Проценты: нахождение процента от числа и числа по его проценту
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить процент от числа и число по его проценту, решая не менее четырёх из пяти учебных и практических заданий с записью способа решения и проверкой результата.
- Сформировать понимание связи между процентом, десятичной дробью и нахождением части числа.
- Научить применять алгоритмы нахождения процента от числа и числа по его проценту в учебных и жизненных ситуациях.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать способ решения, объяснять ход рассуждений и проверять ответ.
- Воспитывать внимательность при работе с числовыми данными, ответственность за правильность финансовых и бытовых расчётов, готовность аргументированно отстаивать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость процентов для анализа скидок, результатов опросов, расходов и других жизненных ситуаций.
- Проявляют познавательный интерес к поиску разных способов решения и уважение к обоснованному мнению одноклассников.
- Формируют ответственное отношение к проверке вычислений при работе с финансовой и статистической информацией.
- Развивают учебную самостоятельность: выбирают уровень задания и оценивают собственное продвижение.
Метапредметные
- Извлекают из текста задачи числовые данные, устанавливают связь между величинами и переводят процент в десятичную дробь.
- Выбирают алгоритм решения в зависимости от вопроса задачи и обосновывают выбор действия.
- Сотрудничают в паре, формулируют вопросы, сравнивают решения и корректно аргументируют ответ.
- Планируют последовательность действий, осуществляют самопроверку по эталону и исправляют обнаруженные ошибки.
Предметные
- Знать правила нахождения процента от числа и числа по его проценту.
- Уметь переводить процент в десятичную дробь и использовать умножение при нахождении процента от числа.
- Уметь использовать деление на десятичную дробь при нахождении числа по известному проценту.
- Уметь решать задачи вида «найти $p$ процентов от числа $a$» и «найти число, если $p$ процентов составляют $b$».
- Уметь записывать решение с пояснением, формулировать ответ и проверять его обратным действием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучаемого способа как инструмента принятия обоснованных решений в повседневной жизни.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору задания и ответственности за результат.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и корректно воспринимают замечания.
- Связывают математические умения с будущей учебной и профессиональной деятельностью.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют решение задачи по шагам: определить величины, перевести процент, выбрать действие, проверить ответ.
- Сверяют собственное решение с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и определяют дальнейший шаг.
Познавательные УУД
- Анализируют условие задачи и выделяют известную величину, процент и искомое число.
- Сравнивают два типа задач на проценты и выявляют различие между умножением и делением.
- Строят математическую модель практической ситуации.
- Используют таблицу, схему и формулу для представления связи между частью, целым и процентом.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ и задают уточняющие вопросы партнёру.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Сравнивают способы решения и приводят не менее одного аргумента в пользу выбранного действия.
- Соблюдают правила диалога и конструктивно исправляют неточности в рассуждении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя практическими ситуациями: скидка 15% на товар стоимостью 2400 рублей и содержание соли 8% в 500 г раствора.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить лист самооценки на каждого ученика с пунктами «нахожу процент от числа», «нахожу число по его проценту», «проверяю результат».
- Распечатать мини-эталон самостоятельной работы по одному экземпляру на парту, открываемый только после выполнения.
- Подготовить цветные карточки или сигналы «зелёный — понял», «жёлтый — нужна проверка», «красный — требуется объяснение».
- Вывесить на доске схему: «процент → десятичная дробь» и формулы $p\% = \frac{p}{100}$, $p\%$ от $a$ равны $a\cdot\frac{p}{100}$, $b$ — это $p\%$ от $x$, значит $x=b:\frac{p}{100}$.
- Подготовить таймер, маркеры, магниты и два листа формата А3 для групповой фиксации алгоритмов.
- Обеспечить оборудование: компьютер и проектор либо интерактивную доску; при отсутствии техники все задания записать на доске заранее.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске объявление: «Скидка 15% на товар стоимостью 2400 рублей». Учитель говорит: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с ситуации, с которой вы можете встретиться в магазине, интернет-сервисе или при планировании семейных расходов. Представьте, что вам нужно быстро проверить, действительно ли новая цена рассчитана правильно. Какие данные здесь известны и что хочется узнать?» | Рассматривают объявление, выделяют цену 2400 рублей и скидку 15%, формулируют вопрос: «Нужно узнать размер скидки или новую цену». |
2 мин | Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем одну минуту обсудите с соседом, как можно приблизительно оценить скидку. Не обязательно сразу знать точный алгоритм; важно объяснить ход мысли». После обсуждения учитель просит две пары представить версии. | Сначала записывают или мысленно оценивают результат, затем обсуждают в парах и предлагают варианты: «10% — это 240 рублей, значит 15% будет больше 240 рублей»; «скидка должна быть около 360 рублей». |
0 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и говорит: «Сегодня нам понадобится точный способ, который позволит не угадывать, а обосновывать расчёт». | Фиксируют вопрос урока: «Как находить процент от числа и как восстанавливать число по известному проценту?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что проценты встречаются в реальных расчётах, а приблизительной оценки бывает недостаточно. Сейчас вспомним знания, которые помогут превратить процент в удобную для вычислений форму».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать связь процентов с дробями, десятичными дробями и умножением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $1\%$, $10\%$, $25\%$, $50\%$, $75\%$. «Преобразуйте каждое значение в десятичную дробь. Объясните, почему при переводе процента мы делим число процентов на 100. Кто готов, проговорите правило полностью». | Записывают преобразования: $1\%=0{,}01$, $10\%=0{,}1$, $25\%=0{,}25$, $50\%=0{,}5$, $75\%=0{,}75$. Формулируют: «Процент — это сотая часть, поэтому число процентов делим на 100». |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить: «Найдите $\frac{1}{10}$ от 80, $\frac{1}{4}$ от 200 и $0{,}5$ от 60. Какое действие использовали? Что изменится, если вместо обычной дроби будет десятичная?» | Выполняют вычисления: 8, 50, 30; отвечают: «Чтобы найти часть числа, умножаем число на дробь». |
1 мин | Учитель раздаёт две сигнальные карточки и показывает утверждения: «20% = 0,2»; «5% от 300 — это 300 : 5»; «50% от числа — его половина». «Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, и жёлтую, если нужно обсудить». | Показывают сигналы, объясняют: «20% = 0,2 — верно»; «300 : 5 — неверно, нужно умножить 300 на 0,05»; «50% — половина числа». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что процент переводится в десятичную дробь, а часть числа находится умножением. Но пока мы не разобрали обратную ситуацию: как найти всё число, если известна только его процентная часть. Это и будет нашим затруднением».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить различие двух типов задач и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает две задачи: «1. Найдите 15% от 2400 рублей. 2. 15% некоторого числа составляют 360 рублей. Найдите это число». Учитель спрашивает: «Что общего у задач? Чем различается вопрос? Можно ли решить вторую задачу тем же действием, что и первую? Обсудите в парах 40 секунд». | Сравнивают условия в парах, называют общие данные и различие: «В первой задаче известно целое число и ищется часть, во второй известна часть и ищется целое». Предполагают: «Во второй задаче потребуется обратное действие». |
2 мин | Учитель организует короткий сократовский диалог: «Если 15% числа равны 360, то каким выражением можно записать эти 15%? Что нужно сделать, чтобы из 15% получить 100%? Сформулируйте цель урока одним предложением». | Рассуждают: «15% — это $0{,}15$ от неизвестного числа, значит $0{,}15x=360$»; «Чтобы найти всё число, нужно разделить 360 на 0,15»; формулируют цель: «Научиться находить процент от числа и число по его проценту». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили два направления: от целого к части и от части к целому. Теперь построим два алгоритма и проверим их на конкретных примерах».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно сформулировать алгоритмы решения двух типов задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает первую задачу: «Найдите 15% от 2400 рублей. Сначала назовите число, от которого берём процент. Затем переведём 15% в десятичную дробь и выполним действие». Учитель записывает на доске: $15\%=0{,}15$; $2400\cdot0{,}15=360$. «Ответьте полным предложением: что означает число 360?» | Записывают решение: $15\%=0{,}15$; $2400\cdot0{,}15=360$ рублей. Формулируют: «15% от 2400 рублей составляют 360 рублей». Объясняют, что найдено произведение целого числа и десятичной дроби. |
3 мин | Учитель предлагает вывести второй способ на задаче: «15% некоторого числа составляют 360 рублей. Найдите это число». Учитель спрашивает: «Как обозначим неизвестное? Как записать условие с помощью уравнения? Как найти $x$?» Затем показывает запись: $0{,}15x=360$; $x=360:0{,}15=2400$. | Обозначают неизвестное через $x$, составляют уравнение $0{,}15x=360$, делят обе части на $0{,}15$, получают $x=2400$. Проверяют: $2400\cdot0{,}15=360$. |
3 мин | Учитель оформляет на доске «Шпаргалку-напоминание»: «Чтобы найти $p\%$ от числа $a$, переведите $p\%$ в десятичную дробь и умножьте $a$ на эту дробь. Чтобы найти число $x$, если $p\%$ от него равны $b$, разделите $b$ на десятичную дробь, соответствующую $p\%$». Учитель просит учащихся привести по одному собственному примеру и назвать проверку. | Переписывают алгоритмы, составляют примеры: «20% от 150 равны 30» и «30 — это 20% от 150». Проговаривают проверку обратным действием. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: $p\%=\frac{p}{100}$; чтобы найти $p\%$ от $a$, вычисляют $a\cdot\frac{p}{100}$; если $p\%$ числа $x$ равны $b$, то $x=b:\frac{p}{100}$. Отдельно записывают различие: «ищем часть — умножаем; ищем целое по части — делим».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритмы построены. Главное различие уже видно: вопрос задачи определяет действие. Теперь применим правила сначала вместе, с обязательным проговариванием каждого шага».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор действия и алгоритм решения через парную работу с проговариванием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданиями: «Вычислите 35% от 240; найдите число, если 40% этого числа равны 72. В каждой задаче сначала подчеркните вопрос, затем подпишите тип: “часть от целого” или “целое по части”». | Распределяют роли решающего и проверяющего, подчёркивают вопрос, подписывают тип задачи и решают: $240\cdot0{,}35=84$; $72:0{,}4=180$. |
3 мин | Учитель просит две пары представить решения и задаёт уточняющие вопросы: «Почему в первой задаче умножали? Почему во второй делили? Каким действием можно проверить второй ответ?» Учитель фиксирует правильные формулировки на доске. | Представляют решения у доски, отвечают: «В первой задаче ищем часть от известного целого, поэтому умножаем»; «Во второй восстанавливаем целое по известной части, поэтому делим»; выполняют проверку $180\cdot0{,}4=72$. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите цвет, который отражает ваше понимание выбора действия. Если видите ошибку в решении на доске, не называйте только ответ, а укажите шаг, который нужно исправить». Учитель кратко разбирает типичную ошибку: деление числа на количество процентов без перевода процентов в дробь. | Показывают сигнал, формулируют вопросы и исправления: «Нельзя делить 72 на 40; нужно разделить на 0,4, потому что 40% = 0,4». |
Эталон решения
Задача 1: $35\%=0{,}35$; $240\cdot0{,}35=84$. Ответ: 84. Задача 2: $40\%=0{,}4$; $x=72:0{,}4=180$. Проверка: $180\cdot0{,}4=72$. Ответ: 180.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы научились определять направление задачи и выбирать действие. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а затем сравнит решение с эталоном».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение обоими алгоритмами и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет инструкцию: «Работаем индивидуально. Сначала решите обязательные задания, затем выберите одно повышенное, если чувствуете готовность. Записывайте не только ответ, но и перевод процента в десятичную дробь. После сигнала переверните лист с эталоном». | Читают инструкцию, выбирают обязательный и, при готовности, повышенный уровень, готовят тетради. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки. Обязательные задания: «1. Найдите 18% от 500. 2. Найдите число, если 25% этого числа равны 45. 3. В классе 28 учеников, 75% из них участвуют в олимпиаде. Сколько это учеников?» Повышенное задание: «После скидки 20% товар стоит 1600 рублей. Какова была первоначальная цена?» Учитель наблюдает и задаёт адресные вопросы, не сообщая ответ. | Индивидуально решают: $500\cdot0{,}18=90$; $45:0{,}25=180$; $28\cdot0{,}75=21$. Желающие составляют модель повышенной задачи: $0{,}8x=1600$, $x=2000$. |
3 мин | Учитель говорит: «Теперь откройте эталон на парте, проверьте каждую строку и отметьте: “+” — верно, “?” — есть вопрос, “–” — требуется исправление. Ошибку исправляйте другим цветом и подпишите её причину: неверно перевёл процент, выбрал действие или допустил вычислительную ошибку». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, классифицируют причину затруднения и ставят отметку о выполнении. |
Эталон решения
1) $18\%=0{,}18$; $500\cdot0{,}18=90$. 2) $25\%=0{,}25$; $x=45:0{,}25=180$. 3) $28\cdot0{,}75=21$. 4) После скидки осталось $100\%-20\%=80\%=0{,}8$ первоначальной цены; $0{,}8x=1600$; $x=1600:0{,}8=2000$ рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала не только количество правильных ответов, но и характер ошибок. Сейчас перенесём алгоритм в новую жизненную ситуацию и объясним, почему выбранное действие действительно подходит».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить знания в практической задаче, обобщить алгоритмы и оценить достижение цели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу с реальным контекстом: «В семейном бюджете на продукты запланировано 12 000 рублей. На овощи потратили 18% этой суммы. Сколько рублей потратили на овощи? Какую часть бюджета составят 2160 рублей?» Учитель просит сначала решить первую часть, затем сформулировать обратный вопрос. | Решают: $12000\cdot0{,}18=2160$ рублей. Формулируют обратную связь: «2160 рублей составляют 18% от 12000 рублей». Объясняют, что в первой части ищется процент от числа. |
2 мин | Учитель организует приём «Одноминутная записка»: «За одну минуту запишите продолжение двух фраз: “Если ищу процент от числа, я…” и “Если ищу число по его проценту, я…”. Затем поставьте зелёный, жёлтый или красный знак рядом с каждым утверждением». | Записывают: «умножаю число на десятичную дробь, соответствующую проценту»; «делю известную часть на десятичную дробь». Отмечают собственный уровень понимания. |
2 мин | Учитель возвращается к мотивационной задаче: «Мы начинали со скидки 15% от 2400 рублей. Каков размер скидки? Какова цена после скидки? Назовите оба действия и объясните их». | Отвечают: «Размер скидки $2400\cdot0{,}15=360$ рублей; новая цена $2400-360=2040$ рублей». Объясняют, что сначала нашли процент от числа, затем вычли скидку из первоначальной цены. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились видеть за процентами отношения части и целого. Вы умеете находить часть умножением, восстанавливать целое делением и проверять результат обратным действием. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы и выберите подходящий уровень домашнего задания».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три обязательных задания самостоятельной работы, записаны переводы процентов в десятичные дроби, приведены действия и выполнена проверка хотя бы одной задачи; повышенное задание решено верно при его выборе.
- «4» — верно выполнены два обязательных задания из трёх, алгоритм выбран правильно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка; ход решения в целом понятен.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно обязательное задание и распознаны типы задач, но допущены ошибки в переводе процентов или выборе действия, требующие коррекции по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о двух типах задач на проценты? | Выявление осознания различия между нахождением части и восстановлением целого. |
Какое действие нужно выбрать, если требуется найти процент от известного числа? Почему? | Проверка понимания алгоритма и связи действия с условием задачи. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: перевод процентов, выбор действия или вычисления. |
Как вы проверите, что найденное число действительно является исходным? | Проверка сформированности навыка обратной проверки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились использовать проценты не только в готовых формулах, но и в реальных ситуациях: при расчёте скидки, расходов и долей. Запомните главный ориентир: если ищем часть от целого, умножаем, а если восстанавливаем целое по известной части, делим на десятичную дробь. Типичная ошибка — разделить на число процентов, забыв сначала перевести его в дробь. Дома закрепите алгоритмы на задачах разного уровня. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные задачи на проценты, в том числе связанные с увеличением и уменьшением величины».},{
