Уравнение и равносильные преобразования уравнений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать уравнение и его корень, выполнять перенос слагаемого и умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число, а также обосновывать равносильность преобразований при решении не менее трёх уравнений.
- Сформировать представление об уравнении, корне уравнения и равносильных уравнениях; связать новые понятия с уже известными равенствами.
- Научить применять правила преобразования уравнений и выполнять проверку найденного корня подстановкой.
- Развивать умение анализировать ход решения, находить ошибку и выбирать задание подходящего уровня сложности.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за результат и готовность аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам преобразования математических моделей.
- Осознают значение проверки результата для достоверности решения.
- Развивают самостоятельность, настойчивость и ответственное отношение к выбору уровня задания.
- Понимают связь алгебраических умений с будущими профессиями, в которых требуется работа с моделями и данными.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность решения уравнения.
- Смыслово читают условие и математическую запись, выделяют неизвестное и известные величины.
- Сравнивают два решения, выявляют ошибочный шаг и аргументируют вывод.
- Используют интерактивную доску или цифровую карточку для проверки ответа и получают обратную связь.
Предметные
- Знать определения уравнения, корня уравнения и равносильных уравнений.
- Уметь проверять, является ли число корнем уравнения.
- Уметь переносить слагаемое из одной части уравнения в другую с изменением знака.
- Уметь умножать или делить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число.
- Уметь решать линейные уравнения и объяснять, почему выполненные преобразования сохраняют множество корней.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную ответственность за точность вычислений и проверки.
- Определяют собственный уровень понимания темы по итогам самооценки.
- Проявляют уважение к иным стратегиям решения, если они математически обоснованы.
- Связывают умение составлять и преобразовывать уравнения с решением практических задач.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют шаги решения и соотносят их с правилом преобразования.
- Осуществляют самопроверку подстановкой найденного значения.
- Находят и исправляют ошибку в собственной записи или в предложенном решении.
Познавательные УУД
- Различают уравнение и числовое равенство по наличию неизвестного.
- Моделируют преобразование уравнения на основе свойства равенства.
- Сравнивают исходное и полученное уравнения по множеству корней.
- Извлекают правило из нескольких примеров и применяют его в новой ситуации.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Обсуждают решение в паре и задают уточняющие вопросы.
- Аргументируют согласие или несогласие с предложенным преобразованием.
- Распределяют роли при совместной проверке карточки и корректно принимают замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемным равенством, определениями и схемой двух правил преобразования.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для парного анализа — по одной на пару.
- Разместить на доске памятку: «Переносим слагаемое — меняем знак» и «Умножаем или делим обе части на одно и то же ненулевое число».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы для «Билета на выход» — по одному каждому ученику.
- Подготовить ноутбук, проектор или интерактивную доску; заранее открыть интерактивную проверочную форму без указания конкретного сервиса.
- Подобрать в учебнике материал по теме для краткой опоры: определение уравнения, правила преобразования, упражнения базового и повышенного уровня.
- Подготовить таймер на экране и схему самооценки: «могу определить», «могу преобразовать», «могу объяснить равносильность».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость преобразования уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение объяснять каждый шаг решения. На экране вы видите равенство $x+7=15$. Попробуйте быстро определить неизвестное." | Открывают тетради, записывают дату, устно называют: «$x=8$». |
2 мин | Учитель показывает на экране две записи: $x+7=15$ и $x+7-7=15-7$. "Почему вторая запись помогает получить ответ? Можно ли считать эти записи равносильными? Сегодня мы найдём точное объяснение, а не будем действовать только по памяти." | Сравнивают записи, высказывают предположения: «Из обеих записей получается одно и то же значение неизвестного», «из обеих частей вычли 7». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что решение можно сделать короче с помощью преобразований. Теперь выясним, какие преобразования допустимы и почему они сохраняют ответ."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия равенства, неизвестного и проверки значения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "В течение 30 секунд определите, какие записи являются равенствами с неизвестным: $3x=12$, $5+6=11$, $y-4=9$, $18:3=6$. Затем обсудите ответ с соседом и объясните признак." | Сначала классифицируют записи индивидуально, затем обсуждают в парах и формулируют: «Уравнение содержит неизвестное и знак равенства». |
3 мин | Учитель спрашивает: "Как проверить, является ли число 4 корнем уравнения $2x+1=9$? Что означает решить уравнение?" На доске фиксирует алгоритм проверки. | Подставляют $4$ вместо $x$, вычисляют $2\cdot4+1=9$, делают вывод: «4 является корнем». Формулируют: «Решить уравнение — значит найти все его корни». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что уравнение имеет неизвестное, а найденное значение необходимо проверять. Теперь определим, какие изменения записи не меняют множество корней."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить два решения: $x+5=12$, $x=12+5$ и $x+5=12$, $x=12-5$. "Какой шаг верен? Как вы можете доказать свой выбор? Не угадывайте по внешнему виду — проверьте полученное значение." | Анализируют решения, подставляют значения $17$ и $7$, обнаруживают, что верен перенос с изменением знака: $x=12-5=7$. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Чему нам нужно научиться? Какие действия должны появиться в плане урока?" Учитель записывает предложения класса и уточняет цель. | Формулируют цель: «Узнать правила преобразования уравнений, понять равносильность и научиться решать уравнения с проверкой». Предлагают план: определить понятия, вывести правила, потренироваться, проверить себя. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в вычислении, а в обосновании знака при переносе. Сейчас мы построим два правила и проверим их на конкретных уравнениях."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать определения равносильности и правила преобразования уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Рассмотрим уравнение $x+3=10$. Если из обеих частей вычесть 3, получим $x=7$. Почему множество решений не изменилось? Слева и справа выполнено одно и то же действие, поэтому истинность равенства сохраняется." Учитель демонстрирует цепочку на доске: $x+3-3=10-3$, $x=7$. | Записывают цепочку преобразований, объясняют: «Из обеих частей вычли одно и то же число, поэтому получили уравнение с тем же корнем». |
3 мин | Учитель формулирует первое правило: "К обеим частям уравнения можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число. На практике слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак." Затем разбирает $4x-6=10$: $4x=10+6$. | Записывают правило и пример, проговаривают: «При переносе $-6$ вправо он становится $+6$». |
3 мин | Учитель показывает второе преобразование: $5x=20$, $5x:5=20:5$, $x=4$. "Можно ли делить на ноль? Почему?" Затем вводит термин: "Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными." | Фиксируют правило: обе части можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Отвечают: «На ноль делить нельзя». Приводят пример равносильных уравнений $x+2=5$ и $x=3$. |
Запись в тетрадях
- Уравнение — равенство, содержащее неизвестное, значение которого требуется найти.
- Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.
- Равносильные уравнения имеют одни и те же корни.
- К обеим частям уравнения можно прибавить или вычесть одно и то же число; обе части можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два правила, которые сохраняют корни уравнения. Теперь применим их сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка и первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить правила в устной и письменной форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку «Знак преобразования»: "Если я называю перенос слагаемого вправо с изменением знака, поднимите руки вверх; если деление обеих частей на ненулевое число — потянитесь в стороны. Выполняем движения спокойно, без резких поворотов." Учитель называет четыре действия. | Выполняют движения по инструкции, проговаривают: «Знак меняется», «Делим обе части на одно и то же ненулевое число». |
4 мин | Учитель раздаёт парам карточки: «Решите с проговариванием шагов: $x-8=13$; $3x=21$; $2x+5=17$. После решения обменяйтесь карточками и проверьте подстановкой. Используйте приём “Две звезды и пожелание”: отметьте два верных шага и один совет, если он нужен». | В парах решают уравнения: $x=21$, $x=7$, $x=6$; проговаривают правила, выполняют проверку и записывают партнёру две сильные стороны и один совет. |
Эталон решения
$2x+5=17$; переносим $5$: $2x=17-5$, $2x=12$; делим обе части на $2$: $x=6$. Проверка: $2\cdot6+5=17$, значит, $x=6$ — корень.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже применили оба правила и проверили ответы. Далее каждый выберет уровень самостоятельного задания и покажет, насколько уверенно умеет действовать без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение правил и организовать дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Базовый уровень обязателен для всех, повышающий можно выбрать при уверенной работе, дополнительный предназначен для тех, кто готов обосновать каждый вывод. Сначала решите письменно, затем проверьте ответы через интерактивную форму на экране или по эталону." | Выбирают карточку, записывают уровень и знакомятся с критериями проверки. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: $x+9=14$, $4x=28$, $3x-2=10$. Повышающий: $5x+7=32$, $2(3x-1)=16$. Дополнительный: сравнить преобразования $2x+4=12$ и $x+2=6$, объяснить их равносильность; найти ошибку в решении $7x-3=18$, $7x=18-3$, $x=15:7$. Учитель консультирует, не сообщая ответ сразу. | Индивидуально решают выбранные уравнения, выполняют проверку подстановкой, в дополнительном задании исправляют ошибку: $7x=18+3$, $x=3$. |
3 мин | Учитель выводит на экран ответы: базовый — $x=5$, $x=7$, $x=4$; повышающий — $x=5$, $x=3$; дополнительный — $x=4$, ошибка связана с неверным переносом. "Отметьте количество верных ответов и один шаг, который требовал наибольшего внимания." | Сверяют решения, исправляют ошибки красной ручкой, заполняют мини-лист самооценки и показывают карточку «Светофор». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже работает, но точность зависит от знаков и проверки. Завершим урок формулировкой главного вывода и коротким билетом на выход."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознать результат, выявить затруднения и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите фразы: “Сегодня я понял…”, “При переносе слагаемого…”, “Чтобы проверить корень, я…”. Покажите зелёный, жёлтый или красный стикер и кратко объясните выбор." | Формулируют выводы: «Равносильные уравнения имеют одни и те же корни», «при переносе меняется знак», «корень проверяют подстановкой». Выбирают цвет и называют затруднение. |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Запишите, равносильны ли уравнения $3x+6=15$ и $x+2=5$, и объясните одним предложением." | Записывают: «Да, равносильны, потому что из первого уравнения после деления обеих частей на 3 получают второе». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. В каждом решении записывайте преобразования последовательно и выполняйте хотя бы одну проверку." | Записывают выбранный уровень, уточняют критерии выполнения и сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три обязательных уравнения, преобразования записаны последовательно, знаки при переносе не нарушены, выполнена проверка не менее одного корня; дополнительное задание объяснено корректно.
- «4» — верно решены два или три обязательных уравнения, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, общий алгоритм и правило равносильности поняты.
- «3» — верно решено не менее одного обязательного уравнения, но есть ошибки в переносе слагаемых или делении; после подсказки ученик может исправить решение и выполнить проверку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое корень уравнения и как его проверить? | Проверка понимания основного предметного понятия и алгоритма проверки. |
Как изменяется знак слагаемого при переносе через знак равенства? | Выявление типичной ошибки в ключевом правиле. |
Почему уравнения $2x+4=12$ и $x+2=6$ равносильны? | Проверка понимания сохранения множества корней, а не механического действия. |
Какой уровень задания вы выбрали и что нужно повторить? | Субъективная самооценка и планирование дальнейшей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что уравнение можно преобразовывать так, чтобы его корни сохранялись. Главное правило при переносе — изменение знака, а при делении — недопустимость деления на ноль. Типичная ошибка возникает, когда ученик переносит слагаемое без изменения знака или не выполняет проверку. Дома выберите посильный уровень и обязательно объясняйте каждый шаг. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения и рассмотрим более сложные случаи преобразований."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных уравнения вида $x+a=b$, $ax=b$, $ax+b=c$ с целыми коэффициентами и выполнить проверку двух найденных корней. | Закрепляет распознавание типа уравнения, перенос слагаемых, деление на коэффициент и проверку результата. |
Средний (повышающий) | Решить 5 уравнений со скобками или несколькими слагаемыми, предварительно раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые; отдельно указать, на каком шаге применено каждое правило. | Развивает последовательное применение преобразований и умение обосновывать равносильность промежуточных записей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два различных уравнения, равносильных уравнению $3x-5=16$, решить их и письменно объяснить, почему множество корней не изменилось; найти и исправить одну специально допущенную ошибку в решении линейного уравнения. | Формирует умение создавать математическую модель, оценивать корректность рассуждения и аргументировать вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить корень уравнения?», «Что происходит со знаком при переносе слагаемого?», «Почему нельзя делить обе части уравнения на ноль?», «Как доказать, что два уравнения равносильны?»
