Задачи на проценты: скидки, наценки, вклады
Цели и задачи
- Цель урока: за 45 минут научиться применять формулы процентов для расчёта скидки, наценки и дохода по вкладу, выбирая нужную модель решения и проверяя разумность полученного ответа.
- Решить практические задачи трёх типов: найти новую цену после изменения на проценты, восстановить первоначальную величину и определить доход по вкладу.
- Развивать умение переводить жизненную ситуацию на математический язык, составлять краткую запись и объяснять последовательность вычислений.
- Формировать навыки сотрудничества, аргументированного выбора способа решения и самопроверки результата.
- Воспитывать ответственное отношение к финансовым решениям и внимательность при работе с денежными величинами.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность математических знаний при покупке товаров, сравнении предложений и планировании сбережений.
- Проявлять ответственное отношение к финансовой информации и критически оценивать рекламные обещания.
- Развивать учебную самостоятельность через выбор уровня задания и способа проверки ответа.
- Понимать значение точности вычислений при принятии бытовых и финансовых решений.
Метапредметные
- Переводить текст задачи в математическую модель: выделять первоначальную величину, процент изменения и искомое значение.
- Сравнивать способы решения, находить ошибки в рассуждениях и обосновывать выбор арифметической или алгебраической модели.
- Планировать последовательность действий, распределять время и выполнять самопроверку по эталону.
- Формулировать устное объяснение решения и участвовать в обсуждении финансового кейса.
Предметные
- Знать смысл понятий «скидка», «наценка», «процентная ставка», «доход по вкладу».
- Уметь находить величину после уменьшения или увеличения на процент с помощью коэффициентов $1-p$ и $1+p$, где $p$ записан десятичной дробью.
- Уметь находить первоначальную цену по известной цене после скидки или наценки.
- Уметь вычислять доход по простому вкладу за указанный период и отличать доход от итоговой суммы.
- Уметь проверять единицы измерения, округление и соответствие ответа условию задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения процентов через ситуации покупок, накоплений и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность самостоятельно выбрать посильный уровень практического задания.
- Оценивают, насколько аккуратно и ответственно выполнены финансовые вычисления.
- Осознают необходимость проверять условия рекламных акций и банковских предложений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и составляют план решения задачи.
- Распределяют время между чтением условия, вычислением и проверкой.
- Сверяют решение с эталоном, фиксируют ошибку и корректируют отдельный шаг.
- Оценивают результат по критериям правильности, полноты записи и разумности ответа.
Познавательные УУД
- Выделяют исходную величину, процент изменения и искомое значение.
- Строят математическую модель ситуации с помощью процентов и коэффициентов.
- Сравнивают последовательное изменение цены и изменение на один общий процент.
- Анализируют ошибочные решения и объясняют, на каком шаге нарушена логика.
- Извлекают информацию из таблицы банковских условий и преобразуют её в вычисления.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре, задавая уточняющие вопросы к условию.
- Аргументируют выбор формулы и корректно реагируют на другой способ решения.
- Распределяют роли в группе: читатель условия, вычислитель, проверяющий и докладчик.
- Формулируют краткий вывод, понятный одноклассникам.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые задачи на скидки и наценки, повышенные задачи на восстановление первоначальной цены, дополнительные задачи на вклады; распечатать по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить карточки с ролями для групповой работы: «аналитик», «вычислитель», «проверяющий», «докладчик».
- Вывести на доску памятку: после скидки $S(1-p)$, после наценки $S(1+p)$, первоначальная величина $S/(1\u00b1p)$, доход по простому вкладу $D=Krt$.
- Распечатать таблицу с тремя банковскими предложениями — по одной на группу из четырёх человек.
- Подготовить листы самопроверки с эталонами четырёх практических задач — по одному на парту.
- Подготовить стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Организовать на доске три зоны: «Скидка», «Наценка», «Вклад»; оставить место для формул и типичных ошибок.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску для показа условий задач и таблицы банковских предложений.
- Раздать каждому ученику линейку, калькулятор использовать только на этапе практической работы после записи математической модели.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и практическая мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в практическую деятельность и показать связь процентов с повседневными финансовыми решениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто считать проценты, а принимать математически обоснованные решения в ситуациях, с которыми можно встретиться в магазине или банке. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка. Работать будем точно и самостоятельно, но право выбора уровня задания останется за каждым из вас." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, настраиваются на практическую работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране три надписи: «скидка 30%», «наценка 15%», «вклад 10% годовых», и спрашивает: "Что общего у этих предложений? Что именно может быть неизвестно покупателю или вкладчику?" Учитель фиксирует ответы в трёх зонах доски и объявляет приём «Финансовый прогноз». | Формулируют предположения: «Нужно найти новую цену», «важно знать первоначальную сумму», «процент может быть доходом, но итоговая сумма будет другой». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Процент сам по себе ничего не решает, пока мы не определили, от какой величины он считается и что требуется найти. Сейчас проверим, какие знания помогут нам не ошибиться."
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика затруднений (6 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритм нахождения процента от числа и подготовить основу для решения практических задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно ответьте на три вопроса: как найти 10% от числа, чему равна величина после уменьшения на 20%, почему 100% нельзя заменять числом 100? Затем обсудите ответы с соседом и подготовьте одну точную формулировку." | Записывают ответы, обсуждают их в парах одну минуту, формулируют: «10% — это умножение на 0,1», «после уменьшения на 20% остаётся 80%, то есть 0,8 первоначальной величины». |
3 мин | Учитель записывает на доске задания: найти 15% от 800 рублей; увеличить 1200 на 10%; уменьшить 2500 на 20%. Комментирует: "Не называйте только число. Проговорите, от какой величины считается процент и какой коэффициент вы используете." | Решают три коротких примера в тетради, проговаривают: «$800\cdot0,15=120$ рублей», «$1200\cdot1,1=1320$ рублей», «$2500\cdot0,8=2000$ рублей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что процент изменения превращается в десятичную дробь, а итоговая величина получается умножением на коэффициент. Теперь выясним, почему обратные задачи нельзя решать простым вычитанием процента."
Этап 3. Инструктаж по математической модели и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: систематизировать модели решения для скидок, наценок и вкладов перед практической работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Посмотрите на памятку на доске. Если цена $S$ уменьшилась на $p$, новая цена равна $S(1-p)$. Если цена увеличилась на $p$, новая цена равна $S(1+p)$. Если известна новая цена, первоначальную восстанавливаем делением на коэффициент, а не вычитанием процента. Доход по простому вкладу считаем по формуле $D=Krt$, где $K$ — первоначальная сумма, $r$ — ставка десятичной дробью, $t$ — время в годах." Учитель подчёркивает единицы измерения. | Переписывают формулы и рядом подписывают смысл букв. Отвечают: «При скидке 20% остаётся 80% цены», «при наценке 20% становится 120% цены», «доход и итоговая сумма — не одно и то же». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Товар после скидки 20% стоит 1600 рублей. Можно ли вернуть первоначальную цену действием $1600+20\%$? Обоснуйте ответ." Учитель предлагает сформулировать цель урока. | Обсуждают в парах и отвечают: «Нельзя, потому что 20% теперь нужно считать от другой величины». Формулируют цель: «Научиться выбирать коэффициент и решать задачи о скидках, наценках и вкладах». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Скидка: $S_{new}=S(1-p)$. Наценка: $S_{new}=S(1+p)$. Восстановление первоначальной величины: $S=S_{new}/(1\u00b1p)$. Доход по простому вкладу: $D=Krt$, итоговая сумма: $K+D$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Модель выбрана. Дальше вы примените её к реальным ситуациям, а задача каждого — не только получить число, но и объяснить, что это число означает."
Этап 4. Практикум в группах: скидки, наценки и вклады (12 мин)
Цель этапа: применить формулы к практическим задачам, распределяя роли и проверяя разумность результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и раздаёт карточки ролей: "В каждой группе будет аналитик, вычислитель, проверяющий и докладчик. На карточке три задачи. Сначала аналитик выделяет исходную величину и процент, затем вычислитель записывает формулу, проверяющий оценивает результат, а докладчик готовит объяснение. Через шесть минут роли можно поменять." | Распределяют роли, читают условия, подчёркивают исходную величину и искомое значение. |
5 мин | Учитель раздаёт задачи: "Задача 1. Куртка стоила 4800 рублей. В магазине объявили скидку 25%. Найдите новую цену. Задача 2. После наценки 15% цена товара стала 2300 рублей. Найдите цену до наценки. Задача 3. На вклад внесли 12000 рублей под 8% годовых на один год. Найдите доход и сумму на счёте в конце года." Учитель консультирует вопросами: "От какой величины считается процент? Какой коэффициент остаётся после скидки? Что именно просит найти задача о вкладе?" | Решают задачи в группе. Получают: $4800\cdot0,75=3600$ рублей; $2300/1,15=2000$ рублей; $12000\cdot0,08=960$ рублей, итоговая сумма $12960$ рублей. |
3 мин | Учитель просит группы обменяться карточками и провести взаимопроверку по критериям: модель записана, вычисления последовательны, ответ содержит единицы измерения. Напоминает приём «Две звезды и пожелание». | Проверяют решение другой группы, записывают две сильные стороны и одно конкретное пожелание: «указан коэффициент», «есть ответ», «нужно подписать рубли». |
2 мин | Учитель просит двух докладчиков кратко объяснить разные типы задач и задаёт уточнение: "Почему в задаче 2 мы делим на 1,15, а не вычитаем 15%?" | Докладчики объясняют ход решения. Остальные дополняют: «2300 рублей — это 115% первоначальной цены, поэтому первоначальную цену находим делением». |
Эталон решения
1) После скидки 25% остаётся $100\%-25\%=75\%=0,75$: $4800\cdot0,75=3600$ рублей. 2) После наценки 15% цена составляет $115\%=1,15$ первоначальной цены: $2300:1,15=2000$ рублей. 3) Доход: $D=12000\cdot0,08\cdot1=960$ рублей. Итоговая сумма: $12000+960=12960$ рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группа должна уметь объяснить не только вычисление, но и смысл коэффициента. Теперь каждый проверит себя лично и выберет уровень задания, который позволит показать собственный результат."
Этап 5. Индивидуальная практическая работа с выбором уровня (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами решения и обеспечить дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Базовый обязателен для всех. Средний выбирают те, кто уверенно решает обратные задачи. Продвинутый можно взять дополнительно, если останется время. Записывайте не только ответ, но и формулу, чтобы было видно рассуждение." | Выбирают карточку, подписывают фамилию и уровень, готовят место для краткой записи. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: товар за 3500 рублей продают со скидкой 12%, найти цену. Средний: после скидки 30% велосипед стоит 14700 рублей, найти первоначальную цену. Продвинутый: цена товара сначала увеличилась на 20%, а затем уменьшилась на 20%; сравнить итоговую цену с первоначальной и объяснить результат. | Индивидуально составляют модели и решают: $3500\cdot0,88=3080$ рублей; $14700/0,7=21000$ рублей; $S\cdot1,2\cdot0,8=0,96S$, итоговая цена на 4% меньше первоначальной. |
3 мин | Учитель выдаёт эталон и организует самопроверку: "Поставьте рядом с каждым заданием знак плюс, если модель и вычисление верны, или вопросительный знак, если нужно исправление. Ошибку не стирайте полностью: зачеркните неверный шаг и рядом запишите правильный." | Сверяют решение с эталоном, исправляют один ошибочный шаг, отмечают, что стало причиной затруднения: выбор коэффициента, деление или вычисление. |
Эталон решения
Базовый: после скидки остаётся $0,88$, поэтому $3500\cdot0,88=3080$ рублей. Средний: $14700$ рублей — это $70\%=0,7$ первоначальной цены, поэтому $14700:0,7=21000$ рублей. Продвинутый: $S\cdot1,2\cdot0,8=0,96S$, значит итоговая цена составляет 96% первоначальной и уменьшилась на 4%. Проценты применяются последовательно к разным величинам.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, умеете ли вы выбирать модель без подсказки группы. Осталось применить знания к выбору банковского предложения и доказать, что проценты помогают сравнивать варианты, а не только выполнять вычисления."
Этап 6. Финансовый кейс и обсуждение решения (6 мин)
Цель этапа: развить функциональную и финансовую грамотность через сравнение предложений по вкладам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу: "Семья выбирает вклад на один год и располагает суммой 30000 рублей. Банк А предлагает 7% годовых без дополнительных условий, банк Б — 6% годовых и бонус 400 рублей, банк В — 8%, но только для суммы от 50000 рублей. Сравните предложения и не забудьте проверить, какие из них доступны." | Читают условия, выделяют доступные варианты, составляют выражения для дохода. |
3 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какое предложение выгоднее для суммы 30000 рублей? Объясните выбор не одним словом, а вычислением." Напоминает приём «ПОПС-формула»: позиция, обоснование, пример, следствие. | Вычисляют доход банка А: $30000\cdot0,07=2100$ рублей. Для банка Б: $30000\cdot0,06+400=2200$ рублей. Делают вывод: «При данных условиях выгоднее банк Б, если бонус действительно выплачивается». |
1 мин | Учитель уточняет: "Какие сведения нужно проверить перед реальным открытием вклада?" Фиксирует ответы: срок, условия бонуса, возможность снятия, налоги и ограничения. | Называют условия начисления процентов, срок, минимальную сумму, порядок выплаты бонуса и возможность досрочного снятия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Математически выгодный вариант определяется не крупной цифрой в рекламе, а расчётом по полным условиям. Завершим урок самопроверкой и сформулируем, какой алгоритм вы уносите с собой."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели, выявить затруднения и определить дальнейшую самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно выбираете коэффициент; жёлтую — если нужна ещё практика; красную — если пока не различаете скидку, наценку и восстановление цены. На стикере допишите одно предложение: «Теперь я умею…»." | Поднимают карточки, записывают личный результат: «Теперь я умею находить цену после скидки» или «Мне нужно повторить обратные задачи». |
1 мин | Учитель объявляет критерии: "За практическую работу вы получаете отметку по количеству верных решений и качеству записи. Проверьте, есть ли в работе формула, вычисления, единицы измерения и вывод." | Сверяют работу с критериями, подсчитывают верно выполненные задания. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает: "Перед выходом ответьте письменно на два контрольных вопроса: почему после скидки 25% умножают на 0,75 и почему первоначальную цену после наценки находят делением?" | Записывают домашнее задание и отвечают на контрольные вопросы в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы использовали проценты как инструмент принятия решений: вычисляли цены, восстанавливали первоначальную величину и сравнивали вклады. Проверьте себя по контрольным вопросам и выберите домашний уровень, соответствующий вашей цели."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задания группового практикума или базовое, среднее и продвинутое индивидуальные задания; формулы выбраны правильно, вычисления оформлены последовательно, единицы измерения и выводы указаны.
- «4» — верно решены два задания из трёх либо базовое и среднее индивидуальные задания; допущена одна вычислительная неточность, не повлиявшая на выбор математической модели.
- «3» — верно решено базовое задание и записана правильная модель хотя бы для ещё одной задачи; имеются отдельные ошибки в вычислениях или оформлении, но смысл скидки, наценки или вклада в целом понятен.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня узнали о коэффициенте после скидки и наценки? | Проверка осознания ключевой математической модели. |
Какое действие оказалось сложнее: выбрать коэффициент, выполнить вычисления или восстановить первоначальную цену? | Выявление конкретной точки затруднения в алгоритме. |
Почему доход по вкладу нельзя путать с итоговой суммой на счёте? | Проверка понимания финансового смысла результата. |
Какую задачу вы готовы решить самостоятельно завтра? | Субъективная оценка уверенности и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что проценты работают в реальных ситуациях: помогают оценить скидку, проверить наценку и сравнить доходность вкладов. Самая частая ошибка — считать процент не от той величины или путать доход с итоговой суммой. Перед вычислением всегда назовите первоначальную величину и определите, сколько процентов от неё составляет известное значение. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с процентами и рассмотрим последовательные изменения величины в более сложных условиях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение цены после скидки или наценки, одну на восстановление первоначальной цены и одну на вычисление дохода по вкладу за один год. | Закрепить выбор коэффициента и формулу дохода; при проверке смотреть на запись модели, единицы измерения и полный ответ. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с реальным контекстом: последовательные скидка и наценка, сравнение двух товаров после разных скидок, сравнение двух вкладов с различными ставками и бонусом. | Развить умение анализировать несколько условий и сравнивать результаты; при проверке обратить внимание на последовательность процентов и обоснование выбора. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о покупке или вкладе, включив не менее двух процентных изменений. Представить краткое условие, модель, решение и проверку разумности ответа. | Развить умение создавать математическую модель и объяснять её; при проверке оценить корректность условия, реалистичность чисел и самостоятельность вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Почему после скидки 30% величину умножают на $0,7$?», «Почему после наценки 15% первоначальную цену восстанавливают делением на $1,15$?», «Чем доход по вкладу отличается от итоговой суммы?»
