Реальные зависимости: как описывать взаимосвязь величин
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться распознавать реальные зависимости между величинами, выделять зависимую и независимую величины, составлять таблицу значений и формулу простой зависимости на основе жизненной ситуации.
- Сформировать представление о зависимости одной величины от другой на примерах движения, покупок и расхода ресурсов.
- Научиться определять, какая величина изменяется свободно, а какая определяется её значением.
- Научиться переходить от словесного описания зависимости к таблице и формуле.
- Развивать умение объяснять выбор модели, проверять результат и сотрудничать при решении практической задачи.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгебры для описания расходов, движения и планирования деятельности.
- Проявляют интерес к поиску математической модели реальной ситуации.
- Развивают ответственное отношение к точности вычислений и проверке полученного результата.
- Получают опыт выбора уровня задания и аргументированного отстаивания собственной модели.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные в условии и представляют их в виде таблицы.
- Сравнивают словесное, табличное и формульное описание одной зависимости.
- Планируют последовательность решения практической задачи и проводят самопроверку.
- Формулируют вопросы, обсуждают варианты в паре и аргументируют выбранную зависимость.
Предметные
- Знать смысл понятий «зависимая величина», «независимая величина», «значение зависимости».
- Уметь по условию реальной задачи определять взаимосвязанные величины.
- Уметь составлять таблицу значений и формулу зависимости вида $y=kx$ или $y=kx+b$ в простых практических ситуациях.
- Уметь находить значение одной величины по заданному значению другой и объяснять смысл результата.
- Владеть способом проверки соответствия формулы условию задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают роль математической модели в принятии решений в повседневной жизни.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе задания базового или повышенного уровня.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и точность своего вывода.
- Связывают изучаемый материал с будущими профессиями, связанными с расчётами и анализом данных.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с реальной ситуацией и составляют план решения.
- Контролируют соответствие единиц измерения, таблицы и формулы условию.
- Находят ошибку в вычислении или выбранной зависимости и корректируют решение.
- Оценивают результат по заданным критериям и фиксируют затруднение.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из текста задачи, таблицы и схемы.
- Устанавливают причинно-следственную связь между изменением величин.
- Строят математическую модель реальной ситуации в виде таблицы и формулы.
- Сравнивают модели прямой и линейной зависимости на доступных примерах.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: вычислитель и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о выборе независимой величины и формулы.
- Объясняют ход рассуждения, используя математические термины.
- Учитывают мнение партнёра и приходят к согласованному выводу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с тремя ситуациями: стоимость нескольких одинаковых товаров, путь при постоянной скорости, расход воды при известном времени.
- Подготовить раздаточные карточки трёх уровней: базового, повышающего и дополнительного — по одной на каждого ученика.
- Распечатать таблицу для исследования зависимости «стоимость яблок — масса покупки» по одной на парту.
- Подготовить цветные карточки или стикеры для приёма «Светофор»: зелёный, жёлтый и красный на каждого ученика.
- Вывесить на доске памятку: «1. Назови величины. 2. Определи независимую величину. 3. Составь таблицу. 4. Запиши формулу. 5. Проверь смысл результата».
- Подготовить фрагмент текста из используемого на уроке учебника по теме зависимости; конкретный номер страницы учитель выбирает по своей линии УМК.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры, тетради и часы с таймером.
- Разместить на доске критерии практической работы: правильность определения величин, таблицы, формулы и объяснения результата.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто считать, а выяснять, как одна величина связана с другой." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради и учебник на теме урока. |
3 мин | Учитель показывает на экране три ситуации: «За каждый килограмм яблок платят 120 рублей», «Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч», «За 5 минут из крана вытекает 10 литров воды». Учитель спрашивает: "Что общего у этих ситуаций? Какая величина изменяется, а какая зависит от неё? Где такая информация может пригодиться?" | В течение 30 секунд формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают его в паре и предлагают классу варианты: "Стоимость зависит от массы", "Путь зависит от времени", "Количество воды зависит от времени". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в обычной жизни величины редко существуют изолированно. Сегодня научимся описывать такую связь математически — словами, таблицей и формулой."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о величинах, координатах, формулах и вычислении значения выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним, что такое величина. Назовите величины, которые можно измерить, и единицы их измерения. Почему важно записывать единицы?" На доске фиксирует ответы: масса — кг, время — ч, расстояние — км, стоимость — руб. | Называют величины и единицы измерения, объясняют: "Единицы помогают понять смысл числа и сравнить результаты". |
2 мин | Учитель записывает на доске формулу $s=vt$ и спрашивает: "Что обозначают буквы? Как найти путь, если скорость 60 км/ч, а время 2 часа?" | Расшифровывают обозначения и вычисляют: $s=60\cdot2=120$ км. |
2 мин | Учитель предлагает заполнить устно начало таблицы для зависимости $y=3x$: "Найдите значения $y$ при $x=1$, $x=2$ и $x=4$. Что изменяется свободно?" | Вычисляют значения $3$, $6$, $12$, формулируют: "Независимая величина — $x$, зависимая — $y$, потому что $y$ определяется через $x$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем читать формулу и вычислять значение величины. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы самостоятельно описать реальную ситуацию."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с условием: "Один килограмм яблок стоит 120 рублей. Сколько будут стоить 0,5 кг, 1 кг, 2 кг и 3,5 кг? Запишите только ответы." После краткой работы спрашивает: "Как вы получили ответы? Можно ли представить их в таблице? Какая величина здесь зависит от другой?" | Вычисляют стоимость, называют ответы: 60, 120, 240 и 420 рублей. Замечают, что стоимость зависит от массы, и предлагают оформить данные в таблицу. |
2 мин | Учитель намеренно задаёт вопрос: "А если масса будет обозначена буквой $x$, как записать стоимость без перечисления всех вариантов? Что нам нужно узнать, чтобы составить формулу?" Учитель фиксирует затруднение и предлагает сформулировать цель. | Формулируют: "Нужно установить правило зависимости и записать его формулой"; записывают цель: научиться описывать реальную зависимость таблицей и формулой. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в вычислениях, а в переводе жизненной ситуации на язык алгебры. Давайте откроем способ такого перевода шаг за шагом."
Этап 4. Открытие нового знания с опорой на учебник (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм описания реальной зависимости и применить его к ситуации с покупкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает обратиться к соответствующему тексту учебника: "Прочитайте фрагмент о зависимости величин. Используйте приём 'Инсерт': отметьте знаком плюс новое, знаком вопрос непонятное, галочкой уже известное. После чтения назовите, что означает зависимость одной величины от другой." | Читают предложенный фрагмент учебника, делают пометки, формулируют: "Зависимая величина изменяется в соответствии с изменением другой величины". |
4 мин | Учитель возвращает класс к задаче о яблоках и говорит: "Назовём массу покупки буквой $x$, а стоимость — буквой $y$. Цена одного килограмма равна 120 рублей. Значит, стоимость равна произведению цены одного килограмма на массу: $y=120x$. Посмотрите на доску и проверьте формулу по трём значениям массы." | Записывают обозначения и формулу $y=120x$, составляют таблицу: $x$: 0,5; 1; 2; 3,5; $y$: 60; 120; 240; 420. Проверяют каждую пару значений. |
3 мин | Учитель показывает памятку и проговаривает: "Первый шаг — назвать величины и единицы. Второй — выбрать независимую величину. Третий — установить правило связи. Четвёртый — записать формулу и проверить её на известном примере. Почему массу мы выбрали за независимую величину?" | Объясняют: "Мы выбираем массу покупки, а стоимость определяется ею". Переписывают алгоритм в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Зависимость одной величины от другой — правило, по которому каждому значению одной величины соответствует значение другой. Величина, которую выбирают, называется независимой; величина, значение которой определяется выбором первой, — зависимой. Алгоритм: назвать величины; выбрать независимую; составить таблицу; записать формулу; проверить смысл результата.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили математическую модель покупки: таблицу и формулу $y=120x$. Теперь проверим этот алгоритм на других ситуациях и убедимся, что формула должна сохранять смысл условия."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить переход от описания реальной ситуации к таблице и формуле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует работу в парах: "На карточке две ситуации. Первая: велосипедист движется со скоростью 12 км/ч. Запишите зависимость пути $s$ от времени $t$ и найдите путь за 0,5; 1 и 2 часа. Вторая: за минуту насос перекачивает 8 литров воды. Запишите зависимость объёма $V$ от времени $t$. Работайте по памятке: один ученик составляет формулу, второй проверяет таблицу, затем поменяйтесь ролями." | В парах составляют формулы $s=12t$ и $V=8t$, вычисляют значения, сверяют единицы измерения и объясняют друг другу выбор независимой величины. |
3 мин | Учитель просит две пары представить решения и задаёт вопросы: "Почему в первой ситуации время является независимой величиной? Что означает число 12 в формуле? Почему в формуле объёма стоит число 8?" Исправляет неточности и фиксирует правильные модели. | Представляют решения: для первой ситуации $s=12t$, для второй $V=8t$. Объясняют: "12 — скорость, 8 — производительность насоса; обе величины показывают изменение результата за единицу времени". |
Эталон решения
1. Для велосипедиста независимая величина — время $t$, зависимая — путь $s$. При скорости 12 км/ч формула: $s=12t$. При $t=0,5$ получаем $s=6$ км; при $t=1$ — $12$ км; при $t=2$ — $24$ км. 2. Для насоса независимая величина — время $t$, зависимая — объём $V$. За каждую минуту перекачивается 8 литров, поэтому $V=8t$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что один и тот же алгоритм работает для покупки, движения и расхода воды. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли строить модель без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение определять вид зависимости, составлять формулу и находить значения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет уровни выбора: "Выполните обязательное задание базового уровня. Если справились раньше и уверены в решении, выберите повышенный уровень. Перед началом прочитайте критерии: величины названы, формула соответствует условию, вычисления имеют единицы." | Выбирают карточку или уровень, записывают номер выбранного задания и планируют порядок действий. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: "Такси берёт 150 рублей за посадку и 30 рублей за каждый километр. Запишите стоимость поездки $y$ через число километров $x$, найдите стоимость поездки на 4 км и 10 км." Повышенный уровень: "Сравните две службы: первая задаёт стоимость $y=100+35x$, вторая — $y=50+45x$. Для какого расстояния стоимость одинаковая?" Учитель наблюдает, задаёт уточняющие вопросы, но не сообщает готовую формулу. | Индивидуально составляют формулу и вычисляют значения. Для повышенного задания решают уравнение $100+35x=50+45x$, получают $x=5$ км и формулируют вывод. |
2 мин | Учитель вывешивает эталон: для базового задания $y=150+30x$, $y(4)=270$, $y(10)=450$; для повышенного $x=5$. Просит провести самопроверку и отметить ошибки условным знаком. | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают место ошибки или ставят знак «верно», исправляют запись и оценивают результат по критериям. |
Эталон решения
Базовый уровень: постоянная плата равна 150 рублей, переменная часть составляет $30x$ рублей, поэтому $y=150+30x$. При $x=4$: $y=150+30\cdot4=270$ рублей. При $x=10$: $y=150+30\cdot10=450$ рублей. Повышенный уровень: при равной стоимости $100+35x=50+45x$; $50=10x$; $x=5$. Проверка: $100+35\cdot5=275$ и $50+45\cdot5=275$ рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что реальная зависимость может включать не только переменную часть, но и постоянное начальное значение. Осталось осмыслить, чему мы научились и где возникли затруднения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать новое знание, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы можете назвать зависимую и независимую величины и записать формулу; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока трудно. На стикере завершите фразу: 'Сегодня я научился...'" | Поднимают карточки, записывают одну завершённую фразу и при необходимости формулируют конкретный вопрос. |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что нужно сделать первым при построении модели? Как проверить формулу? В ситуации с тарифом такси почему появляется постоянное число?" | Отвечают: "Сначала назвать величины", "Подставить известные значения и проверить единицы", "Потому что посадка оплачивается независимо от расстояния". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный выполняйте по желанию. Ситуации можно подобрать из своего опыта: покупки, транспорт, интернет-тариф, расход воды. Важно не просто посчитать, а назвать величины, составить таблицу и формулу." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы и отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть за жизненной ситуацией математическую зависимость и описывать её несколькими способами. Проверьте себя по памятке и используйте её при выполнении домашнего задания."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены зависимая и независимая величины, составлены таблица и формула, верно выполнены все вычисления, указаны единицы измерения и дан содержательный вывод.
- «4» — модель зависимости выбрана верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не меняющая способ решения.
- «3» — определена хотя бы одна величина и начато составление модели, но допущены ошибки в формуле или вычислениях; решение требует коррекции по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о зависимой и независимой величинах? | Выявление осознания основного понятия урока. |
Какой шаг алгоритма построения зависимости оказался самым трудным? | Выявление точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверяли, что формула соответствует реальной ситуации? | Проверка сформированности навыка самоконтроля и смысловой проверки. |
Где в жизни вам может пригодиться описание зависимости формулой? | Связь учебного материала с функциональной грамотностью и личным опытом. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что формула помогает описать не абстрактные числа, а реальные покупки, движение и расход ресурсов. Важно не путать независимую величину с зависимой и не забывать проверять единицы измерения. Если в решении появилась формула, нужно уметь объяснить смысл каждого её числа. На следующем уроке мы продолжим исследовать зависимости и будем сравнивать их графики."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на реальные зависимости: стоимость покупки по массе или количеству товара, путь по времени и расход ресурса по времени. Для каждой задачи назвать величины, составить таблицу минимум из 3 строк, записать формулу и найти одно значение по формуле. | Закрепляет алгоритм перехода от текста к таблице и формуле; при проверке смотреть на правильность обозначений, единицы измерения и смысл ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи с начальным постоянным значением по образцу тарифа такси: записать формулу вида $y=kx+b$, вычислить значения для двух вариантов и объяснить роль чисел $k$ и $b$. | Формирует понимание линейной зависимости и умение интерпретировать коэффициенты в реальной ситуации. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о тарифе, покупке или расходе ресурса, в которой две зависимости нужно сравнить. Записать обе формулы, найти значение величины, при котором условия становятся равными, и оформить краткий вывод. | Развивает моделирование, создание математической задачи и аргументированное сравнение двух зависимостей. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какая величина называется зависимой? Как выбрать независимую величину в задаче? Какие пять шагов помогают построить математическую модель? Что означает постоянное число в формуле тарифа?»
