Цилиндр: основания и боковая поверхность, образующая и ось; площадь боковой и полной поверхности
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия учащиеся смогут распознавать элементы цилиндра, объяснять связь между образующей и высотой, а также вычислять площадь боковой и полной поверхности цилиндра по заданным радиусу и высоте.
- Сформировать представление об основаниях, боковой поверхности, образующих, оси и высоте цилиндра.
- Вывести и осознанно применять формулы площади боковой поверхности $S_{бок}=2\pi rh$ и полной поверхности $S_{полн}=2\pi r(h+r)$ или $S_{полн}=S_{бок}+2\pi r^2$.
- Развивать умение анализировать пространственную модель, переводить условие практической задачи в математическую модель и проверять разумность результата.
- Воспитывать аккуратность чертежа, ответственность за обоснование решения и готовность к самостоятельному выбору способа рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость геометрических моделей при расчёте материалов для упаковки, резервуаров и конструкций.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и аргументировать математические выводы.
- Понимают ценность точности измерений, корректной записи формул и проверки результата.
- Сохраняют учебную мотивацию при решении задач повышенной сложности, связанных с будущей профессиональной деятельностью.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи геометрические данные и представляют их в виде чертежа и математической модели.
- Сравнивают площадь боковой и полной поверхности, устанавливают связи между элементами цилиндра.
- Планируют последовательность решения, осуществляют самопроверку по формуле и единицам измерения.
- Формулируют вопросы, участвуют в парном обсуждении и аргументированно оценивают предложенное решение.
Предметные
- Знать определения цилиндра, его оснований, боковой поверхности, образующей, оси и высоты.
- Уметь показывать на модели и чертеже основания, ось, образующую и высоту цилиндра.
- Понимать, что в прямом цилиндре образующая равна высоте: $l=h$.
- Уметь вычислять площадь боковой поверхности по формуле $S_{бок}=2\pi rh$ и площадь полной поверхности по формуле $S_{полн}=2\pi r(h+r)$.
- Уметь решать практические задачи на нахождение площади поверхности цилиндрического тела и округлять результат с учётом условия.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы через самооценку и рефлексию.
- Связывают изучение цилиндра с задачами технических, инженерных и естественно-научных направлений.
- Осознают необходимость точного математического языка при описании пространственных объектов.
- Проявляют самостоятельность и уважение к аргументам партнёра.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы на уроке и планируют действия по выводу формул.
- Контролируют соответствие решения условию, чертежу и единицам измерения.
- Исправляют ошибки после сопоставления с эталоном.
- Оценивают результат по заданным критериям и фиксируют затруднение для дальнейшей работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки цилиндра и классифицируют его элементы.
- Моделируют боковую поверхность цилиндра развёрткой в виде прямоугольника.
- Устанавливают связь между длиной окружности основания и длиной прямоугольника развёртки.
- Применяют формулы в задачах, анализируют полученные величины и проверяют их размерность.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру ход рассуждения с использованием терминов «основание», «образующая», «ось», «высота».
- Задают уточняющие вопросы и отвечают на возражения при проверке решения.
- Распределяют роли в парной работе и согласуют общий вариант ответа.
- Аргументированно представляют решение задачи перед классом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить объёмную модель цилиндра, рулон бумаги или цилиндрическую упаковку, линейку и нить для демонстрации развёртки боковой поверхности.
- Подготовить презентацию с изображением цилиндра, обозначениями радиуса, оси, образующей и высоты, а также с развёрткой цилиндра.
- Распечатать карточки для парной работы двух уровней — по одной карточке на каждую пару.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика, включая задания базового и повышенного уровня.
- Вывести на доску памятку: $S_{осн}=\pi r^2$, $S_{бок}=2\pi rh$, $S_{полн}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(h+r)$.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; подготовить маркер, циркуль и линейку для построения схемы.
- Разместить на партах калькуляторы по необходимости и листы для чертежей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает цилиндрическую упаковку: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем исследовать тело, которое встречается в конструкции банок, труб, резервуаров и деталей машин. Посмотрите на этот предмет: какие геометрические элементы можно выделить? Не называйте пока формулы — сначала опишем сам объект." | Рассматривают модель, называют возможные элементы: "Два круглых основания", "боковая поверхность", "высота". |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Представьте, что нам нужно оклеить боковую поверхность цилиндрической ёмкости и затем закрыть её крышками. Как определить площадь материала? Какие величины будут нужны? Сегодня мы не просто запомним формулы, а восстановим их через развёртку." | Фиксируют проблему, предполагают: "Нужны радиус и высота", "нужно узнать длину окружности основания". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для расчёта материала недостаточно назвать тело цилиндром. Нужно выделить его элементы и понять, как поверхность разворачивается на плоскость. Сначала восстановим известные свойства окружности и площади круга."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать формулы длины окружности и площади круга, необходимые для вывода формул поверхности цилиндра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: "Назовите формулу длины окружности и формулу площади круга. Что обозначает радиус? Как связаны диаметр и радиус?" Затем предлагает проверить единицы измерения. | Отвечают: "$C=2\pi r$", "$S=\pi r^2$", "$d=2r$"; называют единицы: длина измеряется в квадратных единицах для площади. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд индивидуально ответьте, что произойдёт с площадью круга при увеличении радиуса в два раза. Затем обсудите с партнёром и подготовьте объяснение." | Самостоятельно формулируют ответ, обсуждают в парах и сообщают: "Площадь увеличится в четыре раза, потому что радиус возводится в квадрат". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили две опорные формулы: длина окружности задаёт линейный размер развёртки, а площадь круга — площадь каждого основания. Теперь определим, как эти формулы связаны с цилиндром."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выделить затруднение и совместно сформулировать цель и план изучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает изображение цилиндра и задаёт вопросы: "Какие поверхности ограничивают цилиндр? Чем образующая отличается от оси? Можно ли назвать образующую высотой в любом цилиндре или только в прямом?" | Отвечают: "Два основания и боковая поверхность"; "ось соединяет центры оснований, а образующая лежит на боковой поверхности"; предполагают: "В прямом цилиндре образующая равна высоте". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: "1) назвать элементы цилиндра; 2) получить развёртку боковой поверхности; 3) вывести формулы площадей; 4) применить их в задачах. Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Научиться находить площадь боковой и полной поверхности цилиндра и объяснять происхождение формул". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План определён. Нам предстоит перейти от пространственного тела к плоской развёртке, а затем использовать полученную модель для решения практических задач."
Этап 4. Открытие нового знания: элементы и развёртка цилиндра (10 мин)
Цель этапа: сформировать представление об элементах цилиндра и вывести формулу площади боковой поверхности через развёртку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает модель: "У цилиндра два равных параллельных основания — круги. Отрезок, соединяющий центры оснований, называется осью. Отрезок боковой поверхности, параллельный оси и соединяющий окружности оснований, называется образующей. В прямом цилиндре образующая перпендикулярна основаниям и равна высоте: $l=h$." | На схеме подписывают основания, ось, образующую и высоту; проговаривают: "В прямом цилиндре $l=h$". |
4 мин | Учитель оборачивает боковую поверхность бумажной моделью и раскрывает её: "Посмотрите, во что превращается боковая поверхность при развёртке. Одна сторона прямоугольника равна образующей, то есть $h$, а другая — длине окружности основания, то есть $2\pi r$. Следовательно, площадь прямоугольника равна произведению этих сторон." | Наблюдают демонстрацию, делают вывод: "Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$". |
3 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Как найти площадь боковой поверхности? Что нужно умножить? Как получить площадь полной поверхности? Сколько оснований у цилиндра?" На доске фиксирует формулы. | Отвечают: "$S_{бок}=2\pi r\cdot h=2\pi rh$"; "$S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(h+r)$". |
Запись в тетрадях
Записать: «Цилиндр имеет два равных параллельных основания и боковую поверхность. Ось соединяет центры оснований. В прямом цилиндре образующая равна высоте: $l=h$. Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$. Поэтому $S_{бок}=2\pi rh$, $S_{полн}=2\pi r(h+r)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь формулы не являются готовыми правилами: мы получили их из геометрической модели. Проверим, умеем ли применять их сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание элементов цилиндра и алгоритм вычисления площадей в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "На рисунке цилиндра обозначены радиус $r=3$ см и высота $h=5$ см. Назовите все элементы, которые указаны на схеме, и вычислите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности. Запишите сначала формулу, затем подстановку." | В парах подписывают элементы и составляют решение: "$S_{бок}=2\pi\cdot3\cdot5=30\pi$ см²; $S_{полн}=30\pi+18\pi=48\pi$ см²". |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три пункта: правильно ли определены элементы, записана ли формула, указаны ли единицы площади. Используйте приём «Две звезды и пожелание»." | Проверяют решение другой пары, отмечают две удачные стороны и формулируют одно исправление, например: "Верно использована формула, но нужно указать см²". |
2 мин | Учитель обсуждает типичную ошибку: "Почему нельзя для боковой поверхности использовать только $\pi r^2$? Что потерялось бы в таком решении?" | Отвечают: "$\pi r^2$ — площадь одного основания, а боковая поверхность зависит ещё от высоты и длины окружности". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы применили формулы и проверили не только число, но и математическую запись. Далее каждый решит задачу самостоятельно, чтобы увидеть собственный уровень освоения алгоритма."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение выбирать формулу, выполнять вычисления и интерпретировать результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт листы с заданиями: "Выполните обязательное задание. Радиус цилиндрической детали равен 4 см, высота — 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности. Ответ выразите через $\pi$. Затем, если справились, решите дополнительное задание: площадь боковой поверхности равна $48\pi$ см², радиус равен 4 см. Найдите высоту." Учитель напоминает: "Сначала сделайте чертёж и выпишите данные." | Индивидуально записывают данные, формулы и решение. Для первого задания получают: "$S_{бок}=80\pi$ см²; $S_{полн}=112\pi$ см²". Для дополнительного: "$2\pi\cdot4\cdot h=48\pi$, $8h=48$, $h=6$ см". |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску и предлагает самопроверку: "Сверьте не только ответы, но и этапы решения. Если ответ отличается, найдите место расхождения: формула, подстановка, арифметика или единицы." | Сопоставляют свою запись с эталоном, подчёркивают найденную ошибку и исправляют её другим цветом. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно различаете площади; жёлтую — если нужна ещё одна тренировка; красную — если формулы пока смешиваются." | Показывают цвет карточки и формулируют затруднение: "Нужно ещё потренироваться в выборе полной площади" или "Уверенно применяю обе формулы". |
Эталон решения
Для $r=4$ см и $h=10$ см: $S_{бок}=2\pi rh=2\pi\cdot4\cdot10=80\pi$ см². Площадь двух оснований: $2S_{осн}=2\pi r^2=2\pi\cdot16=32\pi$ см². Тогда $S_{полн}=80\pi+32\pi=112\pi$ см². В обратной задаче $2\pi rh=48\pi$, поэтому $2\pi\cdot4\cdot h=48\pi$, $8h=48$, $h=6$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм состоит из нескольких обязательных шагов: выделить данные, выбрать формулу, выполнить вычисления и указать единицы. В завершение свяжем эти действия с практической задачей и оценим собственный результат."
Этап 7. Практическое применение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: применить формулы в реальном контексте, осознать результат урока и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает практическую задачу: "Металлическая цилиндрическая банка имеет радиус 5 см и высоту 12 см. Сколько квадратных сантиметров металла потребуется для изготовления боковой поверхности без крышек? А сколько — для банки с двумя крышками? Ответ оставьте через $\pi$ и объясните различие." | Записывают решение: "$S_{бок}=2\pi\cdot5\cdot12=120\pi$ см²; $S_{полн}=120\pi+50\pi=170\pi$ см²". Объясняют: "Для полной поверхности добавляются два основания". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите три фразы: «Сегодня я понял…», «Теперь я умею…», «Мне ещё нужно потренироваться…». Назовите одну типичную ошибку, которую важно не допустить." | Заполняют стикер и формулируют ответы: "Я понял происхождение формулы боковой поверхности", "умею находить полную площадь", "нужно потренироваться в обратных задачах". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный выполняйте по готовности. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: что является развёрткой боковой поверхности, чему равна образующая прямого цилиндра, чем отличаются $S_{бок}$ и $S_{полн}$?" | Записывают задание, отвечают на контрольные вопросы и сдают стикеры рефлексии. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы описали элементы цилиндра, вывели формулы через развёртку и применили их к расчёту материала. На следующем уроке мы продолжим работу с телами вращения и рассмотрим задачи, где неизвестными могут быть радиус, высота или площадь поверхности."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно названы элементы цилиндра, без ошибок решены обе части практической задачи, формулы обоснованы, вычисления и единицы площади записаны корректно.
- «4» — верно выбраны формулы и получена основная часть решения, но допущена одна вычислительная ошибка или неточность в оформлении единиц.
- «3» — правильно определена хотя бы площадь боковой поверхности и записана необходимая формула, но допущены ошибки в нахождении полной поверхности или в пояснении роли оснований.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о развёртке боковой поверхности цилиндра? | Выявление понимания происхождения формулы $S_{бок}=2\pi rh$. |
Какая формула сегодня стала для вас основной и почему? | Проверка осознанного выбора между площадью боковой и полной поверхности. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме: чертёж, выбор формулы, вычисления или единицы. |
Как вы оцените свою готовность решать задачи о поверхности цилиндра? | Получение субъективной самооценки и планирование дальнейшей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы рассмотрели цилиндр как пространственную модель: выделили его основания, боковую поверхность, ось и образующую. Мы увидели, что развёртка превращает боковую поверхность в прямоугольник, поэтому формула $S_{бок}=2\pi rh$ имеет понятное геометрическое обоснование. Не забывайте, что полная поверхность включает два основания, а значит, к боковой площади добавляется $2\pi r^2$. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, в которых нужно будет находить неизвестные элементы цилиндра по площади поверхности."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение площади боковой и полной поверхности прямого цилиндра по радиусу и высоте; в каждой задаче выполнить схему и указать единицы измерения. | Закрепить распознавание данных и применение формул $S_{бок}=2\pi rh$ и $S_{полн}=2\pi r(h+r)$; при проверке смотреть на выбор формулы и оформление. |
Средний (повышающий) | Решить 3 обратные задачи: по площади боковой поверхности и радиусу найти высоту, по полной поверхности и радиусу найти высоту, по радиусу и высоте определить площадь материала без одного основания. | Развить умение преобразовывать формулы и анализировать, какая часть поверхности учитывается в условии. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о расходе материала на цилиндрическую ёмкость или деталь, сравнив площадь поверхности с крышками и без крышек; округлить результат до десятых при необходимости. | Развить математическое моделирование, самостоятельность и умение интерпретировать геометрический результат в реальном контексте. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие поверхности образуют цилиндр?», «Почему развёртка боковой поверхности имеет длину $2\pi r$?», «Чем формула полной поверхности отличается от формулы боковой поверхности?», «Чему равна образующая прямого цилиндра?»
