Вычисление значений степеней. Возведение в степень отрицательных чисел
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться вычислять значения степеней натуральных, отрицательных и дробных чисел, определять знак результата по чётности показателя и объяснять различие между выражениями $(-2)^2$ и $-2^2$.
- Закрепить правило вычисления степени натурального числа как произведения одинаковых множителей и применять его при выполнении вычислительных заданий.
- Выявить и сформулировать закономерность знака степени отрицательного числа: при чётном показателе результат положителен, при нечётном — отрицателен.
- Научиться соблюдать порядок действий и учитывать скобки при вычислении выражений, содержащих отрицательное основание.
- Развивать навыки самоконтроля, аргументации решения и сотрудничества при проверке заданий; воспитывать ответственное отношение к точности вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точности записи и соблюдения порядка действий для получения верного математического результата.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за результат своей работы.
- Понимают ценность проверки вычислений как универсального навыка, необходимого в учёбе и практической деятельности.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднений при работе с отрицательными числами и степенями.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки степени и используют их для классификации выражений по знаку результата.
- Читают математическую запись с учётом скобок, порядка действий и значения основания степени.
- Сравнивают два выражения, формулируют гипотезу о знаке степени отрицательного числа и проверяют её на примерах.
- Планируют последовательность вычислений, выполняют самопроверку по образцу и корректируют найденные ошибки.
Предметные
- Знать определение степени с натуральным показателем и правило вычисления степени отрицательного числа.
- Уметь вычислять значения степеней натуральных, отрицательных и дробных чисел.
- Уметь различать выражения $(-2)^2$ и $-2^2$, объясняя роль скобок и порядок действий.
- Уметь определять знак результата при возведении отрицательного числа в чётную или нечётную степень.
- Владеть алгоритмом вычисления выражений, содержащих степени, и выполнять проверку результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: научиться безошибочно вычислять степени отрицательных и дробных чисел.
- Осознают необходимость внимательного отношения к математическим символам и скобкам.
- Проявляют самостоятельность при выборе задания и готовность открыто обозначить затруднение.
- Оценивают собственный прогресс по итогам самостоятельной работы и рефлексии.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения при сравнении выражений $(-2)^2$ и $-2^2$.
- Планируют вычисление: определяют основание, показатель, знак результата и выполняют умножение.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют её.
- Оценивают степень достижения цели по результатам самостоятельной работы и контрольных вопросов.
Познавательные УУД
- Воспроизводят определение степени и переводят запись степени в произведение одинаковых множителей.
- Анализируют несколько примеров, выявляют зависимость знака результата от чётности показателя.
- Сравнивают математические выражения, моделируют вычисление в виде пошагового алгоритма.
- Работают с информацией на доске, в карточке и в записи собственного решения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с объяснением роли скобок и порядка действий.
- Обсуждают в парах различия между решениями, корректно аргументируют несогласие.
- Задают уточняющие вопросы о знаке результата и способе вычисления дробной степени.
- Участвуют во взаимопроверке, сообщают партнёру две сильные стороны решения и одну рекомендацию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде тему урока, алгоритм вычисления степени и таблицу примеров со степенями отрицательных чисел.
- Распечатать карточки для проверки домашнего задания — по одной на каждого ученика, с четырьмя короткими примерами на вычисление степеней.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, с заданиями на натуральные, отрицательные и дробные основания.
- Вывести на экран пары выражений $(-2)^2$ и $-2^2$, а также $(-2)^3$ и $-2^3$ для проблемного сравнения.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для поэтапной самопроверки, закрытый до момента проверки.
- Раздать каждому ученику лист самооценки с пунктами «Я умею вычислять степень», «Я определяю знак», «Я учитываю скобки».
- Подготовить маркеры или цветные мелки: одним цветом выделять основание, другим — показатель и скобки.
- Оборудование: доска, проектор или интерактивная панель, таймер, тетради, ручки и калькуляторы не использовать, чтобы проверить вычислительные навыки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать, что одна скобка может изменить результат вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для работы. Сегодня нам особенно понадобится внимательность: в теме урока одна пара скобок может изменить ответ. Запишите дату и тему, которую вы видите на доске." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока: «Вычисление значений степеней. Возведение в степень отрицательных чисел». |
2 мин | Учитель показывает на экране выражения $(-2)^2$ и $-2^2$: "Посмотрите на две записи. Они выглядят почти одинаково. Как вы думаете, получатся ли одинаковые ответы? Не спешите вычислять вслух: сначала предположите, где может быть скрыта ошибка. В конце урока мы вернёмся к этому вопросу и дадим точное объяснение." | Индивидуально выдвигают предположение, затем обсуждают его с соседом 30 секунд; называют варианты: «Ответы могут быть разными из-за скобок», «Нужно сначала возвести число в степень». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что запись степени требует внимательного чтения. Сначала проверим, насколько уверенно мы умеем вычислять обычные степени, а затем разберём случай с отрицательным основанием."
Этап 2. Проверка домашнего задания и актуализация знаний (7 мин)
Цель этапа: проверить усвоение определения степени и актуализировать алгоритм вычисления степеней натуральных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки: "Выполните четыре задания самостоятельно: представьте $3^4$ произведением и вычислите; найдите $5^2$; вычислите $2^5$; объясните, что означает запись $7^3$. На работу две минуты. Не пользуйтесь калькулятором, потому что сейчас мы проверяем понимание определения степени." | Решают: $3^4=81$, $5^2=25$, $2^5=32$; объясняют: «$7^3$ — это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 7». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседом. Сверяйте не только ответы, но и запись произведения. Если нашли ошибку, подчеркните место и напишите короткую рекомендацию: ‘проверь число множителей’ или ‘проверь умножение’." | Обмениваются карточками, сверяют четыре задания, отмечают правильные решения и записывают одну рекомендацию партнёру. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы классу: "Что называется основанием степени? Что называется показателем? Сколько множителей будет в записи $a^n$? Как изменится запись, если основание отрицательное?" Учитель фиксирует на доске: $a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a$ — $n$ множителей. | Отвечают: «Основание — число, которое возводят в степень», «Показатель показывает число одинаковых множителей», «При отрицательном основании нужно сохранить скобки». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: $a^n$ — произведение $n$ одинаковых множителей, равных $a$; $a$ — основание степени, $n$ — показатель степени.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определение степени мы вспомнили и убедились, что натуральные основания вычисляем уверенно. Теперь выясним, как знак основания и чётность показателя влияют на знак результата."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при вычислении степени отрицательного числа и сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $(-2)^2$ и $-2^2$. "Вычислите оба выражения. Работайте в парах и обязательно проговаривайте порядок действий. В первом выражении сначала определите основание степени, во втором внимательно посмотрите, что именно возводится в квадрат." | В парах вычисляют: $(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4$; $-2^2=-(2^2)=-4$. Формулируют: «Выражения не равны, потому что скобки включают отрицательный знак в основание». |
1 мин | Учитель спрашивает: "Почему в одном случае результат положительный, а в другом отрицательный? Можно ли просто сказать ‘минус в квадрате становится плюсом’? Что именно возводится в квадрат?" | Отвечают: «В $(-2)^2$ в квадрат возводится всё число $-2$, а в $-2^2$ сначала возводится в квадрат число 2, затем ставится минус». |
2 мин | Учитель направляет постановку цели: "Сформулируйте, что нам нужно узнать и научиться делать сегодня. Какие примеры помогут проверить вашу гипотезу?" Учитель записывает сформулированную классом цель и план: вычислить произведения, сравнить чётные и нечётные показатели, проверить правило на дробях. | Формулируют цель: «Научиться вычислять степени отрицательных чисел и определять знак результата». Предлагают план: «Рассмотреть примеры с показателями 2 и 3, затем проверить правило на дробях». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в самом умножении, а в чтении записи и определении основания. Сейчас мы построим правило по нескольким примерам, а не просто запомним его."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести закономерность знака степени отрицательного числа и применить её к дробным основаниям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает пары примеров: $(-2)^2$, $(-2)^4$, $(-2)^3$, $(-2)^5$. "Раскройте каждую степень как произведение и вычислите. Не забывайте: отрицательные множители перемножаются попарно. Посмотрите, что происходит со знаком в первых двух и последних двух примерах." | Записывают и вычисляют: $(-2)^2=4$, $(-2)^4=16$, $(-2)^3=-8$, $(-2)^5=-32$. Выделяют знаки результатов и замечают: «При чётном количестве отрицательных множителей знак положительный, при нечётном — отрицательный». |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Если показатель чётный, сколько отрицательных множителей можно объединить в пары? Какой знак имеет каждая пара? Что получится при нечётном показателе? Сформулируйте правило одним предложением." | Отвечают: «При чётном показателе все множители объединяются в пары, каждая пара даёт плюс, поэтому результат положительный». «При нечётном один отрицательный множитель остаётся без пары, поэтому результат отрицательный». |
2 мин | Учитель фиксирует правило на доске: "Если основание отрицательное, то степень с чётным показателем положительна, а степень с нечётным показателем отрицательна. Но правило работает только тогда, когда отрицательное число заключено в скобки. Теперь проверим его на дробях." | Записывают правило, задают уточняющие вопросы о роли скобок и приводят собственный пример: $(-3)^2$ или $(-4)^3$. |
2 мин | Учитель разбирает два примера: "Вычислим $(\frac{2}{3})^2$ и $(-\frac{1}{2})^3$. Степень дроби означает, что в степень возводятся и числитель, и знаменатель. Для второго примера отдельно определим знак по нечётности показателя." | Выполняют записи: $(\frac{2}{3})^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$; $(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1^3}{2^3}=-\frac{1}{8}$. Формулируют: «Квадрат положительной дроби положителен, куб отрицательной дроби отрицателен». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают правило: «При возведении отрицательного числа в чётную степень получается положительное число, а в нечётную степень — отрицательное число». Для дробей записывают: $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$ при $b\ne0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели правило по структуре произведения: знак определяется количеством отрицательных множителей. Теперь проговорим алгоритм и применим его к заданиям вместе, чтобы каждый шаг стал привычным."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм вычисления степени с проговариванием основания, показателя, знака и значения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает работу у доски и в тетрадях: "Выполним три примера: $(-3)^2$, $(-2)^3$, $(-\frac{3}{4})^2$. Для каждого примера действуем по алгоритму: называем основание и показатель, определяем знак, возводим модуль в степень, записываем ответ. Первый пример решим вместе." | У доски ученик проговаривает: «Основание $-3$, показатель 2, степень чётная, знак плюс; $(-3)^2=9$». Остальные записывают решение в тетради. |
2 мин | Учитель обращается к классу: "Теперь решите второй пример. Почему нельзя записать ответ положительным? Объясните не только результат, но и знак." | Вычисляют $(-2)^3=-8$, объясняют: «Показатель нечётный, один отрицательный множитель остаётся без пары, поэтому результат отрицательный». |
2 мин | Учитель предлагает третий пример и организует взаимопроверку: "Решите $( -\frac{3}{4})^2$, затем обменяйтесь тетрадями. Проверьте знак, возведение числителя и знаменателя, сокращение дроби. Поставьте рядом с решением знак ‘+’, если всё верно, или напишите, какой шаг нужно исправить." | Вычисляют $(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$, проверяют решение партнёра, фиксируют замечание по критерию «знак — числитель — знаменатель». |
Эталон решения
$(-\frac{3}{4})^2=\frac{(-3)^2}{4^2}=\frac{9}{16}$. Показатель 2 чётный, поэтому знак результата положительный. Числитель и знаменатель возводятся во вторую степень отдельно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже можно применять без подсказки: сначала читаем запись, затем определяем знак и только после этого выполняем вычисление. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно, выбрав подходящий уровень задания."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение вычислять степени и соблюдать порядок действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень осознанно. Базовый вариант обязателен для всех; средний поможет проверить устойчивость навыка; продвинутый можно выбрать тем, кто готов объяснять каждый шаг. Работайте без подсказок и записывайте решение полностью." | Выбирают карточку, подписывают её и готовят рабочее место. |
6 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами, не сообщая ответ: "Что является основанием? Чётный или нечётный показатель? Где в выражении стоят скобки? Проверьте отдельно числитель и знаменатель." На доске остаётся только краткий алгоритм. | Индивидуально решают выбранный вариант. Базовый вариант: $2^4$, $(-3)^2$, $(-2)^3$, $(-\frac{1}{3})^2$. Средний вариант дополнительно содержит $(-5)^4$, $(\frac{2}{5})^3$, $-3^2$, сравнение $(-4)^2$ и $-4^2$. Продвинутый вариант содержит выражения $(-\frac{2}{3})^4$, $-(-2)^3$, $(-2)^2-2^3$. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте работу по шагам. За каждый пример сначала проверьте знак, затем числовое значение. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните неверный шаг и рядом запишите исправленный вариант. Подсчитайте количество полностью верных заданий." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, записывают результат самопроверки и отмечают в листе: «умею», «нужна тренировка» или «пока затрудняюсь». |
Эталон решения
Ключевые ответы: $2^4=16$; $(-3)^2=9$; $(-2)^3=-8$; $(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$; $(-5)^4=625$; $(\frac{2}{5})^3=\frac{8}{125}$; $-3^2=-9$; $(-4)^2=16$, $-4^2=-16$; $(-\frac{2}{3})^4=\frac{16}{81}$; $-(-2)^3=8$; $(-2)^2-2^3=4-8=-4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность связана не с умножением, а с чтением основания и скобок. Если ошибка появилась именно там, дома начните решение с выделения основания и показателя. Завершим урок проверкой главного вывода и короткой рефлексией."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить правило, вернуть ответ на проблемный вопрос и определить дальнейшую учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к началу урока: "Сравните ещё раз $(-2)^2$ и $-2^2$. Объясните различие одной полной фразой. Затем сформулируйте правило о знаке степени отрицательного числа." | Отвечают: «$(-2)^2=4$, потому что в квадрат возводится число $-2$ целиком; $-2^2=-4$, потому что сначала возводится в квадрат число 2, а затем ставится знак минус». Формулируют правило о чётном и нечётном показателе. |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который соответствует вашему состоянию: зелёный — уверенно вычисляю, жёлтый — иногда ошибаюсь со знаком или скобками, красный — нужна помощь. Запишите в листе самооценки один конкретный шаг, который будете тренировать." | Поднимают выбранную карточку, заполняют лист самооценки: например, «внимательнее определять основание» или «проверять знак при нечётном показателе». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень в соответствии с результатом самостоятельной работы. Перед уходом ответьте письменно на два вопроса: что определяет знак степени отрицательного числа и почему $(-2)^2\ne-2^2$?" | Записывают домашнее задание и контрольные вопросы, задают уточняющие вопросы по формату выполнения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 90% заданий выбранной карточки, правильно определены основания и показатели, объяснены знаки результатов, запись вычислений полная и аккуратная.
- «4» — верно выполнены не менее 75% заданий, допущена одна вычислительная ошибка или одна неточность в объяснении роли скобок, но общий алгоритм применён правильно.
- «3» — верно выполнены не менее 50% заданий, правило чётности показателя в основном применено, однако имеются ошибки в вычислении дробей, знаках или порядке действий.
- Ниже базового уровня — требуется повторить алгоритм по шагам и выполнить дополнительную тренировку на определение основания, показателя и знака результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о знаке степени отрицательного числа? | Проверка осознания закономерности, связанной с чётностью показателя. |
Почему выражения $(-2)^2$ и $-2^2$ имеют разные значения? | Выявление понимания порядка действий и роли скобок. |
На каком шаге вычисления степени вы сегодня ошибались или сомневались? | Выявление точек затруднения в индивидуальном алгоритме. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Формирование самооценки и фиксация ближайшей учебной цели. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились вычислять степени отрицательных и дробных чисел и вывели правило о знаке результата. Самая частая ошибка возникает тогда, когда знак минус принимают за часть основания без скобок или, наоборот, забывают учесть порядок действий. Поэтому при каждом вычислении сначала определяйте основание и показатель, затем знак и только после этого выполняйте умножение. На следующем уроке мы продолжим работать с выражениями, содержащими степени, и будем использовать это правило в более сложных вычислениях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 выражений на вычисление степеней: две степени натуральных чисел, две степени отрицательных чисел с чётным и нечётным показателями, две степени дробей. Отдельно сравнить $(-3)^2$ и $-3^2$. | Закрепляет алгоритм вычисления и проверяет понимание роли скобок; при проверке обратить внимание на знак результата и полную запись произведения. |
Средний (повышающий) | Выполнить 8 выражений, содержащих степени и действия сложения или вычитания, включая $(-2)^3+5$, $(-\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}$ и аналогичные выражения с другими числами. Для двух примеров записать объяснение порядка действий. | Формирует умение применять правило в выражениях и соблюдать порядок действий; при проверке смотреть, выполнено ли возведение в степень до сложения или вычитания. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 4 пары выражений, различающихся только скобками, например $(-4)^2$ и $-4^2$, вычислить их и письменно объяснить, почему ответы различаются. Дополнительно сформулировать общий вывод о знаке степени отрицательного числа. | Развивает анализ математической записи и аргументацию; при проверке учитывать корректность пар, вычислений и объяснения закономерности. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется основанием степени? Как определить знак $(-a)^n$ по показателю $n$? Чем отличаются $(-2)^2$ и $-2^2$? Как вычислить $(-\frac{1}{2})^3$?»
