Конус: элементы и площади поверхностей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся смогут распознавать и объяснять элементы конуса, выводить и применять формулы площади боковой и полной поверхности конуса $S_{бок}=\pi rl$ и $S_{полн}=\pi r(l+r)$ при решении не менее двух практических задач с точностью до единиц измерения.
- Сформировать представление о конусе как теле вращения, его основании, вершине, образующей и оси; установить связь между радиусом, высотой и образующей.
- Вывести формулу площади боковой поверхности конуса через площадь развертки и закрепить алгоритм нахождения площади полной поверхности.
- Развивать умение анализировать условие задачи, строить математическую модель, выбирать формулу и проверять разумность результата.
- Воспитывать аккуратность геометрических построений, ответственность за аргументированное решение и интерес к применению геометрии в архитектуре, инженерии и дизайне.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность пространственной геометрии для инженерных, архитектурных и технических задач.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ исследования и аргументировать математическое решение.
- Понимают значение точности чертежа, обозначений и единиц измерения при решении прикладных задач.
- Формируют ответственное отношение к самопроверке и конструктивному обсуждению решений.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, модели и условия задачи, преобразуют её в математическую схему.
- Планируют последовательность вывода формулы и решения задачи, контролируют промежуточные вычисления.
- Сотрудничают в паре, формулируют гипотезу, задают уточняющие вопросы и аргументируют вывод.
- Используют формулы площади поверхности для анализа реального объекта и оценивают правдоподобие результата.
Предметные
- Знать определения конуса, основания, вершины, образующей и оси конуса.
- Уметь показывать на модели и чертеже радиус основания $r$, высоту $h$, образующую $l$ и ось конуса.
- Понимать, что осевое сечение прямого конуса является равнобедренным треугольником, и применять связь $l^2=h^2+r^2$.
- Знать и применять формулы $S_{бок}=\pi rl$ и $S_{полн}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться переходить от пространственной модели конуса к формулам его поверхности.
- Осознают связь изучаемого материала с будущей профессиональной и учебной деятельностью.
- Проявляют познавательную инициативу при проверке гипотезы о площади боковой поверхности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования по проблемному вопросу и составляют план её достижения.
- Сверяют построенную модель и вычисления с условием задачи.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибки в обозначениях и формулах.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и билета на выход.
Познавательные УУД
- Сравнивают конус с цилиндром и кругом, выделяют существенные признаки объекта.
- Анализируют развертку боковой поверхности конуса и устанавливают связь длины дуги сектора с длиной окружности основания.
- Моделируют пространственную фигуру на плоском чертеже, применяют теорему Пифагора в осевом сечении.
- Выводят формулу, классифицируют данные задачи и выбирают подходящий способ решения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, аналитик, докладчик и контролёр.
- Формулируют вопросы к одноклассникам по элементам конуса и площади поверхности.
- Представляют вывод кратко и доказательно, принимают обоснованные замечания.
- Согласуют общий вариант решения при различии способов рассуждения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить объёмную модель конуса, изготовленную из бумаги или пластика, и несколько предметов конической формы: воронку, абажур или мерный стакан.
- Подготовить презентацию или изображения конуса с выделенными основанием, вершиной, осью, высотой и образующей; отдельно показать развертку боковой поверхности.
- Распечатать карточки исследовательских заданий двух уровней — по одной на пару, из расчёта 15 карточек на класс.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить шаблон чертежа прямого конуса и карточки с обозначениями $r$, $h$, $l$, $S_{бок}$, $S_{полн}$ — по одному комплекту на группу из четырёх человек.
- Вывести на доску или слайд проблемный вопрос: «Как найти площадь боковой поверхности конуса, если его нельзя измерить непосредственно?»
- Заранее записать на доске тему урока, обозначения элементов конуса и пустую схему для последующего вывода формул.
- Подготовить линейки, циркули, ножницы и бумажные сектора для демонстрации развертки; при возможности — проектор и документ-камеру.
- Подготовить эталон решения практической задачи и таблицу критериев оценивания самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает объёмную модель конуса: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем исследовать тело, которое встречается в архитектуре, технике и быту. Посмотрите на модель: какие реальные предметы имеют похожую форму? Не называйте только предмет — объясните, какие геометрические признаки вы видите." | Рассматривают модель, называют воронку, дорожный конус, крышу башни, рожок; формулируют: "У фигуры есть круговое основание и одна точка вне его плоскости". |
2 мин | Учитель фиксирует ответы и задаёт проблемный вопрос: "Представьте, что нужно изготовить конический абажур без основания. Сколько материала понадобится? Измерить поверхность напрямую трудно. Как геометрия поможет заменить реальный объект моделью и вычислить площадь? Сегодня мы не просто запомним формулы, а восстановим их происхождение." | Формулируют предположения: "Нужно найти площадь круга и боковой части"; записывают тему урока и проблемный вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что конус является не только абстрактной фигурой, но и моделью реальных объектов. Чтобы вычислять его поверхность, сначала точно назовём элементы конуса, а затем исследуем его развертку."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о круге, цилиндре, площади сектора и теореме Пифагора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вспомните формулы площадей круга и боковой поверхности цилиндра. Сначала запишите их самостоятельно, затем сравните с соседом и объясните, какие величины входят в каждую формулу." | Индивидуально записывают $S_{круга}=\pi r^2$ и $S_{бок.цил}=2\pi rh$, обсуждают в парах, предлагают формулировки. |
2 мин | Учитель показывает на доске сектор круга: "От чего зависит площадь сектора? Как связаны длина дуги сектора и радиус основания конуса? Вспомните также формулу длины окружности." | Отвечают: "Площадь сектора зависит от радиуса и центрального угла"; записывают $C=2\pi r$; предполагают, что дуга развертки равна длине окружности основания. |
2 мин | Учитель чертит осевое сечение будущего конуса: "Если конус прямой, что представляет собой его осевое сечение? Как найти образующую через высоту и радиус?" | Называют равнобедренный треугольник, выделяют прямоугольный треугольник и записывают $l^2=h^2+r^2$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили площади круга и сектора, длину окружности и теорему Пифагора. Теперь проверим, какие именно элементы нужно выделить на модели конуса, чтобы использовать эти знания."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует модель и задаёт вопросы: "Покажите круговую часть конуса. Как она называется? Где находится точка, не лежащая в плоскости основания? Как назвать отрезок от этой точки до точки окружности? А отрезок, соединяющий вершину с центром основания?" | Показывают элементы и отвечают: "Основание", "вершина", "образующая", "ось". На чертеже подписывают $O$, $A$, $l$, $h$, $r$. |
2 мин | Учитель предлагает приём "Снежный ком": "Сначала каждый запишите, что необходимо узнать для ответа на проблемный вопрос. Затем объединитесь в пары и выберите общий план. Какие шаги приведут нас к площади всей поверхности?" | Формулируют план: определить элементы; рассмотреть развертку; вывести $S_{бок}$; прибавить площадь основания; решить практическую задачу. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования составлен. Сначала разберёмся, почему боковая поверхность разворачивается в сектор, затем выведем её площадь и проверим формулы на конкретной задаче."
Этап 4. Открытие нового знания: элементы и развертка конуса (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно установить геометрическую модель боковой поверхности конуса и вывести формулу её площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает модель и развёрнутую боковую часть: "Аккуратно рассмотрите бумажную модель. Если разрезать её по одной образующей и развернуть, какая плоская фигура получится? Почему радиус этой фигуры равен образующей конуса?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Наблюдают демонстрацию, отвечают: "Получается сектор круга; расстояние от вершины сектора до дуги равно образующей $l$". Записывают: радиус сектора — $l$. |
3 мин | Учитель продолжает эвристическую беседу: "Дуга сектора после развёртки совпадает с окружностью основания. Запишите равенство длин. Если центральный угол сектора равен $\alpha$, как выразить его площадь через длину дуги?" | Записывают $L_{дуги}=2\pi r$ и рассуждают: доля сектора от полного круга равна $\frac{2\pi r}{2\pi l}=\frac rl$; площадь сектора равна $\frac rl\cdot\pi l^2=\pi rl$. |
2 мин | Учитель формулирует вывод и подчёркивает область применимости: "Итак, для прямого и наклонного конуса боковая поверхность разворачивается в сектор, но в школьных задачах формулу применяем к прямому круговому конусу. Запишите результат и поясните каждое обозначение." | Записывают $S_{бок}=\pi rl$, проговаривают: $r$ — радиус основания, $l$ — образующая. |
2 мин | Учитель добавляет основание: "Полная поверхность состоит из боковой поверхности и основания. Как получить формулу полной поверхности? Какие единицы должны быть у результата?" | Записывают $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$; отвечают: квадратные единицы. |
Запись в тетрадях
Конус имеет основание — круг, вершину — точку вне плоскости основания, образующую — отрезок от вершины до точки окружности основания, ось — отрезок, соединяющий вершину с центром основания. Для прямого конуса $l^2=h^2+r^2$, $S_{бок}=\pi rl$, $S_{полн}=\pi r(l+r)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили формулу не из готового правила, а через развертку: боковая поверхность стала сектором с радиусом $l$, а его дуга — окружностью длины $2\pi r$. Теперь проверим формулу на задаче и научимся не путать образующую с высотой."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание элементов конуса и применение формул при проговаривании алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Рассмотрите конус с радиусом основания $r=3$ см и образующей $l=5$ см. Найдите площадь боковой и полной поверхности. Сначала запишите известные величины и формулу, затем вычислите и укажите единицы." | В парах составляют краткую запись, вычисляют $S_{бок}=15\pi$ см² и $S_{полн}=24\pi$ см², один ученик объясняет, второй проверяет. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решение: "Объясните, почему в первой формуле не появляется площадь круга, а во второй появляется. Где на чертеже находится число 5 см?" | Представляют решение, отвечают: "Первая формула относится только к боковой поверхности; 5 см — образующая, а не высота". |
2 мин | Учитель проводит мини-проверку "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если различаете $h$ и $l$, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если осталось затруднение. После этого исправьте обозначения на чертеже." | Показывают карточки, сверяют чертёж, дописывают: $h$ перпендикулярна основанию, $l$ идёт по боковой поверхности. |
Эталон решения
Дано: $r=3$ см, $l=5$ см. Боковая поверхность: $S_{бок}=\pi rl=\pi\cdot3\cdot5=15\pi$ см². Основание: $S_{осн}=\pi r^2=9\pi$ см². Полная поверхность: $S_{полн}=15\pi+9\pi=24\pi$ см².
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает: определить нужную поверхность, выбрать $r$ и $l$, подставить в формулу, записать единицы и проверить смысл ответа. Теперь каждый выполнит самостоятельное задание, а уровень сложности можно выбрать."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение формул и умение находить недостающий элемент конуса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который позволит честно проверить ваши знания. Базовый вариант: найти $S_{бок}$ и $S_{полн}$ при $r=4$ см, $l=6$ см. Повышенный вариант: при $r=5$ см и $h=12$ см сначала найти образующую, затем обе площади. Дополнительный вариант: решить практическую задачу о коническом колпаке без основания с диаметром 12 см и образующей 10 см." | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают формулы, вычисления и единицы; при повышенном варианте применяют $l=\sqrt{h^2+r^2}$. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску: "Проверьте не только число, но и ход решения. Отметьте, где вы использовали теорему Пифагора, а где — формулу площади. Если нашли ошибку, зачеркните только неверный шаг и запишите исправление рядом." | Сверяют решения с эталоном, выполняют самопроверку, выделяют исправления другим цветом. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для адресной диагностики: "Поднимите руку, если получили значение площади через $\pi$. Почему не следует сразу заменять $\pi$ приближённым числом?" | Объясняют: "Точное значение через $\pi$ сохраняет результат; приближение можно использовать только по условию задачи". |
Эталон решения
Для повышенного варианта: $r=5$ см, $h=12$ см. По теореме Пифагора $l=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ см. Тогда $S_{бок}=\pi\cdot5\cdot13=65\pi$ см², $S_{полн}=\pi\cdot5(13+5)=90\pi$ см².
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула полной поверхности требует внимательного различения основания и боковой части. Осталось связать новый материал с реальными объектами и сформулировать, что именно мы теперь умеем делать."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: применить формулы в практическом контексте, оценить достижение цели и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "Для изготовления конического колпака без основания нужен материал. Диаметр основания 12 см, образующая 10 см. Какую площадь материала следует предусмотреть без учёта припусков? Назовите не только вычисление, но и геометрическую модель." | Определяют $r=6$ см, выбирают боковую поверхность, вычисляют $S_{бок}=\pi\cdot6\cdot10=60\pi$ см²; объясняют, что колпак моделируется боковой поверхностью конуса. |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на три вопроса: назовите два элемента конуса; объясните, почему радиус развертки равен образующей; запишите формулу полной поверхности." | Заполняют билет: "основание и вершина"; "образующая становится радиусом сектора"; $S_{полн}=\pi r(l+r)$. |
1 мин | Учитель завершает: "Поставьте в листе самооценки знак напротив утверждений: я различаю $h$ и $l$; вывожу $S_{бок}$ через развертку; нахожу $S_{полн}$; проверяю единицы. Выберите один пункт для дальнейшей тренировки." | Заполняют самооценку, формулируют личный результат: "Я научился находить площадь боковой поверхности по радиусу и образующей". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы исследовали конус как тело вращения, выделили его элементы и вывели формулы площадей через развертку. На следующем уроке мы продолжим работу с телами вращения и рассмотрим задачи, где потребуется находить неизвестные элементы по площади или объёму."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнено выбранное задание, правильно различены $h$ и $l$, формулы записаны до подстановки, вычисления и единицы измерения указаны без ошибок; для повышенного уровня корректно применена теорема Пифагора.
- "4" — основная модель и формулы выбраны верно, но допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи единиц, не повлиявшая на ход решения.
- "3" — верно определена хотя бы одна требуемая поверхность и записана соответствующая формула, но допущены ошибки в нахождении образующей, подстановке или вычислениях.
- Ниже базового уровня — решение не содержит связанного алгоритма; ученику предлагается разобрать эталон и выполнить аналогичное задание с поддерживающей схемой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие элементы конуса вы теперь можете показать на модели и чертеже? | Проверка осознанности предметных определений и пространственного представления. |
Почему площадь боковой поверхности выражается формулой $\pi rl$? | Выявление понимания вывода через развертку, а не механического запоминания. |
В каком месте решения вы различаете высоту и образующую? | Выявление типичной точки затруднения при применении теоремы Пифагора. |
Какой уровень домашнего задания вы выберете и почему? | Оценка субъективной уверенности, самостоятельности и готовности к дальнейшему усложнению. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать конус не как рисунок, а как систему взаимосвязанных элементов. Мы вывели площадь боковой поверхности через развертку и получили формулу полной поверхности, добавив площадь основания. Самая частая ошибка — принять высоту за образующую, поэтому перед вычислением всегда обращайтесь к осевому сечению. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке мы будем находить неизвестные элементы конуса по заданным площадям и длинам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение площади боковой и полной поверхности прямого конуса по заданным $r$ и $l$, включая один чертёж с обозначением основания, вершины, оси и образующей. | Закрепить распознавание элементов и прямое применение формул; при проверке смотреть на правильный выбор $r$, $l$ и единицы площади. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых по радиусу и высоте сначала требуется найти образующую по формуле $l^2=h^2+r^2$, а затем вычислить $S_{бок}$ и $S_{полн}$; одну задачу оформить с подробным объяснением. | Отработать связь осевого сечения с площадями поверхности; при проверке обратить внимание на последовательность действий и точность вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о коническом предмете, для которого требуется определить площадь материала: указать размеры, сделать схему, обосновать выбор боковой или полной поверхности и оценить результат. | Развить умение создавать математическую модель, выбирать существенные данные и связывать геометрию с реальным контекстом. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют образующей конуса?», «Как связаны образующая, высота и радиус в прямом конусе?», «Чем площадь боковой поверхности отличается от площади полной поверхности?», «Почему в формуле $S_{бок}=\pi rl$ используется образующая, а не высота?»
