Призма. Свойства призмы. Площадь боковой и полной поверхности
Цели и задачи
- Цель: Систематизировать знания о свойствах призмы и отработать навыки вычисления площадей её поверхностей при решении задач различного уровня сложности.
- Образовательная задача: Закрепить понятия прямой, наклонной и правильной призмы, вывести и применить формулы площадей боковой и полной поверхности.
- Развивающая задача: Развивать пространственное воображение и логическое мышление через анализ готовых чертежей и построение сечений.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и навыки конструктивного сотрудничества в парах.
- Межпредметная задача: Продемонстрировать применение геометрии многогранников в архитектуре и промышленном дизайне.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории с учетом подготовки к ЦТ/ЕГЭ.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием при решении сложных геометрических задач.
- Критичность мышления при анализе полученных результатов вычислений.
Метапредметные
- Познавательные: умение переводить визуальную информацию чертежа в аналитическую модель решения.
- Регулятивные: способность планировать шаги решения задачи и корректировать их в случае несовпадения с эталоном.
- Коммуникативные: умение аргументированно объяснять выбор формулы напарнику.
Предметные
- Знать определения и свойства наклонной, прямой и правильной призмы.
- Владеть формулами площади боковой поверхности для прямой призмы через периметр основания и для наклонной через периметр перпендикулярного сечения.
- Уметь вычислять площадь полной поверхности призмы, комбинируя планиметрические формулы площадей фигур в основании и стереометрические формулы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование навыка самоконтроля и самооценки на основе критериев успешности учебной деятельности.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще предстоит закрепить.
Познавательные УУД
- Синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание чертежа с восполнением недостающих компонентов.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации для решения проблемной задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки с готовыми чертежами из пособия «Наглядная геометрия» В.В. Казакова (тема «Призма») — 15 экземпляров для работы в парах.
- Подготовить презентацию с изображениями современных зданий-призм (например, башня «Эволюция» или небоскребы в форме шестиугольных призм) для этапа мотивации.
- Выписать на доску ключевые формулы: Sбок = Pосн * h (для прямой) и Sбок = Pперп.сеч * l (для наклонной).
- Подготовить модели многогранников: наклонная треугольная призма, прямая четырехугольная призма.
- Настроить проектор для демонстрации эталонов решения задач начального и повышенного уровней.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, актуализировать значимость темы через визуальные образы архитектуры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Мы продолжаем наше погружение в мир многогранников. Сегодня мы закрепляем знания о призме — фигуре, которая окружает нас повсюду. Посмотрите на экран." | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников Латотина и пособий Казакова на столах. |
2 мин | Учитель демонстрирует слайды с архитектурными объектами: "Перед вами современные небоскребы. В основе многих из них лежат призмы: прямые, правильные и даже наклонные. Чтобы спроектировать такое здание, инженеру нужно точно рассчитать площадь остекления — то есть площадь боковой поверхности. Сегодня мы отточим это умение, чтобы ваши расчеты всегда были точными." | Рассматривают изображения, соотносят архитектурные формы с геометрическими телами (треугольная призма, параллелепипед). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что геометрия — это не только формулы в тетради, но и реальные конструкции. Перейдем к проверке нашего теоретического фундамента."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти ключевые определения и формулы, используя материалы пособия Казакова.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит блиц-опрос по приему «Верно-Неверно»: "1. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основаниям? 2. Боковые грани любой призмы — прямоугольники? 3. Высота наклонной призмы всегда равна её боковому ребру? 4. Площадь полной поверхности — это сумма боковой поверхности и площади одного основания?" | Отвечают: "1. Да. 2. Нет (у наклонной — параллелограммы). 3. Нет (высота меньше ребра). 4. Нет (двух оснований)". |
2 мин | "Откройте пособие Казакова на странице 12. Обратите внимание на блок 'Запомните!'. Давайте хором проговорим формулу площади боковой поверхности прямой призмы. А теперь посмотрите на формулу для наклонной призмы на странице 19. В чем принципиальная разница?" | Проговаривают формулу. Отвечают: "Для прямой призмы берем периметр основания, а для наклонной — периметр перпендикулярного сечения и длину ребра". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теорию вспомнили. Теперь проверим, как вы умеете видеть эти формулы в конкретных задачах."
Этап 3. Решение ключевых задач (10 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма решения задач начального и среднего уровня сложности на основе готовых чертежей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель разбирает задачу №1 со страницы 18 пособия Казакова: "В основании прямой четырехугольной призмы лежит четырехугольник со сторонами 3 см, 6 см, 2 см и 4 см. Высота призмы 10 см. Найдите площадь боковой поверхности. Как мы поступим?" | Один ученик у доски: "Сначала найдем периметр основания: P = 3+6+2+4 = 15 см. Затем умножим на высоту: Sбок = 15 * 10 = 150 кв.см". |
5 мин | Учитель усложняет задачу (№2, стр. 18): "Теперь найдем полную поверхность прямого параллелепипеда, если в основании параллелограмм со сторонами 4 и 6 см и углом 30 градусов, а боковое ребро равно 5 см. Что добавится к нашему расчету?" | Ученики комментируют: "Нужно найти площадь двух оснований. Sосн = a * b * sin(alpha) = 4 * 6 * 0.5 = 12. Sполн = Sбок + 2 * Sосн = (4+6)*2 * 5 + 2 * 12 = 100 + 24 = 124". |
Эталон решения (задача №2)
1) $P_{осн} = 2 × (4 + 6) = 20$ (см);
2) $S_{бок} = P_{осн} × h = 20 × 5 = 100$ (см$^2$);
3) $S_{осн} = 4 × 6 × &sin 30^&circ = 24 × 0,5 = 12$ (см$^2$);
4) $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 100 + 2 × 12 = 124$ (см$^2$).
2) $S_{бок} = P_{осн} × h = 20 × 5 = 100$ (см$^2$);
3) $S_{осн} = 4 × 6 × &sin 30^&circ = 24 × 0,5 = 12$ (см$^2$);
4) $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 100 + 2 × 12 = 124$ (см$^2$).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы успешно справились с базовыми задачами. Настало время поработать в командах над более сложными конструкциями."
Этап 4. Парная работа с дифференциацией (12 мин)
Цель этапа: развить навыки совместной деятельности и применить знания в условиях выбора уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздает карточки с чертежами из Казакова (задачи на готовых чертежах): "Ребята, у вас на партах задачи двух уровней. Уровень А — расчеты для прямой призмы, Уровень Б — задачи на наклонную призму и использование площади перпендикулярного сечения (задача №7, стр. 19). Выберите вариант и приступайте к обсуждению." | В парах распределяют роли («штурман» и «пилот»), выбирают уровень сложности. |
8 мин | Учитель курсирует по классу, оказывая адресную помощь: "Обратите внимание на задачу с наклонной призмой. Помните, что ребро $l$ в формуле — это гипотенуза в треугольнике, где катет — высота $h$. Используйте теорему Пифагора." | Решают задачи, ведут записи в тетрадях, спорят, сверяют промежуточные результаты. |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран: "Сверьтесь с эталоном. Если у вас возникло расхождение, найдите ошибку вместе с напарником." | Проводят самопроверку, исправляют ошибки, ставят знак '+' при верном решении. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Работа в парах показала, что вы умеете слышать друг друга. Теперь — задача из реальной жизни."
Этап 5. Межпредметные связи: задача «Дизайнер упаковки» (7 мин)
Цель этапа: показать практическое применение темы в экономике и производстве (расчет расхода материала).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: "Представьте, что вы работаете в отделе дизайна кондитерской фабрики. Вам нужно заказать картон для коробки конфет в форме правильной шестиугольной призмы. Сторона основания 10 см, высота 5 см. На швы и склейку уходит 10% от общей площади поверхности. Сколько картона потребуется на одну коробку?" | Записывают условие задачи как практического кейса. Определяют, что нужно искать полную поверхность. |
5 мин | Учитель: "Вспомните формулу площади правильного шестиугольника из курса 9 класса. Она есть в экспресс-повторении Казакова на стр. 10. Работаем!" | Рассчитывают: $S_{осн} = &frac{3&sqrt{3}}{2} a^2$. Вычисляют $S_{полн}$, прибавляют 10% к результату. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Как видите, без знания геометрии производство может понести убытки из-за неверного расчета материалов."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень усвоения материала и дать инструкции к самостоятельной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздает «Билеты на выход»: "Напишите один вопрос по теме, который остался для вас неясным, и одну формулу, которую вы сегодня запомнили лучше всего." | Заполняют карточки рефлексии, сдают их учителю. |
4 мин | Учитель объясняет домашнее задание, указывая на уровни сложности: "Базовый уровень — задачи на прямую призму, Повышенный — на наклонную и комбинации фигур." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания (включая уровень Б в парной работе), решение логично, расчеты точны, чертежи аккуратны.
- «4» — верно выполнены задания уровня А и начаты задания уровня Б, допущены незначительные вычислительные ошибки при верном ходе решения.
- «3» — верно выполнены только базовые задания уровня А, есть ошибки в применении планиметрических формул (площадь основания).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая формула сегодня 'сопротивлялась' больше всего? | Выявление зон затруднения в стереометрических вычислениях. |
В чем преимущество использования готовых чертежей Казакова? | Оценка эффективности наглядных пособий для экономии времени. |
Где в вашей будущей профессии может пригодиться расчет поверхности тел? | Смыслообразование и профессиональная ориентация. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что призма — это не просто абстрактный объект из учебника Латотина, а основа архитектурных шедевров и промышленных изделий. Мы научились 'видеть' структуру поверхности и наклонных, и прямых тел. Помните: любая сложная задача — это всего лишь набор простых шагов. На следующем уроке мы перейдем к изучению пирамид, где нам очень пригодятся ваши сегодняшние навыки расчета площадей. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Решить 3 задачи на нахождение Sбок и Sполн правильной треугольной и четырехугольной призмы по заданным сторонам основания и высоте. | Закрепление основных формул и навыка работы с правильными многоугольниками в основании. |
Средний | Задача на прямую призму, в основании которой лежит ромб или трапеция. Найти Sполн, если известны диагонали основания и высота. | Интеграция знаний по планиметрии (площади четырехугольников) в стереометрию. |
Продвинутый | Задача на наклонную призму: найти Sбок, если даны боковое ребро и параметры перпендикулярного сечения (как в задаче №7 Казакова). | Подготовка к сложным задачам ЦТ/ЕГЭ, требующим понимания структуры наклонных тел. |
Контрольный вопрос: Как изменится площадь боковой поверхности прямой призмы, если её высоту увеличить в 2 раза, а периметр основания уменьшить в 2 раза?
