просит одного ученика объяснить ответ и уточняет, какую величину изменяют и какая степень коэффициента используется. Подводит итог: «Для площади действует квадрат коэффициента, для объёма — куб коэффициента». | Записывают ответы: «1) S = 4πR². 2) V = 4/3πR³. 3) Площадь увеличится в 4 раза, потому что 2² = 4. 4) D = 2R, следовательно, R = D/2». При устном объяснении добавляют: «Площадь зависит от квадрата радиуса, а объём — от куба радиуса». Если допущена ошибка, исправляют её и кратко записывают правило. |
2 мин | Организует взаимопроверку: «Обменяйтесь тетрадями с соседом, сверяйте каждый пункт с эталоном на экране, за верный ответ поставьте плюс, за неверный — точку и подпишите исправление». Напоминает критерий: «Четыре плюса — формулы воспроизведены уверенно; два–три — нужно внимательно повторить зависимость от радиуса; один или ноль — после урока разберите формулы по образцу». Просит поднять руку тем, у кого есть ошибка, и уточняет типичные причины. | Проверяют четыре пункта по эталону, ставят отметки и возвращают тетради. Исправляют записи: в формуле объёма добавляют множитель 1/3, в формуле площади — квадрат радиуса, в зависимости площади — коэффициент 2². Сообщают результат взаимопроверки и называют затруднение, например: «Я перепутал площадь и объём» или «Забыл возвести коэффициент в квадрат». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы в руках. Теперь переходим к практике. Помните: в ЕГЭ База важно не только решить, но и правильно прочитать вопрос."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Решение типовых задач ЕГЭ. Прием «Кластер затруднений» (12 мин)
Цель этапа: разобрать ключевые типы задач ЕГЭ на доске.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Записывает условие задачи №1: «Даны два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз объём первого шара больше объёма второго?» Просит сначала назвать величины и не подставлять произвольное число: «Что сравнивается? Какая степень коэффициента нужна?» Подводит к решению через подобие, затем просит ученика проговорить каждый шаг и проверяет смысл ответа. | Определяют: сравниваются объёмы, коэффициент изменения радиуса равен 2, поэтому используется третья степень. Записывают: «R₁ = 2R₂; V₁/V₂ = (R₁/R₂)³ = 2³ = 8». Формулируют полный ответ: «Объём первого шара в 8 раз больше объёма второго». Объясняют, что длинная подстановка в формулу не нужна, поскольку множители 4/3 и π сокращаются. |
6 мин | Записывает условие задачи №2: «Площадь поверхности шара равна 36. Найдите площадь поверхности другого шара, радиус которого в 3 раза меньше радиуса данного». Отдельно подчёркивает слова «площадь» и «в 3 раза меньше». Спрашивает: «Какой коэффициент сравнения радиусов? Какая степень используется для площади? Нужно ли делить на 3 или на 9?» После ответов просит оформить решение и проверяет единицы и направление изменения. | Определяют: радиус второго шара равен R/3, коэффициент равен 1/3; площадь зависит от квадрата радиуса. Записывают: «S₂/S₁ = (1/3)² = 1/9; S₂ = 36 · 1/9 = 4». Отвечают: «Делим на 9, потому что радиус уменьшился в 3 раза, а площадь — квадратичная величина». Формулируют: «Площадь поверхности второго шара равна 4 квадратным единицам». Проверяют, что результат меньше 36, поскольку радиус уменьшился. |
Эталон решения (Задача №1)
1. $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$, $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$.
2. По условию $R_1 = 2R_2$.
3. $V_1 = \frac{4}{3}\pi (2R_2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8R_2^3 = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R_2^3) = 8V_2$.
Ответ: 8.
2. По условию $R_1 = 2R_2$.
3. $V_1 = \frac{4}{3}\pi (2R_2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8R_2^3 = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R_2^3) = 8V_2$.
Ответ: 8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили свойства подобия. Это экономит время. Теперь — задача на комбинацию тел, которая часто пугает на экзамене."
Этап 4. Практикум в парах. Прием «Think-Pair-Share» (10 мин)
Цель этапа: отработать более сложные задачи на шар, вписанный в куб, и на изменение параметров шара в сотрудничестве.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Раздаёт карточки и показывает схематичный чертёж куба с вписанным шаром. Читает условие: «Шар вписан в куб с ребром 6. Найдите объём шара». Просит каждого сначала самостоятельно определить: «Чему равен диаметр шара? Как найти радиус? Какая формула понадобится?» Напоминает: при вписывании шара в куб его диаметр равен ребру куба. | Рассматривают чертёж и записывают обозначения: ребро куба a = 6, диаметр шара D. Делают вывод: D = a = 6, поэтому радиус шара R = D/2 = 3. Записывают формулу объёма шара V = 4/3πR³ и план решения. |
5 мин | Организует работу в парах: один ученик выполняет вычисления, второй проверяет обозначения, радиус и степень, затем роли меняются. Задаёт вопросы: «Почему диаметр шара равен ребру куба? Почему радиус равен половине ребра? Какую степень радиуса использует объём?» При необходимости обращает внимание на единицы измерения. | Совместно записывают: «D = 6, R = 3; V = 4/3π · 3³ = 4/3π · 27 = 36π». Объясняют партнёру, что шар касается граней куба, а расстояние между противоположными гранями равно диаметру шара. Проверяют вычисления и единицы объёма. |
3 мин | Просит 2–3 пары представить решение у доски. По итогам фиксирует эталон: «Если шар вписан в куб, диаметр шара равен ребру куба, поэтому радиус равен половине ребра». Просит назвать типичные ошибки: взять за радиус всё ребро, использовать формулу площади вместо формулы объёма или забыть множитель 1/3. Уточняет направление проверки: «Полученный объём должен быть положительным и иметь кубические единицы». | Представляют решение: «Ребро куба равно диаметру шара: D = 6. Тогда R = 3. Объём шара V = 4/3π · 3³ = 36π». Называют ошибки и способы их избежать: «Нужно отличать диаметр от радиуса, выбирать формулу по вопросу и проверять степень радиуса». Формулируют полный ответ: «Объём шара равен 36π кубических единиц». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились использовать связь между шаром и кубом. Последний рывок — индивидуальная проверка сил».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Раздаёт или показывает «Билет на выход», напоминает: «Работаем индивидуально, без подсказок. В каждой задаче сначала выпишите известные данные и формулу, затем выполните вычисления». Зачитывает задания: «1) Найдите объём шара радиуса 3; ответ оставьте с π. 2) Как изменится площадь поверхности, если радиус уменьшить в 4 раза? 3) Шар вписан в куб с ребром 6. Найдите объём шара». Во время работы не сообщает ответы, но следит за временем и напоминает проверить степень радиуса. | Решают самостоятельно. В задаче 1 записывают: «V = 4/3πR³ = 4/3π · 3³ = 4/3π · 27 = 36π». В задаче 2 рассуждают: «Площадь зависит от квадрата радиуса; при уменьшении радиуса в 4 раза площадь уменьшится в 4² = 16 раз». В задаче 3 определяют диаметр шара равным ребру куба: «D = 6, R = 3; V = 4/3π · 3³ = 36π». |
2 мин | Останавливает работу словами: «Отложите ручки и проверьте решения по эталону на экране». Показывает ответы и проговаривает критерии проверки: «В первой и третьей задачах важны радиус и степень 3; во второй — квадрат коэффициента». Просит отметить количество верных ответов и записать одну исправленную ошибку, если она была. | Сверяют решения: «1) 36π; 2) площадь уменьшится в 16 раз; 3) 36π». Отмечают количество правильных ответов: 3, 2, 1 или 0. Если есть ошибка, указывают причину: «В задаче 3 я взял радиус 6 вместо 3» или «Во второй задаче разделил площадь на 4, а нужно на 16». Вносят результат в лист самооценки и формулируют, что нужно повторить. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания математического диктанта, активно работал в паре, в самостоятельной работе решены все 3 задачи без ошибок.
- "4" — допущены незначительные ошибки в вычислениях, в самостоятельной работе верно решены 2 задачи, понимает алгоритм решения задач на подобие.
- "3" — знает основные формулы, но затрудняется в их применении к комбинациям тел, в самостоятельной работе верно решена 1 задача.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой способ на экзамене кажется вам надёжнее: использовать коэффициент подобия или прямо подставлять данные в формулу? Объясните почему. | Ожидаемые ответы: «Коэффициент подобия быстрее, когда сравниваются два тела и известен масштаб изменения», «Прямая подстановка надёжнее, если дан конкретный радиус или диаметр», «Нужно сначала понять, что именно спрашивается: площадь или объём». Учитель принимает разные обоснованные ответы и уточняет, что выбор способа зависит от условия. |
В какой задаче возникло наибольшее затруднение? Что именно было сложным: представить взаимное расположение тел, выбрать формулу, определить радиус по диаметру или выполнить вычисления? Как можно исправить эту ошибку? | Ожидаемые ответы: «Сложно было понять, что высота цилиндра равна диаметру шара», «Я перепутал площадь и объём», «Нужно внимательнее читать условие и выписывать данные». Учитель просит назвать конкретное действие для коррекции: повторить формулы, сделать чертёж, решить аналогичную задачу или проверить степень коэффициента. |
Насколько изменилась ваша уверенность в теме “Сфера и шар” по шкале от 1 до 10? Что стало понятнее после урока? | Ученики называют итоговую оценку и сравнивают её со стартовой: «Было 5, стало 8». Формулируют результат: «Теперь понимаю, почему объём изменяется в куб раз», «Научился находить радиус шара, вписанного в куб», «Пока не уверен в задачах на цилиндр». Учитель предлагает каждому записать один следующий шаг для повторения и благодарит за честную самооценку. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы проделали большую работу. Мы увидели, что задачи на сферу и шар в ЕГЭ — это не только сухие цифры, но и красивые логические связи. Если вы запомнили, как меняется объём при изменении радиуса и как шар соотносится с кубом, вы уже на шаг впереди многих выпускников. На следующем уроке мы продолжим работу с задачами на объёмы и площади многогранников и тел вращения. Спасибо за работу, листы самооценки сдайте на край стола».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 задач из открытого банка ФИПИ на нахождение объема шара и площади сферы по заданному радиусу/диаметру. | Закрепление базового навыка подстановки в формулу и счета. |
Средний (повышающий) | 3 задачи на изменение параметров: найти, как изменится объем шара, если площадь его поверхности увеличилась в 9 раз. | Отработка понимания взаимосвязи линейных, квадратичных и кубических величин. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача: Шар вписан в правильную треугольную призму. Найти отношение объема шара к объему призмы. | Развитие навыков работы со сложными комбинациями тел для тех, кто планирует сдавать профиль или хочет знать больше. |
