Изображение цилиндра на плоскости и площадь его поверхности
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать элементы цилиндра на его изображении, строить схематическое изображение цилиндра и вычислять площади боковой и полной поверхности по заданным радиусу и высоте, объясняя выбор формул.
- Сформировать представление о цилиндре как о теле, ограниченном двумя равными параллельными кругами и цилиндрической поверхностью.
- Научиться выделять на изображении цилиндра основания, боковую поверхность, образующие и ось, а также различать образующую цилиндра и образующую цилиндрической поверхности.
- Вывести и применять формулы площади боковой поверхности $S_{бок}=2\pi rh$ и полной поверхности $S_{полн}=2\pi r(h+r)$ в практических задачах.
- Развивать пространственное воображение, точность геометрического чертежа, умение работать в паре и аргументировать решение; показать связь геометрии с архитектурой, инженерией и техническим черчением.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к изучению пространственных тел и видят практическую ценность геометрических моделей.
- Осознают значение точности, аккуратности и проверки результата при решении инженерных и прикладных задач.
- Развивают готовность к самостоятельному выбору способа решения и ответственному отношению к совместной работе.
- Связывают изучение цилиндра с будущими направлениями обучения: архитектурой, строительством, дизайном, физикой и инженерией.
Метапредметные
- Извлекают информацию из рисунка, текста задачи и формулы, преобразуют пространственную модель в плоскую схему.
- Планируют последовательность решения, проверяют единицы измерения и оценивают реалистичность полученного результата.
- Формулируют вопросы, сравнивают способы рассуждения и аргументированно представляют результат работы пары.
- Используют математическую и естественно-научную грамотность при анализе формы реального цилиндрического объекта.
Предметные
- Знать определения цилиндра, оснований, боковой поверхности, образующей, оси цилиндра и цилиндрической поверхности.
- Уметь изображать цилиндр на плоскости с использованием двух эллипсов, боковых образующих и оси.
- Уметь находить площадь боковой и полной поверхности цилиндра по радиусу и высоте.
- Понимать, что развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником со сторонами $2\pi r$ и $h$.
- Уметь решать прикладные задачи на площадь материала, окрашиваемой поверхности и поверхности закрытой цилиндрической ёмкости.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный интерес к исследованию пространственных моделей.
- Осознают связь точного чертежа и корректного математического вывода с качеством практического результата.
- Проявляют уважение к мнению партнёра и готовность принимать обоснованную корректировку.
- Оценивают собственную готовность применять формулы в новой ситуации.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования цилиндра и планируют действия по её достижению.
- Контролируют правильность построения изображения и соответствие обозначений условию задачи.
- Сверяют решение с эталоном, находят ошибку в единицах измерения или выборе формулы.
- Оценивают результат работы по заданным критериям и намечают способ исправления затруднения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки цилиндра и классифицируют его элементы.
- Моделируют цилиндр с помощью рисунка, развёртки и системы обозначений.
- Устанавливают связь между длиной окружности основания и площадью развёртки боковой поверхности.
- Анализируют условие прикладной задачи и выбирают соответствующую математическую модель.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, аналитик и докладчик, при необходимости меняя роли.
- Формулируют уточняющие вопросы по рисунку и способу вывода формулы.
- Представляют решение, используют математическую терминологию и приводят аргументы.
- Согласовывают общий ответ и корректно обсуждают обнаруженные ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить цилиндрический предмет: стакан, тубус или металлическую банку без острых краёв; заранее проверить его безопасность для демонстрации.
- Подготовить презентацию или изображение цилиндра, его осевых сечений и развёртки боковой поверхности.
- Распечатать карточки для парной работы: 8 комплектов с рисунками цилиндров и заданиями на обозначение элементов.
- Распечатать 15 индивидуальных карточек трёх уровней: базовый, повышающий и исследовательский.
- Подготовить листы в клетку, линейки, циркули и карандаши для построения изображения цилиндра; по одному набору на каждого ученика.
- Вывести на доску тему, обозначения $r$, $h$, $S_{осн}$, $S_{бок}$, $S_{полн}$ и пустую схему развёртки.
- Подготовить эталон изображения цилиндра с двумя основаниями-эллипсами, образующими и осью.
- Подготовить интерактивную модель или короткую анимацию развёртки цилиндра; при отсутствии техники использовать бумажную развёртку.
- Заранее разделить задания на обязательную и дополнительную части, чтобы обеспечить дифференциацию без снижения темпа урока.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и связать тему с реальным объектом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает цилиндрический предмет: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём изучение тела, которое встречается в конструкции колонн, труб, резервуаров и деталей машин. Посмотрите на предмет в моей руке и назовите его общую геометрическую форму. Какие свойства формы можно исследовать математически?" | Рассматривают предмет, формулируют ответы: "Это цилиндр", "Можно найти его высоту, радиус и площадь поверхности". |
2 мин | Учитель демонстрирует изображение цилиндра и задаёт проблемный вопрос: "Представьте, что этот объект нужно покрыть защитной плёнкой. Какие части придётся покрыть? Как определить количество материала, если известны радиус и высота? Запишите пока только гипотезу, а в конце урока мы проверим её." | Индивидуально записывают гипотезу, затем обсуждают её с соседом по парте и формулируют: "Нужно учесть боковую поверхность и два основания". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что цилиндр — не только предмет из повседневной жизни, но и точная математическая модель. Теперь восстановим знания, которые понадобятся для его описания."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия окружности, круга, радиуса, диаметра, высоты и площади круга.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске круг и окружность: "Вспомните, чем круг отличается от окружности. Запишите формулы длины окружности и площади круга. Какие величины понадобятся, чтобы описать верхнее и нижнее основания цилиндра?" | Записывают $L=2\pi r$ и $S_{круга}=\pi r^2$, отвечают: "Для основания нужен радиус, а для положения второго основания — расстояние между плоскостями". |
3 мин | Учитель предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала самостоятельно назовите элементы цилиндра, затем за минуту сравните ответы с партнёром. После этого одна-две пары объяснят классу, чем могут быть образующая и ось." Учитель фиксирует на доске верные и спорные предположения. | Составляют список элементов, обсуждают в парах, сообщают: "Основания, боковая поверхность, образующие, ось". Отмечают затруднение: "Пока неясно, как изобразить невидимую часть поверхности и чем образующая отличается от оси". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили формулы окружности и круга, но пока не можем строго описать пространственное тело и вычислить всю его поверхность. Значит, нам необходимо построить модель цилиндра и исследовать её элементы."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две равные окружности на разных уровнях и соединяет соответствующие точки: "Как расположить два круга, чтобы получить цилиндр? Что должно быть одинаковым у этих кругов? Почему соединяющие отрезки должны быть параллельными?" | Формулируют: "Круги должны лежать в параллельных плоскостях и иметь равные радиусы", "Соответствующие точки соединяются параллельными отрезками". |
2 мин | Учитель записывает на доске план: 1) построить изображение; 2) назвать элементы; 3) исследовать развёртку; 4) вывести формулы площадей. "Сформулируйте цель урока одним предложением. Как поймём, что цель достигнута?" | Предлагают цель: "Мы научимся изображать цилиндр, называть его элементы и находить площади боковой и полной поверхности". Называют критерии: правильный рисунок, верные обозначения, обоснованный выбор формулы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования определён. Переходим к главному: создадим изображение цилиндра и установим, какие элементы на нём можно увидеть непосредственно, а какие нужно мысленно представить."
Этап 4. Открытие нового знания: модель и развёртка цилиндра (12 мин)
Цель этапа: сформировать понятия цилиндра, оснований, боковой поверхности, образующей, оси и вывести формулы площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске изображение: "Сначала изобразим нижнее основание эллипсом, затем выше него — равный эллипс. Соединим крайние точки вертикальными отрезками. Передняя часть нижнего эллипса изображается сплошной линией, задняя — пунктиром. Отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований, называется образующей цилиндра. Все образующие равны и параллельны. Отрезок, соединяющий центры оснований, — ось цилиндра." | Строят в тетрадях два равных эллипса, соединяют их образующими, проводят ось пунктиром, подписывают: "основание", "боковая поверхность", "$h$", "$r$", "образующая", "ось". |
3 мин | Учитель уточняет определения: "Цилиндрическая поверхность образована движением прямой, сохраняющей параллельность самой себе, вдоль окружности. Прямые, из которых состоит поверхность, называются образующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через центры её круговых сечений, называется осью цилиндрической поверхности. У прямого цилиндра образующие перпендикулярны основаниям и имеют длину $h$." | Сравнивают понятия, составляют в тетради схему: "цилиндр — два основания + боковая поверхность". Отвечают: "Образующая цилиндра — отрезок, а образующая цилиндрической поверхности — прямая". |
3 мин | Учитель показывает бумажную развёртку: "Разрежем боковую поверхность по одной образующей и развернём её. Какую фигуру получим? Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания. Поэтому площадь боковой поверхности равна произведению этих сторон." Учитель записывает $S_{бок}=2\pi rh$. | Наблюдают развёртку, отвечают: "Прямоугольник". Записывают $a=2\pi r$, $b=h$, $S_{бок}=2\pi rh$ и объясняют происхождение формулы. |
2 мин | Учитель добавляет два основания: "Полная поверхность состоит из боковой поверхности и двух кругов. Запишите формулу и преобразуйте её в удобный вид. Обратите внимание: если в задаче говорится о закрытой ёмкости, учитываются оба основания, а если о трубе без торцов — только боковая поверхность." | Записывают $S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(h+r)$, выделяют условия применения формул. |
Запись в тетрадях
- Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и цилиндрической поверхностью.
- Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований; для прямого цилиндра её длина равна высоте $h$.
- Ось цилиндра — отрезок, соединяющий центры оснований.
- $S_{бок}=2\pi rh$; $S_{полн}=2\pi r(h+r)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили модель цилиндра и вывели обе формулы, а не просто запомнили их. Теперь проверим понимание на короткой парной задаче и научимся видеть, какую поверхность требуется вычислять."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание элементов цилиндра и применение формул в типовой практической ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с изображением цилиндра: "Выполните задание 1: подпишите два основания, боковую поверхность, образующую и ось. Затем объясните, какие линии на рисунке проводят сплошными, а какие пунктиром. На работу — три минуты." | В парах подписывают элементы, проводят недостающую ось, формулируют: "Невидимая задняя часть основания обозначается пунктиром, ось также можно показать пунктиром". |
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Цилиндрическая банка имеет радиус $4$ см и высоту $10$ см. Найдите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности. Используйте $\pi\approx3{,}14$. Сначала определите, какие данные известны, затем запишите формулу и единицы измерения." | В парах составляют краткую запись, вычисляют $S_{бок}=2\cdot3{,}14\cdot4\cdot10=251{,}2$ см²; $S_{полн}=251{,}2+2\cdot3{,}14\cdot16=351{,}68$ см². |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три пункта: выбранную формулу, учёт двух оснований и единицы площади. Поставьте две звезды за верные действия и одно пожелание, если есть неточность." | Проверяют решение по критериям, отмечают сильные стороны и корректируют ошибки; одна пара объясняет, почему для полной поверхности добавлены два круга. |
Эталон решения
Дано: $r=4$ см, $h=10$ см. Боковая поверхность: $S_{бок}=2\pi rh=2\cdot3{,}14\cdot4\cdot10=251{,}2$ см². Площадь одного основания: $S_{осн}=\pi r^2=3{,}14\cdot16=50{,}24$ см². Полная поверхность: $S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}=251{,}2+100{,}48=351{,}68$ см².
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что одна и та же фигура требует разных формул в зависимости от условия: плёнка на боковой стенке — это боковая поверхность, а закрытая банка — полная. Теперь каждый проверит себя самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение строить изображение цилиндра и вычислять площадь поверхности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Выполните обязательное задание. Цилиндр имеет радиус $3$ см и высоту $7$ см. Найдите площадь боковой и полной поверхности, оставьте ответ с точностью до сотых. Дополнительно изобразите цилиндр и обозначьте его элементы. Если закончите раньше, решите повышенное задание: площадь боковой поверхности равна $48\pi$ см², а высота — $6$ см. Найдите радиус." | Индивидуально решают: $S_{бок}=42\pi$ см², $S_{полн}=60\pi$ см². На рисунке обозначают основания, ось, образующую, $r$ и $h$. В дополнительном задании находят $r=4$ см из равенства $2\pi rh=48\pi$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "$S_{бок}=2\pi\cdot3\cdot7=42\pi$ см²; $S_{полн}=42\pi+2\pi\cdot9=60\pi$ см². Проверьте не только число, но и структуру решения: данные, формула, подстановка, единицы. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если есть вопрос, красную — если нужна помощь." | Сверяют решение, отмечают цветом степень уверенности, исправляют ошибки. Ученики с жёлтой или красной карточкой указывают конкретное затруднение: "не учёл два основания", "записал см вместо см²". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось связать его с другими областями и проверить, умеем ли мы выбирать формулу в реальном контексте."
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить знания о поверхности цилиндра в инженерном и естественно-научном контексте, оценить достижение цели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает изображение цилиндрического резервуара: "В инженерии расчёт поверхности нужен для определения количества краски, теплоизоляции или металла. Резервуар имеет радиус $2$ м и высоту $5$ м. Сколько квадратных метров материала потребуется для боковой поверхности без крышки? Почему здесь не нужна площадь второго основания?" | Решают и объясняют: $S_{бок}=2\pi\cdot2\cdot5=20\pi$ м²; "крышка и дно не входят в условие, поэтому учитывается только боковая поверхность". |
3 мин | Учитель проводит рефлексию "Билет на выход": "На отдельной половине листа закончите три фразы: 1) Сегодня я научился... 2) Теперь я отличаю образующую от оси так: ... 3) Перед подстановкой в формулу я проверяю... Сдайте листок при выходе." | Письменно формулируют результаты: "научился строить цилиндр", "образующая соединяет соответствующие точки оснований, а ось проходит через их центры", "проверяю радиус, высоту, вид поверхности и единицы". |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — правильно изображены и подписаны все основные элементы цилиндра; без ошибок вычислены площади боковой и полной поверхности; решение содержит формулы, подстановку, единицы измерения и объяснение выбора формулы.
- "4" — правильно выполнены оба вычисления и построение, но допущена одна несущественная неточность в обозначении, округлении или пояснении.
- "3" — верно выполнено хотя бы одно вычисление и распознаны основные элементы цилиндра, однако есть ошибка в учёте оснований, формуле или единицах, исправляемая после подсказки.
- Ниже базового уровня — решение не содержит полного алгоритма, перепутаны боковая и полная поверхность либо отсутствует изображение с ключевыми обозначениями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о строении цилиндра? | Проверка осознания определений оснований, боковой поверхности, образующей и оси. |
Как понять по условию, нужно ли учитывать два основания? | Выявление понимания различия между боковой и полной поверхностью. |
Какая часть вывода формулы была наиболее важной: длина окружности, развёртка или сложение площадей? | Определение глубины понимания происхождения формул, а не только их запоминания. |
Какую ошибку в решении вы теперь сможете заметить самостоятельно? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции результата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы рассмотрели цилиндр как геометрическую модель, научились изображать его на плоскости и вывели формулы площадей через развёртку. Самая частая ошибка — автоматически складывать площади двух оснований, не читая условие задачи. Поэтому всегда сначала определяйте, какую именно поверхность нужно найти. На следующем уроке мы продолжим исследование цилиндра и рассмотрим задачи, где его элементы связаны с сечениями и расстояниями."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение площади боковой поверхности цилиндра по $r$ и $h$ и две на нахождение площади полной поверхности закрытого цилиндра; в каждой задаче записать формулу и единицы измерения. | Закрепляет распознавание вида поверхности и применение формул; при проверке обратить внимание на учёт оснований и квадратные единицы. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи обратного типа: найти радиус или высоту по заданной площади боковой либо полной поверхности; одну задачу оформить с точностью до сотых. | Развивает преобразование формул и осознанный выбор неизвестной величины; проверить алгебраические преобразования и размерность ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Выполнить мини-исследование: выбрать цилиндрический предмет дома, измерить его радиус и высоту, составить схему, вычислить площади боковой и полной поверхности и указать, какой материал потребовался бы для покрытия каждой части. | Формирует функциональную и математическую грамотность; при проверке оценить корректность измерений, модели, формул и объяснения допущений. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Что называют образующей цилиндра? Чем ось отличается от образующей? Как записывается площадь боковой поверхности? В каком случае к ней добавляют $2\pi r^2$? Почему единица площади имеет квадратную степень?"
