Определение свойств функции по графику: нули функции, промежутки знакопостоянства
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться по графику функции находить её нули, определять промежутки положительных и отрицательных значений и записывать полный вывод с использованием объединения промежутков.
- Сформировать понимание того, что нуль функции — это абсцисса точки пересечения графика с осью x, а знак функции определяется расположением графика относительно оси x.
- Научиться применять алгоритм чтения графика при выполнении заданий на нахождение нулей и промежутков знакопостоянства.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать существенные данные, сравнивать график с осью x и аргументированно объяснять полученный ответ.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи, готовность проверять решение и уважительно обсуждать разные способы рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность чтения графиков для анализа зависимостей в естественных науках, экономике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют учебную самостоятельность, выбирая уровень задания и способ проверки ответа.
- Понимают значение точной записи промежутков и координат для передачи математической информации.
- Формируют положительное отношение к поиску и исправлению собственных ошибок.
Метапредметные
- Извлекают из графика нужную информацию: координаты пересечений с осью x и расположение графика относительно этой оси.
- Планируют последовательность действий при полном описании свойств функции и проверяют соответствие ответа графику.
- Сравнивают утверждения, выделяют верные и ошибочные формулировки, приводят краткое обоснование.
- Работают с математической таблицей и используют объединение промежутков при записи ответа.
- Участвуют в парном обсуждении, формулируют вопрос и аргументируют вывод.
Предметные
- Знать определения нуля функции, положительных и отрицательных значений функции, промежутков знакопостоянства.
- Уметь находить по графику абсциссы точек пересечения с осью x.
- Уметь определять промежутки, на которых функция положительна или отрицательна, по расположению графика выше или ниже оси x.
- Уметь записывать нули функции и промежутки знакопостоянства в принятой математической форме.
- Уметь по заданным нулям и знаку на одном промежутке восстанавливать знаки функции на остальных промежутках в предложенной ситуации.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личный вклад в достижение цели урока через самостоятельное выполнение заданий рабочего листа.
- Проявляют смыслообразование, связывая математическую модель графика с описанием реальной зависимости.
- Развивают готовность спокойно относиться к ошибке как к основанию для коррекции способа действия.
- Осуществляют самоопределение по отношению к уровню сложности задания.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: научиться определять нули и знаки функции по графику.
- Планируют решение по алгоритму: найти пересечения с осью x, разделить область определения точками нулей, определить знак на каждом промежутке.
- Осуществляют самоконтроль по эталону и исправляют неточности в записи интервалов.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и выходного вопроса.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки нуля функции и промежутков знакопостоянства.
- Устанавливают связь между координатами точки графика и значением функции.
- Классифицируют участки графика по признаку расположения выше или ниже оси x.
- Моделируют свой ответ в виде таблицы знаков и записи объединения промежутков.
- Анализируют ошибочные утверждения, например смешение осей x и y или координат x и y.
Коммуникативные УУД
- Формулируют ответы полным математическим предложением.
- Обсуждают решение в парах, сравнивают основания выбора и задают уточняющие вопросы.
- Аргументируют вывод ссылкой на положение графика относительно оси x.
- Корректно принимают замечания партнёра и совместно исправляют запись.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с заданиями 1–10 по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить два дополнительных экземпляра для учащихся, которым нужна замена.
- Подготовить карточки для этапа актуализации: четыре утверждения о нуле функции и знаке функции, по одной карточке на парту.
- Вывести на доску или экран координатную плоскость с осью x и осью y, а также два простых графика с отмеченными точками пересечения с осью x.
- Заранее записать на доске тему урока и оставить место для алгоритма чтения графика.
- Подготовить памятку-эталон: выше оси x — $f(x)>0$, на оси x — $f(x)=0$, ниже оси x — $f(x)<0$.
- Распечатать лист самооценки по одному на каждого ученика: «Я могу найти нули», «Я могу определить знак», «Я могу записать объединение промежутков».
- Подготовить маркеры трёх цветов или карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для демонстрации графиков и документ-камеру для разбора одного-двух заданий рабочего листа.
- Подготовить три варианта дополнительного задания: базовый, повышающий и творческий, без привязки к номерам страниц и учебнику.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать, что график позволяет быстро описать поведение функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране график зависимости, пересекающий ось x в двух точках: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем читать график не как рисунок, а как математическое сообщение. Посмотрите на экран: где график имеет значение, равное нулю? Где он расположен выше оси x, а где ниже? Пока не называйте формулы — опишите то, что видите." | Рассматривают график, называют точки пересечения с осью x и предполагают: "На оси x значение функции равно нулю; выше оси x функция положительна, ниже — отрицательна". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, что именно нужно считывать с графика. Важно различать абсциссу и ординату. После обсуждения одна-две пары сформулируют правило для класса." | Самостоятельно формулируют ответ, затем в парах обсуждают различие между координатами $x$ и $y$ и сообщают: "Для нуля функции нужна абсцисса точки на оси x, а не её высота". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один график может сразу сообщить нам, где функция равна нулю и где её значения положительны или отрицательны. Теперь проверим, какие знания нужны для точного чтения такого графика."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, аргумента, значения функции, осей координат и знаков чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с четырьмя утверждениями и говорит: "Отметьте верные утверждения знаком плюс, ошибочные — знаком минус. На карточке записано: 1) аргумент откладывают по оси x; 2) значение функции откладывают по оси y; 3) нули функции находятся на оси y; 4) если точка графика ниже оси x, то её ордината отрицательна. Обсудите выбор в паре." | Отмечают утверждения, обсуждают основания. Формулируют: "Верны 1, 2 и 4; третье неверно, потому что нуль функции определяется по оси x". |
3 мин | Учитель проводит краткую проверку: "Покажите, где на координатной плоскости ось x. Что означает точка с координатами $(3;0)$? Что означает точка $(3; -2)$? Запомните: первая координата показывает положение по оси x, вторая — значение функции." | Показывают оси, отвечают: "Точка $(3;0)$ имеет нулевое значение функции при $x=3$; в точке $(3;-2)$ значение функции отрицательно и равно $-2$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили связь между координатами точки и значением функции. Теперь найдём место затруднения: почему недостаточно просто увидеть пересечение графика с осью и как правильно назвать полученный ответ?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить типичные ошибки и совместно построить цель и план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает график с пересечением оси x при $x=-2$ и спрашивает: "Ученик написал: «Нуль функции равен точке $(-2;0)$». Другой написал: «Нуль функции равен $0$». Кто точнее? Что нужно записать в ответе?" | Сравнивают варианты и отвечают: "Нуль функции — это значение аргумента, поэтому нужно записать $x=-2$. Точка пересечения имеет координаты $(-2;0)$, но нулём является абсцисса". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске проблемный вопрос: «Как по графику определить нули и промежутки знакопостоянства?» и предлагает составить план: "Какие действия выполним сначала, что определим после этого и как проверим запись?" | Предлагают план: "Сначала найти пересечения с осью x; затем отметить нули; потом посмотреть, где график выше и ниже оси x; в конце записать промежутки и проверить границы". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель сформулирована: научиться по графику находить нули и знаки функции. Дальше мы выведем короткий алгоритм и сразу проверим его на заданиях рабочего листа."
Этап 4. Открытие нового знания и построение алгоритма (9 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм определения нулей функции и промежутков её знакопостоянства по графику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует график и комментирует: "Рассмотрите точки, в которых график встречается с осью x. В этих точках ордината равна нулю, поэтому и значение функции равно нулю. Но в ответ мы записываем не точку и не ординату, а абсциссу: $x=a$. Эти значения аргумента называются нулями функции. Если пересечений несколько, перечисляем все абсциссы." | Находят пересечения с осью x, называют их абсциссы и записывают пример: "Если график пересекает ось x при $x=-1$ и $x=2$, то нули функции: $x=-1$ и $x=2$". |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь проведём взглядом график слева направо. Участки выше оси x соответствуют положительным значениям: $f(x)>0$. Участки ниже оси x соответствуют отрицательным значениям: $f(x)<0$. Точки нулей не включаем в промежутки положительных и отрицательных значений, потому что в них функция равна нулю." | Отмечают цветом на демонстрационном графике участки выше и ниже оси x, проговаривают: "Выше — положительна, ниже — отрицательна, на оси — равна нулю". |
3 мин | Учитель составляет на доске алгоритм и объясняет: "Шаг 1 — найти все точки пересечения с осью x. Шаг 2 — выписать их абсциссы как нули. Шаг 3 — разделить ось x найденными нулями. Шаг 4 — для каждого промежутка определить положение графика. Шаг 5 — записать ответ с круглыми скобками у нулей и объединить подходящие промежутки. Если функция положительна на двух отдельных промежутках, их записываем через знак объединения $\cup$." | Переписывают алгоритм, задают уточняющие вопросы. Формулируют вывод: "Нули разделяют область определения на промежутки, на каждом из которых знак читают по графику". |
Запись в тетрадях
Записать: «Нуль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. На графике нули — абсциссы точек пересечения с осью $x$. Выше оси $x$: $f(x)>0$; ниже оси $x$: $f(x)<0$; на оси $x$: $f(x)=0$. Алгоритм: пересечения → нули → промежутки → знак → запись ответа».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм у нас есть: сначала смотрим на пересечения, затем на положение графика. Проверим его на коротких заданиях рабочего листа, не угадывая ответ по варианту, а объясняя каждый выбор."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (7 мин)
Цель этапа: применить новый алгоритм при выполнении заданий на нуль функции, знак и анализ утверждений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит открыть рабочий лист и организует разбор заданий №1 и №2. В задании №1 нужно найти абсциссу пересечения графика с осью x, а в задании №2 — определить промежуток, где график расположен выше оси x. Учитель обращает внимание на то, что в листе используются графики и варианты ответа. | Выполняют задания №1 и №2, находят нуль функции и промежуток положительности по графику, формулируют ответы полными математическими фразами. |
2 мин | Учитель разбирает задание №3: предлагает проверить каждое утверждение по определениям нуля функции и промежутков знакопостоянства. Отдельно напоминает: нуль функции — это абсцисса, а не точка пересечения и не ордината. | Отмечают верные и неверные утверждения, исправляют ошибочные формулировки и кратко обосновывают свой выбор. |
2 мин | Учитель просит выполнить задание №4 и напоминает, что в пропуски нужно вписать абсциссы двух точек пересечения графика с осью x. | Заполняют пропуски, сверяют запись с графиком и проверяют, что указаны именно абсциссы, а не координаты точек целиком. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы потренировались различать точку пересечения и её абсциссу, а также объяснять знак функции положением графика. Теперь перейдём от отдельных ответов к таблице свойств и полному описанию."
Этап 6. Практикум: таблица свойств и полное описание (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на заданиях рабочего листа №5–№9, включая запись нескольких промежутков и объединение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует парную работу по заданиям №5 и №6. В задании №5 учащиеся устанавливают соответствие между расположением графика и знаком функции, а в задании №6 по описанию расположения графика определяют нули и промежутки положительных и отрицательных значений. | В парах устанавливают соответствие, затем заполняют таблицу свойств: отдельно указывают нули, промежуток положительности и промежутки отрицательности. |
3 мин | Учитель предлагает задания №7 и №8: в №7 нужно указать все промежутки отрицательных значений, а в №8 — для каждой функции определить нули и область положительности, после чего соединить функцию с описанием. | Решают задания индивидуально, затем сверяют ответы в парах. Следят, чтобы точки нулей не включались в промежутки знакопостоянства. |
2 мин | Учитель разбирает способ выполнения задания №9: сначала найти все нули по графику, затем определить участки выше и ниже оси x и записать полный ответ с использованием объединения промежутков. | Записывают полное описание по своему графику, используя круглые скобки и знак объединения для раздельных промежутков одного знака. |
Эталон решения
Алгоритм для задания №9: 1) прочитать по оси $x$ все абсциссы пересечений; 2) записать нули функции; 3) отметить полученными числами границы промежутков; 4) определить по графику, где он выше оси $x$, и записать $f(x)>0$; 5) определить, где он ниже оси $x$, и записать $f(x)<0$; 6) объединить разрозненные промежутки одного знака знаком $\cup$. Точки нулей не включаются, поскольку в них $f(x)=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы умеем не только выбрать один вариант, но и построить полное описание функции по графику. Осталось проверить, умеет ли каждый выполнить алгоритм самостоятельно и объяснить, почему знак меняется или сохраняется."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и применить его к условию с двумя нулями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает самостоятельно выполнить задания №9 и №10. В задании №10 нужно использовать данные самого рабочего листа: указанные два нуля функции и условие о положении графика выше оси x на заданном промежутке. Учитель напоминает: сначала определить знак на известном промежутке, затем записать знаки на остальных промежутках и объяснить вывод. | Решают задания в тетради и на рабочем листе. В №10 записывают нули, определяют знак на каждом из трёх промежутков и объясняют, как условие о расположении графика помогает сделать вывод. |
2 мин | Учитель показывает эталонный алгоритм, не называя конкретные ответы до проверки: «Проверьте, указаны ли оба нуля, разделены ли промежутки, не включены ли границы и приведено ли объяснение. Если нашли расхождение, исправьте только ошибочную строку и укажите причину ошибки». | Сверяют решение по четырём критериям, выделяют место ошибки, вносят исправления и ставят рядом условный знак «+» или «?». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, какой шаг алгоритма уже выполняется уверенно, а какой требует внимания. Завершим урок короткой рефлексией и зафиксируем личный результат."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный способ действия, выявить затруднения и сообщить домашнее задание с выбором уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти нули и оба знака; жёлтую — если нужен один пример; красную — если пока путаете оси или границы промежутков. Это не оценка, а сигнал, какую помощь выбрать." | Поднимают карточку, соотносят её цвет со своим уровнем понимания, формулируют для себя следующий шаг. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте один из повышающих. Для любого графика обязательно оформите нули отдельно, затем положительные и отрицательные промежутки, а в конце выполните проверку по алгоритму." | Записывают выбранный уровень, уточняют объём и критерии проверки. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания на нахождение нулей, положительных и отрицательных промежутков, заполнена таблица свойств и дано полное описание графика; абсциссы, скобки и объединение промежутков записаны корректно, объяснение задания №10 содержательное.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, но допущена одна неточность в записи промежутка, объединении или объяснении; определения и основной алгоритм применены правильно.
- «3» — правильно определены хотя бы один нуль и один участок знакопостоянства, однако есть две-три ошибки в границах, знаках или записи объединения; решение можно восстановить по алгоритму.
- Оценка может быть повышена при самостоятельном исправлении ошибки с объяснением причины, а не только при механической замене ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называется нулём функции и что именно нужно записывать в ответе по графику? | Проверка понимания различия между точкой пересечения, абсциссой и значением функции. |
Как определить по графику, где функция положительна и где отрицательна? | Выявление освоения связи между расположением графика и знаком значения функции. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: поиск нулей, определение знака или запись промежутков? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Что вы проверите в своей записи перед сдачей работы? | Формирование навыка самоконтроля: границы, скобки, объединение и отсутствие нулей в промежутках. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились читать график функции как набор точных математических сведений. Главное — не путать нуль функции с точкой и с ординатой: нуль — это абсцисса, при которой значение функции равно нулю. Помните также, что выше оси x функция положительна, ниже оси x отрицательна, а нули не входят в промежутки знакопостоянства. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства функций и будем связывать график с другими характеристиками зависимости. Если сегодня остались вопросы, отметьте их в листе самооценки — это поможет начать следующий урок с нужного шага."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания по готовым графикам: в каждом найти все нули функции, определить один промежуток положительности и один промежуток отрицательности; в двух заданиях записать ответ в виде объединения промежутков. | Закрепляет чтение пересечений с осью x и связь положения графика со знаком функции; при проверке обратить внимание на абсциссы и круглые скобки. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на полное описание графика: найти нули, указать все промежутки, где $f(x)>0$ и $f(x)<0$, составить краткую таблицу свойств и объяснить один выбранный знак. | Развивает последовательное применение алгоритма и точную математическую запись; при проверке смотреть, не включены ли нули в промежутки. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный эскиз графика с двумя нулями и тремя промежутками знакопостоянства, затем записать к нему полное описание. Дополнительно придумать одно ошибочное утверждение о графике и объяснить, почему оно неверно. | Формирует умение создавать математическую модель, обосновывать знак функции и анализировать типичные ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что является нулём функции? На какой оси ищут нули? Где функция положительна? Включаются ли точки нулей в промежутки знакопостоянства? Как записать два раздельных промежутка одного знака?»
