Изображение цилиндра на плоскости. Развёртка цилиндра. Сечения цилиндра
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить схематическое изображение цилиндра и его развёртки, распознавать сечения плоскостями, параллельными и перпендикулярными оси цилиндра, и обосновывать форму полученной фигуры в не менее чем 4 из 5 учебных ситуаций.
- Сформировать представление о правилах изображения основания, образующих, оси и высоты цилиндра на плоскости.
- Научиться получать развёртку боковой поверхности цилиндра и устанавливать связь между её сторонами и радиусом основания и высотой цилиндра.
- Исследовать форму сечения цилиндра плоскостью, параллельной или перпендикулярной оси, и применять свойства цилиндра при решении задач.
- Развивать пространственное мышление, умение строить гипотезу, проверять её по модели и аргументировать геометрический вывод.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение пространственного воображения и точного чертежа для инженерных, архитектурных и технических профессий.
- Проявляют готовность самостоятельно проверять геометрическую гипотезу по модели, чертежу и рассуждению.
- Понимают ценность аккуратности, последовательности и доказательности математической записи.
- Осознают связь стереометрии с практическими объектами: трубами, резервуарами, упаковкой и деталями машин.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, развёртки, условия задачи и пространственной модели.
- Планируют построение, выделяют существенные элементы и контролируют соответствие рисунка условию.
- Сравнивают различные виды сечений, формулируют вывод на основе наблюдений и свойств.
- Аргументированно представляют решение в паре и корректно оценивают обоснованность ответа одноклассника.
Предметные
- Знать элементы цилиндра: основания, ось, образующие, радиус и высоту.
- Уметь изображать цилиндр на плоскости с использованием эллипсов, образующих, оси и высоты.
- Уметь описывать развёртку цилиндра и обосновывать, что длина её прямоугольной стороны равна высоте цилиндра, а другой стороны — длине окружности основания.
- Уметь определять форму сечения плоскостью, параллельной оси цилиндра, и плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра.
- Уметь использовать формулы площади боковой поверхности и площади сечения в простейших задачах.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания пространственного чертежа и выбирают способ устранения затруднения.
- Формируют ответственное отношение к точности построений и математической аргументации.
- Связывают изучаемые модели с профессиональными интересами и практическими задачами.
- Проявляют инициативу при выдвижении и проверке гипотезы о форме сечения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и составляют последовательность построения цилиндра и его развёртки.
- Планируют работу с моделью, чертежом и карточкой задания.
- Сверяют построение с критериями: наличие оснований, образующих, оси, высоты и правильное обозначение видимых линий.
- Находят ошибку в собственном чертеже, исправляют её и оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют элементы цилиндра и устанавливают связи между ними.
- Моделируют пространственное тело на плоскости и преобразуют его в развёртку.
- Сравнивают сечения разных типов, классифицируют их по взаимному расположению секущей плоскости и оси.
- Применяют формулы $l=2\pi R$ и $S_{бок}=2\pi RH$ для обоснования геометрических выводов.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в паре, распределяют роли чертёжника и докладчика.
- Формулируют уточняющие вопросы о положении секущей плоскости.
- Представляют вывод с использованием терминов «ось», «образующая», «сечение», «развёртка».
- Сравнивают решения, аргументированно принимают или корректируют позицию группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить демонстрационную модель цилиндра, изготовленную из бумаги или прозрачного пластика, и модель цилиндра с обозначенной осью.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые построения, задачи на развёртку, исследовательские задачи на сечения — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить по одной бумажной модели развёртки на парту: прямоугольник и два круга, соединённые линиями сгиба.
- Вывести на экран изображения цилиндра, его развёртки и двух сечений: параллельного и перпендикулярного оси.
- Подготовить линейки, циркули, карандаши, ластики и цветные карандаши для выделения сечений.
- Записать на доске опорные обозначения: $R$ — радиус, $H$ — высота, $l=2\pi R$, $S_{бок}=2\pi RH$.
- Распечатать мини-лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парных исследований и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование пространственной фигуры и связать тему с практической задачей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает металлическую банку и бумажную упаковку цилиндрической формы: "Здравствуйте, ребята. Посмотрите на эти два предмета. Их можно описать одной геометрической моделью, но на чертеже они выглядят совсем не так, как в пространстве. Сегодня нам предстоит выяснить, как изобразить цилиндр так, чтобы чертёж передавал его основные свойства." | Рассматривают предметы, называют цилиндрическую форму, предполагают: "У цилиндра есть два круглых основания и боковая поверхность". |
2 мин | Учитель показывает на экране объёмное изображение цилиндра и задаёт проблемный вопрос: "Как по плоскому рисунку понять, где находится ось, как построить развёртку и какой формы будет сечение? Запишите одну гипотезу, а затем обсудите её с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально записывают гипотезу, обсуждают её в парах 1 минуту, предлагают варианты: "Сечение может быть прямоугольником или кругом". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же цилиндр можно рассматривать как объёмное тело, плоский чертёж и развёрнутую поверхность. Теперь восстановим знания, которые помогут нам исследовать эти представления."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия цилиндра, окружности, параллельности и перпендикулярности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует модель и спрашивает: "Назовите элементы цилиндра. Какая фигура является основанием? Что называют образующей и осью? Каким является расстояние между основаниями?" Учитель фиксирует ответы на доске в виде кластера. | Отвечают: "Два равных круга — основания; отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований, — образующая; прямая через центры оснований — ось; расстояние между основаниями — высота". |
3 мин | Учитель предлагает устно сравнить два положения прямой и плоскости: "Если плоскость проходит через ось, какие образующие она содержит? Если плоскость перпендикулярна оси, как расположены её точки относительно оси?" На экране учитель показывает две схемы. | Формулируют: "Плоскость через ось содержит ось и образующие; в плоскости, перпендикулярной оси, сечение связано с кругом основания". Отмечают на схеме ось и образующую. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили элементы цилиндра и взаимное положение прямых и плоскостей. Но пока наши ответы остаются словесными. Следующий шаг — построить точную плоскую модель цилиндра."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии правильного изображения цилиндра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два рисунка: на первом основания изображены окружностями, на втором — эллипсами, а образующие проведены без учёта видимости. Учитель говорит: "Оба рисунка выглядят похожими, но только один передаёт объёмность тела. Найдите недостатки. Что должно быть видно на корректном чертеже?" | Сравнивают рисунки, называют ошибки: "Окружность в перспективном изображении заменяется эллипсом; невидимые части можно показывать штриховой линией; образующие должны быть параллельны". |
2 мин | Учитель записывает на доске цель: "Научиться изображать цилиндр, строить его развёртку и определять форму сечений". Затем предлагает дополнить критерии: "Что мы должны уметь сделать к концу урока, чтобы считать цель достигнутой?" | Формулируют критерии: построить основания и образующие, обозначить ось и высоту, объяснить стороны развёртки, определить фигуру сечения и обосновать ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от изображения тела мы перейдём к его развёртке, а затем проверим, как положение плоскости меняет сечение. Начнём с самого чертежа цилиндра."
Этап 4. Открытие нового знания: изображение и развёртка цилиндра (10 мин)
Цель этапа: вывести правила изображения цилиндра и установить строение его развёртки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель пошагово строит на доске изображение цилиндра: "Сначала проведём верхний и нижний эллипсы одинаковой ширины. Затем соединим их крайние точки двумя параллельными образующими. Ось проведём через центры оснований, а высоту обозначим отрезком между основаниями. Видимую часть нижнего основания покажем сплошной линией, невидимую — штриховой." | Строят в тетради два одинаковых эллипса, проводят две образующие, ось и высоту, выделяют видимые и невидимые линии. |
3 мин | Учитель раскрывает бумажную модель: "Разрежем боковую поверхность по одной образующей и развернём её. Что получилось? Одна сторона прямоугольника соответствует высоте цилиндра, а другая — окружности основания. Поэтому её длина равна $2\pi R$." | Рассматривают модель, прикладывают бумажную ленту к окружности, формулируют: "Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $H$ и $2\pi R$; полная развёртка содержит ещё два круга". |
3 мин | Учитель задаёт исследовательский вопрос: "Почему площадь боковой поверхности равна площади этого прямоугольника? Запишите формулу и объясните, какие величины в ней используются." Учитель фиксирует на доске $S_{бок}=2\pi RH$. | Записывают формулу, объясняют: "Одна сторона равна длине окружности основания, другая — высоте цилиндра; произведение сторон даёт площадь боковой поверхности". |
Запись в тетрадях
Цилиндр изображают двумя равными эллипсами, соединёнными параллельными образующими. Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $H$ и $2\pi R$. Полная развёртка состоит из этого прямоугольника и двух кругов. $S_{бок}=2\pi RH$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что плоский чертёж требует условных правил, а развёртка сохраняет реальные длины поверхности. Теперь проверим, как изменяется фигура, если цилиндр пересекает плоскость."
Этап 5. Исследование сечений цилиндра (8 мин)
Цель этапа: исследовать форму сечений плоскостями, параллельными и перпендикулярными оси цилиндра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам две схемы и говорит: "На первой схеме секущая плоскость параллельна оси цилиндра, на второй — перпендикулярна ей. Рассмотрите линии пересечения плоскости с основаниями и образующими. Предскажите форму сечения и объясните, от каких элементов цилиндра она зависит." | В парах выделяют сечения цветным карандашом, обсуждают 2 минуты, формулируют: "При плоскости, параллельной оси, сечение — прямоугольник; при плоскости, перпендикулярной оси, сечение — круг". |
4 мин | Учитель проверяет вывод вопросами: "Почему в первом случае боковые стороны сечения параллельны и равны высоте? Почему во втором случае все точки сечения находятся на одинаковом расстоянии от центра? Можно ли утверждать, что прямоугольник обязательно проходит через ось?" | Отвечают: "Боковые стороны — параллельные образующие, их длина равна $H$; при перпендикулярном сечении получается круг с радиусом $R$; прямоугольник может быть смещён относительно оси". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главное — не угадывать форму по рисунку, а анализировать положение плоскости. Теперь применим это правило к конкретным построениям и вычислениям."
Этап 6. Первичное закрепление и самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм изображения цилиндра, развёртки и определения сечения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает базовую задачу: "Радиус цилиндра равен $3$ см, высота — $8$ см. Постройте схематический чертёж цилиндра, укажите ось и высоту, изобразите развёртку боковой поверхности и подпишите длины её сторон." Учитель напоминает: "Сначала составьте план, затем выполняйте чертёж." | Индивидуально выполняют построение. Записывают стороны прямоугольника развёртки: $8$ см и $6\pi$ см. Обозначают два круга радиуса $3$ см. |
3 мин | Учитель даёт задачу среднего уровня: "Плоскость пересекает цилиндр и параллельна его оси. Расстояние от оси до плоскости равно $4$ см, радиус цилиндра равен $5$ см, высота — $7$ см. Найдите стороны прямоугольного сечения." Учитель предлагает вспомнить хорду окружности. | Решают: одна сторона равна $7$ см, другая является хордой основания; находят половину хорды по теореме Пифагора: $\sqrt{5^2-4^2}=3$, значит, хорда равна $6$ см. |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку по критериям: "Проверьте наличие всех элементов, корректность формул, единицы измерения и обоснование формы сечения. Поставьте две звезды за сильные стороны и одно пожелание." | Обмениваются тетрадями, отмечают два достоинства и одну неточность, исправляют ошибку по эталону на доске. |
Эталон решения
Диаметр основания сечения равен хорде окружности. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник. Поэтому $a=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ см. Полная хорда равна $2a=6$ см. Вторая сторона сечения — образующая, поэтому равна $H=7$ см. Ответ: прямоугольник со сторонами $6$ см и $7$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили общий алгоритм: определили положение плоскости, нашли линии пересечения и только затем вычислили размеры. Осталось зафиксировать, какое знание стало главным и где ещё сохраняется затруднение."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и определить направление самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте, что вы можете сделать уверенно: изобразить цилиндр, построить развёртку, определить сечение, обосновать форму сечения. Красным отметьте пункт, который требует повторения." | Заполняют лист самооценки, формулируют личное затруднение: "Мне нужно ещё потренироваться изображать невидимую часть основания" или "Нужно повторить хорду окружности". |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какая фигура получается при сечении плоскостью, параллельной оси, и почему длина стороны развёртки равна $2\pi R$?" | Пишут краткие ответы: "Прямоугольник, потому что боковые стороны являются параллельными образующими"; "Эта сторона развёртки образуется окружностью основания". |
1 мин | Учитель объявляет уровни домашнего задания и напоминает: "Выберите обязательный уровень, а затем — по готовности — повышающий или дополнительный. Важно не только получить ответ, но и сохранить чертёж и обоснование." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, сверяют запись с учителем. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились переводить цилиндр из пространственной модели в плоский чертёж, развёртку и сечение. На следующем уроке продолжим исследовать сечения и применим их свойства к более сложным задачам."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — корректно изображены цилиндр, ось, высота и видимые части оснований; правильно построена развёртка; верно определена форма сечения и полностью обосновано решение задачи с прямоугольным сечением.
- «4» — выполнены все основные построения и решена задача, но допущена одна неточность в обозначениях, видимости линий или объяснении.
- «3» — построение в целом узнаваемо, но есть две существенные ошибки либо отсутствует полное обоснование формы сечения; базовые формулы записаны верно.
- Ниже уровня «3» — не определены элементы цилиндра, развёртка или положение секущей плоскости; требуется индивидуальная работа по опорной схеме.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие элементы обязательно должны быть обозначены на изображении цилиндра? | Проверка понимания структуры пространственного чертежа. |
Почему боковая развёртка цилиндра является прямоугольником со сторонами $H$ и $2\pi R$? | Выявление осознания связи между объёмным телом и развёрткой. |
Как определить форму сечения, не ориентируясь только на внешний вид рисунка? | Проверка освоения алгоритма анализа положения секущей плоскости. |
Какой шаг решения оказался для вас самым сложным? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции обучения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть в плоском рисунке основные элементы цилиндра и переводить поверхность тела в развёртку. Важно помнить: форма сечения определяется не перспективой рисунка, а взаимным положением секущей плоскости и оси цилиндра. Типичная ошибка — назвать сечение прямоугольником, не проверив, параллельна ли плоскость оси. На следующем уроке мы продолжим работу с сечениями и будем использовать их размеры для решения пространственных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания: построить изображение цилиндра с обозначением оси и высоты; построить полную развёртку цилиндра с радиусом $R$ и высотой $H$; определить форму сечения плоскостью, перпендикулярной оси, и объяснить ответ. | Закрепляет базовые построения и различение элементов цилиндра; при проверке смотреть на точность обозначений и связь сторон развёртки с $R$ и $H$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сечение плоскостью, параллельной оси: в одной найти стороны прямоугольного сечения по $R$, $H$ и расстоянию до оси; в двух других определить площадь сечения и неизвестный параметр. | Формирует применение теоремы Пифагора к хорде основания и умение обосновывать вычисления; проверять чертёж, формулу и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить исследовательское описание: сравнить сечения цилиндра плоскостью через ось, плоскостью параллельной оси и плоскостью перпендикулярной оси; выполнить три схематических рисунка и сформулировать общий вывод о форме и размерах сечения. | Развивает анализ и создание математической модели; при проверке смотреть на корректность классификации, самостоятельность вывода и качество аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какими фигурами изображают основания цилиндра на плоскости?», «Чему равны стороны развёртки боковой поверхности?», «Какую фигуру даёт сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра?», «Какую фигуру даёт сечение плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра?»
