Шар, сфера и их элементы. Изображение сферы и шара на плоскости
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся различать шар и сферу, называть их основные элементы и выполнять схематическое изображение шара и сферы на плоскости с обозначением центра, радиуса, диаметра и касательной плоскости.
- Сформировать представление о шаре как геометрическом теле и сфере как его границе, установить связь между радиусом и диаметром.
- Научить распознавать центр, радиус, диаметр, хорду и точки сферы на чертеже и в пространственной модели.
- Освоить алгоритм изображения сферы и шара на плоскости с использованием окружности, эллипса, штриховки и видимых или невидимых линий.
- Развивать пространственное воображение, умение аргументировать геометрические выводы и осуществлять самопроверку; показать связь темы с инженерией, архитектурой и будущей профессиональной деятельностью.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение пространственного мышления для изучения математики, физики, инженерных и архитектурных дисциплин.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию пространственных объектов и их изображениям на плоскости.
- Принимать ответственность за точность построений и обоснованность геометрических утверждений.
- Оценивать собственный уровень понимания темы и формулировать индивидуальную учебную задачу.
Метапредметные
- Выделять существенные признаки шара и сферы, сравнивать определения и классифицировать элементы.
- Преобразовывать пространственную модель в плоский чертёж и читать информацию, представленную условными обозначениями.
- Планировать последовательность построения изображения и проверять соответствие чертежа поставленной задаче.
- Аргументированно представлять результат парной работы, задавать уточняющие вопросы и корректно оценивать решение одноклассников.
Предметные
- Знать определения шара и сферы, их центра, радиуса, диаметра, хорды и диаметрального сечения.
- Уметь объяснять, чем сфера отличается от шара, и устанавливать соотношение между радиусом и диаметром: $d=2R$.
- Уметь распознавать элементы шара и сферы на пространственной модели и плоском чертеже.
- Владеть алгоритмом изображения сферы и шара на плоскости, включая обозначение центра, радиуса, экватора и невидимых частей.
- Уметь применять определения при решении простых задач на нахождение радиуса и диаметра.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения пространственных фигур в связи с дальнейшим обучением и профессиональными интересами.
- Проявляют готовность к самостоятельному поиску способа изображения пространственного объекта.
- Осознают ценность точности, доказательности и аккуратности математической записи.
- Осуществляют самооценку понимания различий между шаром и сферой.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют шаги построения изображения сферы и шара на плоскости.
- Сверяют чертёж с критериями: наличие центра, радиуса, диаметра, видимых и невидимых линий.
- Обнаруживают ошибки в собственном или парном чертеже и вносят коррективы.
- Оценивают результат по предложенной шкале и определяют, что необходимо повторить.
Познавательные УУД
- Сравнивают объёмное тело и его поверхность, выделяя общее и различия.
- Моделируют пространственный объект с помощью рисунка и условных обозначений.
- Устанавливают логическую связь между центром, радиусом, диаметром и хордами.
- Извлекают информацию из схемы, модели и краткого определения.
- Применяют математическую формулу $d=2R$ в учебной и практической ситуации.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, эксперт и затем меняются ролями.
- Формулируют объяснение различия между шаром и сферой в 2–3 предложениях.
- Задают вопросы к чертежу одноклассника и аргументируют замечания.
- Согласуют общий вариант изображения, учитывая предложения партнёра.
- Представляют результат работы классу в краткой устной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить объёмную модель шара: пластиковый или деревянный шар диаметром около 10–15 см, а также прозрачную сферическую модель или изображение сферы.
- Распечатать карточки для парной работы — по одной карточке на парту, всего по числу пар в классе; включить задания на распознавание элементов и исправление чертежа.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску или экран изображения мяча, глобуса, пузыря и сечения шара плоскостью для мотивационного обсуждения.
- Заранее подготовить на доске опорную схему: центр $O$, радиус $R$, диаметр $d=2R$, сфера как граница шара, шар как тело.
- Раздать каждой паре циркуль, линейку, карандаш и ластик; проверить исправность оборудования.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и небольшие листы для рефлексии.
- Организовать на доске место для эталонного чертежа сферы: окружность, эллипс-экватор, радиус, диаметр и штриховые линии.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной работы и самостоятельной проверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование пространственного объекта и создать проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает мяч, глобус и изображение пузыря: "Здравствуйте, ребята. Посмотрите на эти объекты. Что объединяет мяч, глобус и пузырь? Можно ли сказать, что они имеют одинаковую форму? Сегодня нам важно не просто назвать знакомое слово, а разобраться, что именно в геометрии называют шаром, а что — сферой." | Рассматривают модели, формулируют предположения: "Они похожи на круглые тела", "У них есть центр", "Их поверхность находится на одинаковом расстоянии от центра". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Представьте, что мы разрезали мяч и рассматриваем только его внешнюю оболочку. Это всё ещё шар? А если оставить внутреннюю часть вместе с оболочкой? Запишите в тетради два предположения и пока не исправляйте их. В конце урока мы вернёмся к этому вопросу." | Записывают два предположения, обсуждают их с соседом по парте и формулируют предварительное различие между телом и его поверхностью. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в обычной речи форму предмета часто называют одним словом, но геометрия различает тело и его поверхность. Сейчас вспомним, какие понятия помогут нам описать эту форму точно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия окружности, круга, радиуса, диаметра и сечения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран окружность и круг: "Вспомните, чем окружность отличается от круга. Что называется центром, радиусом и диаметром? Почему диаметр можно выразить через радиус? Покажите на рисунке отрезок, который является радиусом, и отрезок, который является диаметром." | Отвечают: "Окружность — граница круга, круг включает внутреннюю область"; "Радиус соединяет центр с точкой окружности"; "Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам". Показывают соответствующие отрезки. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно назовите два признака, по которым можно узнать радиус. Затем обсудите ответ с партнёром. После этого одна-две пары объяснят, почему любой диаметр состоит из двух радиусов." | В течение 30 секунд записывают признаки, 1 минуту обсуждают их в паре, затем формулируют вывод: "Диаметр проходит через центр, его длина равна двум радиусам". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили язык плоской геометрии: центр, радиус, диаметр, граница и внутренняя область. Теперь перенесём эти понятия в пространство и проверим, что изменится при вращении окружности вокруг диаметра."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает окружность и изображает её вращение вокруг диаметра: "Если окружность вращается вокруг своего диаметра, какое пространственное тело образуется? Что является его внешней границей? Чем будет отличаться весь полученный объект от одной только поверхности? Не спешите отвечать по памяти — попробуйте рассуждать по аналогии с кругом и окружностью." | Предполагают: "Образуется шар"; "Внешняя граница — сфера"; "Шар включает внутреннее пространство, а сфера является оболочкой". |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и спрашивает: "Какие знания и умения нужны, чтобы решить нашу задачу? Сформулируйте цель урока своими словами. Какие элементы необходимо научиться показывать на рисунке?" | Формулируют цель: "Различать шар и сферу, знать их элементы и уметь изображать их на плоскости". Называют центр, радиус, диаметр, хорду и экватор. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от определения и модели мы перейдём к чертежу. Сначала исследуем свойства шара и сферы, затем создадим алгоритм изображения, а после проверим его на самостоятельных заданиях."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать определения шара, сферы и их основных элементов через исследование модели и схемы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует шар и отмечает его центр: "Рассмотрим точку $O$ внутри тела. Если расстояние от точки $O$ до границы одинаково во всех направлениях и равно $R$, то граница этого тела называется сферой с центром $O$ и радиусом $R$. Само тело, ограниченное этой сферой, называется шаром. Сравните: сфера — это поверхность, шар — тело вместе с внутренней областью." | Рассматривают модель, записывают определения и проговаривают различие: "Сфера — поверхность, шар — тело". |
3 мин | Учитель показывает на модели радиус, диаметр и хорду: "Отрезок от центра до точки сферы назовём радиусом. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, — диаметром. Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, — хордой. Какая связь между диаметром и радиусом? Может ли хорда не проходить через центр?" | Указывают элементы на модели, отвечают: "Диаметр равен двум радиусам"; "Да, хорда может не проходить через центр". Записывают $d=2R$. |
4 мин | Учитель показывает сечение шара плоскостью через центр: "Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, является большим кругом, а пересечение этой плоскости со сферой — большой окружностью. Её можно назвать экватором относительно выбранного направления. Обратите внимание: экватор зависит от выбранной плоскости, а центр и радиус задают саму сферу." Учитель задаёт вопросы: "Что получится при сечении плоскостью, не проходящей через центр? Где будет находиться центр сечения?" | Формулируют вывод: "Сечение будет кругом меньшего радиуса"; "Центр сечения — проекция центра шара на плоскость сечения". Отмечают, что центральное сечение даёт большой круг. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Сфера — поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на расстоянии $R$ от центра $O$. Шар — тело, ограниченное сферой. Радиус — отрезок от центра до точки сферы. Диаметр — хорда, проходящая через центр; $d=2R$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы различаем поверхность и тело и умеем называть их элементы. Но пространственный объект нельзя полностью перенести на плоский лист без условных обозначений. Следующий вопрос — как сделать такой рисунок понятным и математически честным."
Этап 5. Построение изображения сферы и шара на плоскости (7 мин)
Цель этапа: открыть и зафиксировать алгоритм изображения сферы и шара на плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске окружность с центром $O$: "Шаг первый — изображаем внешний контур сферы окружностью. Шаг второй — отмечаем центр. Шаг третий — проводим радиус и диаметр. Чтобы показать объём, изображаем экватор в виде эллипса: его переднюю часть делаем сплошной, заднюю — штриховой. Для шара можно добавить лёгкую штриховку внутренней области или указать, что рассматривается всё тело, а не только оболочка." | Повторяют построение в тетрадях: проводят окружность, ставят точку $O$, отмечают точку $A$ на сфере, проводят $OA$, строят диаметр $BC$, изображают эллипс экватора и заднюю часть штриховой линией. |
3 мин | Учитель предлагает проверочный вопрос: "Посмотрите на два варианта рисунка. В первом есть только окружность с точкой в центре, во втором показаны окружность, эллипс и штриховая часть. Какой рисунок лучше передаёт пространственную модель? Что необходимо подписать, чтобы чертёж можно было прочитать без устного пояснения?" | Сравнивают изображения, выбирают второй вариант как более информативный, называют обязательные обозначения: $O$, $R$, $d$, точки сферы, видимые и невидимые линии. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили алгоритм: контур, центр, радиус или диаметр, экватор и обозначение невидимых частей. Сейчас проверим понимание не по памяти, а на конкретных утверждениях и чертежах."
Этап 6. Первичное закрепление. Парная работа (6 мин)
Цель этапа: закрепить определения и научиться аргументированно распознавать элементы шара и сферы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет приём «Экспертная пара»: "В каждой карточке три утверждения и один чертёж с ошибкой. Сначала один ученик читает утверждение, второй оценивает его, затем меняетесь ролями. Обязательно объясняйте не только «верно» или «неверно», но и почему." | Распределяют роли, читают инструкцию и готовят карандаши для исправлений. |
3 мин | Учитель предлагает задания: "1) Сфера — это внутренняя область шара. 2) Диаметр является хордой. 3) Все радиусы одной сферы равны. 4) На чертеже заднюю часть экватора следует показать штриховой линией. Отметьте верные утверждения и исправьте неверные. Затем найдите ошибку в рисунке, где радиус проведён от точки, не являющейся центром." | Обсуждают утверждения и записывают: первое неверно, второе верно, третье верно, четвёртое верно. Исправляют чертёж: радиус проводят от центра $O$ к точке сферы. |
2 мин | Учитель организует представление результатов: "Одна пара назовёт утверждение, с которым было труднее всего, а другая объяснит ошибку в чертеже. Остальные показывают зелёную карточку, если согласны, и жёлтую, если требуют уточнения." | Представляют аргументы: "Сфера — граница шара"; "Диаметр является хордой, потому что соединяет две точки сферы и проходит через центр". Сверяют ответы с классом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Парная проверка показала, что важнее всего не перепутать сферу с шаром и не потерять центр при построении радиуса. Теперь каждый самостоятельно применит алгоритм и проверит себя по эталону."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определений, формулы и алгоритма изображения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательное задание. Базовый уровень: назовите элементы на схеме и найдите диаметр при $R=4$ см. Средний уровень: изобразите сферу с центром $O$, радиусом $OA=3$ см и диаметром $BC$. Повышенный уровень: объясните, почему хорда, не проходящая через центр, меньше диаметра. Работайте самостоятельно, подписи выполняйте аккуратно." | Решают задания индивидуально. В базовом варианте вычисляют $d=2R=8$ см; в среднем строят схему; в повышенном формулируют обоснование через максимальность диаметра среди хорд. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске: "Проверьте по трём критериям: центр обозначен, радиус начинается в центре, диаметр проходит через центр. Если нашли ошибку, исправьте её другим цветом и поставьте рядом знак самопроверки." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают выполненные критерии. |
Эталон решения
Для задания с радиусом: дано $R=4$ см. По определению диаметра $d=2R$. Следовательно, $d=2\cdot4=8$ см. Для чертежа: сначала строится окружность с центром $O$, затем выбирается точка $A$ на окружности и проводится отрезок $OA$, после чего через $O$ проводится диаметр $BC$ с концами на сфере. Задняя часть экватора обозначается штриховой линией.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили и вычисление, и построение, и объяснение свойства. Осталось осмыслить, как полученные понятия связаны между собой и где именно возникли затруднения."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат обучения, выявить затруднения и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить различие между шаром и сферой и построить их изображение. Жёлтую — если понимаете идею, но путаетесь в обозначениях. Красную — если требуется повторное объяснение. На стикере допишите одно предложение: «Теперь я умею…» или «Мне нужно повторить…»." | Поднимают карточки, записывают индивидуальную формулировку результата или затруднения и прикрепляют стикер на доску. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом собственной уверенности. Перед выходом ответьте устно на контрольные вопросы: что является границей шара, чем диаметр отличается от хорды и зачем на рисунке нужна штриховая линия?" | Фиксируют домашнее задание, отвечают на контрольные вопросы: "Сфера является границей шара"; "Диаметр — хорда через центр"; "Штриховая линия показывает невидимую часть". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто выучили два определения, а построили модель, перевели её на плоскость и проверили себя по критериям. Сохраните чертёж: на следующих уроках он станет основой для изучения сечений шара и расстояний в пространстве."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно различены шар и сфера, правильно выполнены все обозначения центра, радиуса и диаметра, построен информативный чертёж с учётом видимых и невидимых частей, ответы обоснованы.
- «4» — определения и вычисление диаметра выполнены верно, но допущена одна неточность в обозначении или изображении экватора; ошибка самостоятельно исправлена после проверки.
- «3» — различие между шаром и сферой в целом понято, но допущены две существенные ошибки в построении или применении формулы; требуется помощь при самопроверке.
- Ниже «3» — учащийся не различает шар и сферу, не связывает диаметр с радиусом и не может построить радиус из центра без дополнительной инструкции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о различии шара и сферы? | Проверить осознание основного предметного результата урока. |
Какие элементы обязательно должны быть показаны на изображении сферы? | Выявить понимание алгоритма построения и роли условных обозначений. |
Почему диаметр является хордой, а всякая хорда не является диаметром? | Проверить логическое понимание взаимосвязи определений. |
На каком шаге построения вы испытывали затруднение и как его исправили? | Выявить точки затруднения и сформировать навык самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили важное различие: сфера — это поверхность, а шар — тело, ограниченное сферой. Мы научились находить центр, радиус, диаметр и хорду и изображать пространственный объект на плоскости с помощью условных линий. Типичная ошибка — проводить радиус не из центра или называть внутреннюю область сферой. На следующем уроке мы исследуем сечения шара и выясним, как меняется полученная окружность при удалении плоскости от центра."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: дать определения шара и сферы, выписать элементы сферы, вычислить диаметры по трём заданным радиусам и построить один чертёж сферы с центром, радиусом и диаметром. | Закрепляет определения, формулу $d=2R$ и базовый алгоритм построения; при проверке обратить внимание на точность терминов и наличие центра. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение радиуса или диаметра по известной длине другого элемента и выполнить два изображения: сферы с диаметральным сечением и шара с обозначенной внутренней областью. | Формирует применение знаний в изменённой ситуации и различение поверхности и тела; проверить обоснование каждого вычисления и корректность штриховых линий. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое исследовательское сообщение или схему о применении сферических форм в архитектуре, навигации, физике или инженерии и объяснить, какие элементы сферы используются в выбранном примере. | Развивает функциональную грамотность, пространственное мышление и умение связывать геометрию с будущей профессиональной сферой; при проверке оценить точность терминов и наличие собственного объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют сферой? Что называют шаром? Как связаны радиус и диаметр? Как на чертеже показать невидимую часть экватора? Почему центр шара нельзя выбирать произвольно?»
