Повторение: площади многоугольников, формулы для площадей и соображения подобия
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся систематизируют формулы площадей треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба, трапеции и правильного многоугольника, а также применят признаки подобия для решения не менее трёх практических задач с обоснованием выбранного способа.
- Образовательная задача: восстановить и связать между собой формулы площадей основных многоугольников, объяснить роль основания, высоты, диагоналей и средней линии.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, выбирать рациональный способ решения, строить вспомогательные линии и проверять результат другим способом.
- Метапредметная задача: совершенствовать навыки планирования решения, работы в паре, аргументации и самопроверки по критериям.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений, уважение к математической аргументации и готовность самостоятельно принимать решение о способе решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся осознают практическую ценность геометрических методов для проектирования, измерений и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и принимать ответственность за его обоснование.
- Понимают значение точности чертежа, записи формул и проверки полученного результата.
- Осознают, что ошибку в решении можно обнаружить и исправить через анализ условий и выполнение обратной проверки.
Метапредметные
- Умеют выделять известные и неизвестные величины в условии, преобразовывать текстовую информацию в чертёж и математическую модель.
- Планируют последовательность решения, выбирают формулу или комбинацию формул и оценивают разумность ответа.
- Аргументированно объясняют решение партнёру, задают уточняющие вопросы и сравнивают разные способы.
- Используют таблицу формул и критерии оценивания как средства самоконтроля.
Предметные
- Знать формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба и правильного многоугольника.
- Уметь находить площадь многоугольника через разбиение на треугольники и другие известные фигуры.
- Уметь применять свойства подобных фигур: равенство соответствующих углов, пропорциональность соответствующих сторон и отношение площадей, равное квадрату коэффициента подобия.
- Уметь находить неизвестные элементы и площадь фигуры по данным чертежа, сопровождая решение кратким обоснованием.
- Владеть приёмами проверки ответа через размерность, оценку величины и альтернативное решение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель повторения перед выполнением практической работы.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания и способа решения.
- Осознают связь точного геометрического рассуждения с качеством будущей учебной и профессиональной деятельности.
- Оценивают собственную готовность применять формулы без механического подстановочного решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют план решения практической задачи.
- Распределяют время между этапами и контролируют полноту записи решения.
- Сверяют результат с эталоном, находят причину ошибки и вносят коррекцию.
- Оценивают собственную работу по заданным критериям и формулируют следующий шаг для повторения.
Познавательные УУД
- Восстанавливают формулы по смыслу геометрических построений, а не только по памяти.
- Сравнивают способы вычисления площади одной фигуры и выбирают наиболее рациональный.
- Строят вспомогательные линии, выделяют подобные треугольники и устанавливают пропорции.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью чертежа, формулы и системы зависимостей.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий, проверяющий и докладчик.
- Формулируют объяснение с использованием математических терминов и полного обоснования.
- Задают партнёру вопросы о выборе формулы и проверяют логичность рассуждения.
- Корректно сравнивают решения, принимают аргументированную критику и уточняют спорные шаги.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или материалы для доски с проблемной задачей, таблицей формул без подписей и тремя чертежами многоугольников.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки для парной работы с двумя задачами на разбиение многоугольника и подобие — по одной на пару.
- Подготовить лист самооценки с критериями: выбор формулы, построение, вычисления, обоснование и проверка.
- Подготовить эталоны решений для показа после самостоятельной работы.
- Раздать каждой паре линейку, карандаш и лист в клетку; обеспечить наличие калькуляторов только при необходимости проверки вычислений.
- Вывести на доску памятку: «Площадь — квадратная величина», «Проверь соответствие высоты основанию», «При подобии площади относятся как квадраты коэффициента».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёный — уверен, жёлтый — нужна проверка, красный — требуется помощь.
- Оборудование: проектор или интерактивная доска, маркеры, таймер, магнитные карточки с формулами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и показать необходимость осмысленного выбора формулы площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается к учащимся: "Сегодня мы не будем последовательно перечислять формулы. Представьте, что вам нужно быстро оценить площадь участка сложной формы, а часть размеров неизвестна. В такой ситуации ценится не память сама по себе, а умение увидеть структуру фигуры и выбрать путь решения. Подготовьте тетради, линейки и ручки; работать будем индивидуально и в парах." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему, подготавливают линейку и тетрадь. |
2 мин | Учитель показывает на экране сложный многоугольник, разбитый на прямоугольник и два треугольника: "Посмотрите на чертёж. Можно ли найти площадь всей фигуры одной формулой? Какие известные фигуры вы видите? Почему разбиение может быть удобнее, чем поиск специальной формулы?" Учитель фиксирует ответы и формулирует проблемный вопрос: "Как выбрать самый короткий и надёжный путь к площади?" | Рассматривают чертёж, называют прямоугольник и треугольники, предполагают: "Фигуру можно разбить на части и сложить их площади"; формулируют проблему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что площадь сложной фигуры часто находится через уже известные фигуры. Теперь восстановим опорные формулы и проверим, какие из них действительно понимаем, а какие пока вспоминаем механически."
Этап 2. Актуализация знаний. Таблица формул (6 мин)
Цель этапа: актуализировать формулы площадей и условия их применимости через взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам набор карточек с названиями фигур, чертежами и формулами, перемешанными между собой: "Соберите пары и тройки: название фигуры, её чертёж и формула. Не просто соединяйте карточки, а проговаривайте, что означает каждая буква и какая высота должна быть проведена." | В парах соединяют карточки, проговаривают формулы: $S=ab$, $S=ah$, $S=\frac{1}{2}ah$, $S=\frac{(a+b)h}{2}$, $S=\frac{d_1d_2}{2}$. |
2 мин | Учитель просит две пары представить разные карточки: "Объясните, почему в формуле площади параллелограмма берётся именно высота, перпендикулярная выбранному основанию. Какая ошибка возникнет, если взять боковую сторону вместо высоты?" | Представляют формулы и отвечают: "Высота должна быть перпендикулярна основанию; боковая сторона может быть наклонной и не является высотой". |
2 мин | Учитель показывает правильную таблицу и задаёт вопросы: "Как выразить площадь правильного многоугольника через периметр и апофему? Что произойдёт с площадью подобных фигур, если коэффициент подобия равен $k$?" | Заполняют пропуски в тетради, отвечают: $S=\frac{1}{2}Pr$; площади подобных фигур относятся как $k^2$. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают краткую таблицу: прямоугольник $S=ab$; параллелограмм $S=ah$; треугольник $S=\frac{1}{2}ah$; трапеция $S=\frac{(a+b)h}{2}$; ромб $S=\frac{d_1d_2}{2}$; правильный многоугольник $S=\frac{1}{2}Pr$; для подобных фигур $\frac{S_1}{S_2}=k^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула становится рабочим инструментом только тогда, когда мы понимаем, какие элементы в ней участвуют. Перейдём к задаче, в которой сначала нужно не считать, а увидеть способ построения решения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить затруднение в выборе способа решения и совместно сформулировать план практической работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске задачу: "В трапеции основания равны 10 см и 18 см, высота равна 6 см. Внутри неё проведён отрезок, параллельный основаниям, который делит трапецию на две подобные трапеции. Как определить площадь меньшей части, если её линейные размеры в 2 раза меньше соответствующих размеров исходной трапеции?" Учитель спрашивает: "Какие данные здесь относятся к площади, а какие — к подобию?" | Выделяют основания и высоту как данные для площади, коэффициент $k=\frac{1}{2}$ как данные подобия, формулируют: "Сначала находим площадь исходной трапеции, затем применяем отношение площадей подобных фигур". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд составьте личный план, затем минуту обсудите его с соседом. В конце назовите один общий план действий." | Индивидуально записывают шаги, обсуждают в парах, формулируют план: найти площадь исходной трапеции, определить коэффициент подобия, умножить площадь на $k^2$, проверить смысл ответа. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске цель: "Сегодня мы научимся выбирать формулу площади, разбирать сложную фигуру на части и применять подобие для перехода от линейных размеров к площадям. На каждом решении обязательно будет чертёж и обоснование." | Записывают цель урока, задают уточняющие вопросы, выбирают личный критерий успеха: формула, чертёж, вычисления или аргументация. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План решения у нас есть: увидеть фигуру, выбрать формулу, применить связь подобия и проверить результат. Теперь реализуем этот план на конкретных чертежах."
Этап 4. Открытие способа решения через практику (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести алгоритм нахождения площади сложного многоугольника и применения отношения площадей подобных фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "На рисунке дан пятиугольник, который можно разделить диагональю на прямоугольник со сторонами 8 см и 5 см и прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 3 см. Найдите площадь пятиугольника. Сначала нанесите разбиение, затем запишите формулы частей и общий результат. Обсудите, можно ли получить ответ другим разбиением." | Проводят диагональ, записывают $S_1=8\cdot5=40$ см², $S_2=\frac{1}{2}\cdot8\cdot3=12$ см², получают $S=52$ см²; предлагают альтернативное разбиение или объясняют, почему оно эквивалентно. |
3 мин | Учитель предлагает задачу на подобие: "Треугольники подобны, коэффициент подобия от меньшего к большему равен $3$. Площадь меньшего треугольника равна 14 см². Найдите площадь большего и объясните, почему нельзя умножить площадь на 3." Учитель просит одну пару защитить решение. | Записывают $\frac{S_б}{S_м}=3^2$, получают $S_б=126$ см², объясняют: "Площадь зависит от двух измерений, поэтому изменяется в квадрате коэффициента". |
3 мин | Учитель организует краткий Сократовский диалог: "Если все линейные размеры увеличить в $k$ раз, как изменится основание? Как изменится высота? Что произойдёт с произведением основания и высоты? Какой общий вывод можно сделать для площадей подобных фигур?" Учитель формулирует общий алгоритм на доске. | Отвечают: "И основание, и высота увеличатся в $k$ раз; произведение увеличится в $k^2$ раз"; записывают алгоритм: определить $k$, найти или использовать исходную площадь, применить $S_2=k^2S_1$. |
Эталон решения
Для пятиугольника: $S=S_{прям}+S_{тр}=8\cdot5+\frac{1}{2}\cdot8\cdot3=40+12=52$ см². Для подобных треугольников: $k=3$, поэтому $S_б=k^2S_м=9\cdot14=126$ см². Нельзя умножать площадь на $3$, потому что при подобии изменяются два независимых линейных измерения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два универсальных приёма: разбиение сложной фигуры на простые и переход от коэффициента подобия к отношению площадей через квадрат. Теперь закрепим их на задачах, где способ нужно выбрать самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить выбор формулы, построение вспомогательных линий и объяснение решения партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам задачу: "Площадь параллелограмма равна 96 см², его основание — 12 см. Найдите высоту. Затем объясните, изменится ли площадь, если основание уменьшить в 2 раза, а высоту увеличить в 2 раза." Учитель напоминает: "Запишите формулу сначала в общем виде и только затем подставляйте числа." | Находят $h=\frac{S}{a}=\frac{96}{12}=8$ см; делают вывод: произведение основания и высоты не изменится, поэтому площадь останется 96 см². |
4 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "В трапеции основания равны 7 см и 13 см, высота равна 5 см. Трапеция подобна другой с коэффициентом подобия $\frac{2}{3}$ от данной к новой. Найдите площадь новой трапеции." Учитель просит проверяющего в каждой паре отметить формулу, коэффициент и единицу площади. | Вычисляют $S=\frac{(7+13)\cdot5}{2}=50$ см²; применяют $S_{нов}=\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot50=\frac{200}{9}$ см²; взаимно проверяют записи и единицы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы проверили не только вычисления, но и логику выбора формулы. Сейчас каждый выполнит задание самостоятельно, чтобы увидеть собственный уровень готовности."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение формул площадей и соображений подобия в задачах разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный минимум выполняют все. Затем можно выбрать базовый или повышенный уровень в зависимости от своей цели. Оценивается не скорость, а правильный чертёж, формула, вычисления и объяснение." | Выбирают карточку или уровень, читают критерии, распределяют оставшееся время. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Минимум: "Найдите площадь ромба с диагоналями 10 см и 16 см. Найдите площадь треугольника с основанием 14 см и высотой 9 см." Базовый: "Разбейте выпуклый четырёхугольник диагональю на два треугольника с основаниями 8 см и 11 см и общей высотой 6 см; найдите его площадь." Повышенный: "Два подобных многоугольника имеют площади 45 см² и 80 см². Найдите коэффициент подобия большего к меньшему и объясните, можно ли однозначно найти периметры без дополнительных данных." | Индивидуально решают выбранные задания, строят чертежи, записывают формулы и единицы измерения; в повышенном уровне находят $k=\sqrt{\frac{80}{45}}=\frac{4}{3}$ и отвечают, что периметры однозначно относятся как $\frac{4}{3}$, но их абсолютные значения неизвестны. |
3 мин | Учитель выводит эталон и организует самопроверку: "Поставьте рядом с каждым пунктом знак плюс или вопрос: правильно ли выбран способ, есть ли формула, выполнены ли вычисления, написана ли единица площади. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните место, где возникло затруднение, и рядом запишите исправленный шаг." | Сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки, исправляют один ошибочный шаг, выставляют предварительный балл по критериям. |
Эталон решения
Минимум: для ромба $S=\frac{10\cdot16}{2}=80$ см²; для треугольника $S=\frac{14\cdot9}{2}=63$ см². Базовый уровень: $S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6+\frac{1}{2}\cdot11\cdot6=24+33=57$ см². Повышенный уровень: $k^2=\frac{80}{45}=\frac{16}{9}$, значит $k=\frac{4}{3}$; отношение периметров подобных фигур равно $k$, но сами периметры по данным не определяются.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что результат зависит не только от знания формулы, но и от точности выбора элементов фигуры. Осталось обобщить сегодняшний алгоритм и определить, что нужно повторить перед следующей работой."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные способы, выявить затруднения и определить индивидуальную траекторию дальнейшего повторения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если вы уверенно выбираете формулу площади; жёлтый — если иногда путаете элементы; красный — если требуется разобрать пример вместе. Теперь завершите фразу: ‘Сегодня я научился…’" | Показывают цвет стикера, письменно завершают фразу: "Сегодня я научился разбивать многоугольник на части" или "применять квадрат коэффициента подобия". |
2 мин | Учитель предлагает билет на выход: "Запишите один ответ на вопрос: почему при коэффициенте подобия $k$ площади относятся как $k^2$? Второй пункт — назовите одну проверку, которую вы выполните в следующей задаче." Учитель собирает билеты и сообщает домашнее задание. | Пишут объяснение через изменение двух линейных размеров и называют проверку: размерность, оценка, обратная подстановка или альтернативное разбиение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы систематизировали формулы не как список, а как набор способов решения. Вы научились видеть структуру многоугольника, выбирать опорную фигуру и использовать подобие для площадей. По вашим билетам я определю, какие способы нужно кратко повторить в начале следующего урока."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, построены необходимые чертежи, формулы записаны с правильными элементами, решение содержит обоснование применения подобия или разбиения, единицы площади указаны.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, способ решения выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий ход рассуждения.
- «3» — выполнено обязательное задание, формулы в основном выбраны верно, но есть существенная неточность в вычислениях, чертеже или объяснении отношения площадей.
- Ниже базового уровня — не сформирован устойчивый способ выбора формулы; требуется повторить элементы формул и выполнить аналогичную задачу с опорой на алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, на какие простые фигуры выгоднее разбить данный многоугольник? | Выявление понимания алгоритма анализа чертежа и выбора рационального способа. |
Почему при подобии площадей появляется квадрат коэффициента, а не сам коэффициент? | Проверка осознания связи площади с двумя линейными измерениями. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение: чертёж, выбор формулы, вычисления или проверка? | Диагностика конкретной точки затруднения для коррекции обучения. |
Какую проверку решения вы будете выполнять в следующий раз? | Формирование навыка самоконтроля и осознанного применения критериев. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы повторили формулы площадей и увидели, что сложный многоугольник не требует специальной формулы, если его можно грамотно разбить на известные фигуры. Мы также установили, что при подобии линейные размеры изменяются в $k$ раз, а площади — в $k^2$ раз. Типичная ошибка — подставить в формулу любую сторону вместо соответствующей высоты или забыть квадрат коэффициента. На следующем уроке мы применим эти приёмы к более сложным составным фигурам и задачам, где нужные элементы придётся находить через дополнительные построения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на площади треугольника, параллелограмма, трапеции и ромба; в каждой задаче записать формулу, подстановку и единицу измерения. | Закрепляет базовые формулы и правильный выбор соответствующих элементов; при проверке обратить внимание на высоту и единицы площади. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на разбиение сложного многоугольника на простые фигуры и 2 задачи на отношение площадей подобных фигур с рациональными коэффициентами. | Формирует перенос формул в новую ситуацию; при проверке смотреть на вспомогательные линии, последовательность действий и применение $k^2$. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на площадь составного многоугольника, включив подобные треугольники или трапеции, затем привести чертёж, решение и проверку вторым способом. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке оценить корректность условия, однозначность данных и совпадение двух способов решения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какую высоту можно использовать в формуле площади параллелограмма?», «Как найти площадь фигуры, разбитой на две известные части?», «Во сколько раз изменится площадь подобных фигур при коэффициенте подобия $k=2$?», «Какие две проверки результата вы можете выполнить?»
