Многочлен
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать многочлены, приводить их к стандартному виду и находить значение многочлена при заданных значениях переменных, выполнив не менее 3 из 4 заданий самостоятельной работы.
- Сформировать представление о многочлене как сумме одночленов, закрепить умение определять его степень и приводить подобные слагаемые.
- Развивать умение анализировать алгебраические выражения, выбирать способ преобразования и проверять результат подстановкой.
- Формировать навыки сотрудничества при парной работе, аргументированного объяснения решения и взаимопроверки по критериям.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за результат и готовность использовать алгебраические модели в практических задачах.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют учебную мотивацию через понимание роли алгебраических выражений в моделировании реальных ситуаций.
- Осознают ценность точной записи и проверки результата как основы математической и профессиональной деятельности.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения и корректно обсуждают ошибки.
- Оценивают собственную готовность применять правило приведения многочлена к стандартному виду.
Метапредметные
- Извлекают из текста учебника определение многочлена, признаки стандартного вида и алгоритм преобразования выражений.
- Планируют последовательность действий при приведении выражения к стандартному виду и контролируют каждый шаг.
- Сравнивают несколько решений, находят ошибку в знаках или коэффициентах и аргументируют исправление.
- Используют математическую речь, таблицу признаков и взаимопроверку в парной работе.
Предметные
- Знать определение многочлена, его членов, коэффициентов и степени.
- Уметь отличать многочлен от выражений, не являющихся многочленами.
- Уметь приводить многочлен к стандартному виду, складывая подобные слагаемые.
- Уметь находить степень многочлена и вычислять его значение при заданных значениях переменных.
- Владеть алгоритмом самопроверки результата подстановкой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы через самооценку «Светофор».
- Связывают точность алгебраических преобразований с ответственностью за расчёты в будущей учебной и профессиональной деятельности.
- Проявляют настойчивость при исправлении ошибки и принимают необходимость повторной проверки.
- Формулируют личную учебную цель на урок.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют действия: раскрыть скобки при необходимости, привести подобные слагаемые, упорядочить члены, проверить результат.
- Сверяют решение с эталоном и находят расхождение в конкретном шаге.
- Оценивают выполнение задания по заданным критериям и выбирают уровень домашней работы.
Познавательные УУД
- Классифицируют выражения по наличию переменных в знаменателе и показателях степеней.
- Выделяют существенные признаки многочлена и строят алгоритм преобразования.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью алгебраического выражения.
- Применяют анализ, сравнение, обобщение и проверку подстановкой.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре и согласуют общий ответ.
- Формулируют объяснение, используя термины «член многочлена», «подобные слагаемые», «степень».
- Задают уточняющие вопросы и корректно указывают на ошибку в записи.
- Представляют решение классу и отвечают на вопросы одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с темой урока и пустой схемой «Признаки многочлена — Алгоритм приведения — Проверка».
- Подготовить презентацию или карточку на экране с выражениями $3x^2-5x+7$, $4a^2b-2ab^2$, $x^{-1}+2$ и $\frac{3}{x}+1$.
- Распечатать карточки трёх уровней: минимальный, базовый и повышенный — по одной карточке на каждого ученика.
- Распечатать по одной карточке на парту для парной классификации выражений и по одному листу эталона на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «распознаю», «привожу к стандартному виду», «нахожу степень», «вычисляю значение».
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер на телефоне или интерактивной доске.
- Организовать на доске место для алгоритма: 1) раскрыть скобки; 2) собрать подобные слагаемые; 3) упорядочить члены; 4) проверить.
- Раздать ученикам учебник для чтения определения и примеров по теме без указания конкретных страниц.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски и подготовить калькулятор только для демонстрации проверки, а не для основного решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую ценность упорядоченной алгебраической записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается к ученикам: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение видеть структуру выражения. Представьте, что вы проверяете расчёт стоимости заказа: одна ошибка в записи может изменить итог. Поэтому сегодня мы будем работать как внимательные математические редакторы." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, открывают тетради и формулируют ожидание: «будем учиться упрощать выражения». |
2 мин | Учитель показывает на экране выражения $2x+3x-5$, $4a^2-3a+7$ и $\frac{2}{x}+1$: "Посмотрите на три записи. Какие из них можно преобразовать и представить как сумму одночленов? Что сразу вызывает сомнение? Подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом в течение 30 секунд. Это приём "Подумай — обсуди в паре — поделись"." | Сначала сравнивают выражения индивидуально, затем обсуждают в парах и сообщают: «Первые два выражения похожи на суммы одночленов, а в третьем переменная находится в знаменателе». |
0 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и говорит: "Ваши наблюдения помогут нам точно определить, какие выражения называются многочленами и как приводить их к удобному виду." | Формулируют предварительный вопрос урока: «Какие признаки позволяют узнать многочлен и как его упрощать?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что внешне похожие выражения устроены по-разному. Теперь восстановим знания, которые помогут нам объяснить это различие."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия одночлена, коэффициента, степени и зафиксировать затруднение в классификации выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель задаёт вопросы по ранее изученному материалу: "Что называется одночленом? Из каких частей состоит одночлен? Как найти его степень? Разберите выражение $-6a^2b$: назовите коэффициент и степень. Не называйте только ответ — объясните, на какой признак вы опираетесь." | Отвечают: «Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней; коэффициент равен $-6$; степень одночлена равна $2+1=3$». Один ученик проговаривает решение у доски. |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с выражениями $5x^2-2x+1$, $3ab-4a^2b$, $7y^2+\frac{1}{y}$, $2m^3-5m+\frac{4}{m^2}$ и предлагает: "Распределите записи на две группы. Сформулируйте признак, по которому вы действовали. Если мнения в паре расходятся, приведите аргумент, а не просто выберите вариант." | В парах распределяют выражения, подчёркивают переменные в знаменателе или отрицательные показатели и формулируют: «В первых двух выражениях переменные имеют неотрицательные целые показатели; в последних выражениях переменная стоит в знаменателе». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уверенно узнаём одночлены, но пока не дали точного названия сумме таких одночленов и не договорились, как записывать её наиболее удобно. Это и будет нашим следующим шагом."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать понятие многочлена и учебную задачу урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $3x^2-2x+5+x^2+7x-1$ и спрашивает: "Сколько одночленов вы видите? Какие из них подобны? Как можно сделать запись короче, не изменив её значения? Запишите предложение в тетради и сравните его с предложением соседа." | Считают шесть членов, находят пары $3x^2$ и $x^2$, $-2x$ и $7x$, числа $5$ и $-1$. Предполагают, что выражение можно упростить до $4x^2+5x+4$. |
2 мин | Учитель формулирует проблему: "Нам нужно научиться не угадывать результат, а действовать по правилу. Откройте учебник на теме урока, найдите определение многочлена и признаки стандартного вида. Сформулируйте цель: что вы должны уметь сделать к концу урока?" Учитель принимает 2–3 формулировки и записывает общую цель. | Читают определение в учебнике, выделяют ключевые слова и формулируют цель: «Распознавать многочлены, приводить их к стандартному виду, определять степень и находить значение». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от распознавания признаков мы перейдём к преобразованию и проверке результата. Сначала самостоятельно извлечём правило из текста и примера."
Этап 4. Открытие нового знания. Работа с учебником (10 мин)
Цель этапа: вывести определение многочлена, признаки стандартного вида и алгоритм приведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает чтение с пометками: "Прочитайте в учебнике определение многочлена и фрагмент о стандартном виде. Поставьте знак плюс рядом с новым, вопрос — рядом с непонятным, галочку — рядом с уже известным. После чтения назовите не менее двух существенных признаков." | Читают текст с пометками, выписывают ключевые слова: «сумма одночленов», «подобные слагаемые», «стандартный вид», «степень». Обсуждают вопросительный знак с соседом. |
4 мин | Учитель разбирает пример на доске: "Рассмотрим выражение $2a^2-3a+5+a^2+7a-2$. Первый шаг — выписываем и группируем подобные слагаемые: $(2a^2+a^2)+(-3a+7a)+(5-2)$. Второй шаг — складываем коэффициенты: $3a^2+4a+3$. Посмотрите, почему нельзя складывать $a^2$ и $a$: у них разные буквенные части." | Записывают преобразование по шагам, объясняют: «$a^2$ и $a$ не являются подобными, потому что различаются буквенная часть и степень переменной». Формулируют правило сложения подобных слагаемых. |
3 мин | Учитель дополняет алгоритм: "Если перед выражением стоят скобки, сначала раскрываем их с учётом знака. Затем собираем подобные слагаемые, упорядочиваем члены по убыванию степени и называем степень многочлена. Например, $4x-2x^2+3+x^2-x$ превращается в $-x^2+3x+3$. Почему степень равна двум?" | Составляют алгоритм в тетради и отвечают: «После приведения старшая степень переменной равна 2, поэтому степень многочлена — 2». |
0 мин | Учитель показывает на доске выражение $5b^3-2b+1$ и просит назвать его признаки без полного решения: "Есть ли подобные слагаемые? Записан ли многочлен в стандартном виде? Какова его степень?" | Отвечают: «Подобных слагаемых нет; запись стандартная; степень многочлена равна 3». |
Запись в тетрадях
Записывают: «Многочлен — сумма одночленов. Стандартный вид многочлена — сумма одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных. Алгоритм: 1) раскрыть скобки; 2) сгруппировать подобные слагаемые; 3) сложить коэффициенты; 4) упорядочить члены; 5) определить степень и проверить запись».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение и алгоритм. Теперь проверим их на коротких заданиях: сначала вместе проговорим каждый шаг, затем вы попробуете применить правило самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в парной работе и научиться объяснять преобразование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет организацию: "Работаем в парах. Один ученик выполняет преобразование, второй контролирует соответствие шагам алгоритма, затем меняетесь ролями. На карточке три задания: $3x^2+5x-2+x^2-2x+6$, $4a-(2a^2-3a+1)$ и $7y^3-2y+y^3+5y-4$. На каждое задание — две минуты. Используйте учебник как опору, но решение записывайте самостоятельно." | Распределяют роли, читают критерии карточки и готовят запись. |
4 мин | Учитель перемещается между парами и задаёт вопросы: "Почему вы изменили знаки во втором выражении? Какие слагаемые здесь подобны? Как вы убедитесь, что результат не изменил значение исходного выражения? Если готовы, объясните решение соседней паре." | Решают в парах: получают $4x^2+3x+4$, $-2a^2+7a-1$, $8y^3+3y$. Объясняют друг другу смену знаков и выделение подобных слагаемых. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску и организует взаимопроверку: "Сверьте не только ответ, но и каждый знак. Поставьте две звезды за верную группировку и корректную запись, а пожелание сформулируйте для одного исправляемого шага." | Сверяют записи, отмечают две сильные стороны и один шаг для исправления, задают вопросы при расхождении. |
Эталон решения
$3x^2+5x-2+x^2-2x+6=(3x^2+x^2)+(5x-2x)+(-2+6)=4x^2+3x+4$. $4a-(2a^2-3a+1)=4a-2a^2+3a-1=-2a^2+7a-1$. $7y^3-2y+y^3+5y-4=(7y^3+y^3)+(-2y+5y)-4=8y^3+3y-4$. При проверке третьего задания важно сохранить свободный член $-4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парах вы увидели, что большинство ошибок возникает не при сложении коэффициентов, а при раскрытии скобок и переносе знаков. Сейчас каждый проверит себя индивидуально, выбрав посильный уровень."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма на заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Все выполняют минимальный уровень. Затем выбирайте базовый или повышенный по готовности. Выбор уровня не является оценкой вашей личности: он показывает, какая задача сейчас поможет вам развиваться. Записывайте полное решение и оставляйте место для самопроверки." | Выбирают карточку, подписывают её и индивидуально читают условия. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Минимальный уровень: определить, являются ли многочленами $2x^2-3x+1$, $\frac{1}{x}+2$, $5a^3b-4ab^2$. Базовый уровень: привести к стандартному виду $6x^2-4x+3-2x^2+9x-5$ и $3a-(a^2-4a+2)$. Повышенный уровень: составить многочлен, описывающий площадь прямоугольника со сторонами $x+3$ и $x+5$, и привести его к стандартному виду. | Индивидуально выполняют выбранные задания. В минимальном уровне отмечают: «первое и третье — многочлены, второе — нет». В базовом получают $4x^2+5x-2$ и $-a^2+7a-2$. В повышенном раскрывают: $(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$. |
3 мин | Учитель показывает эталон и предлагает самопроверку: "Проверьте наличие всех членов, знаки, подобные слагаемые и степень. Если результат отличается, найдите не просто ошибку, а место, где нарушился алгоритм. Исправление подпишите другим цветом." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, указывают причину: «не изменил знак перед скобками», «объединил неподобные слагаемые», «пропустил свободный член». |
Эталон решения
Базовое задание 1: $6x^2-4x+3-2x^2+9x-5=(6x^2-2x^2)+(-4x+9x)+(3-5)=4x^2+5x-2$. Базовое задание 2: $3a-(a^2-4a+2)=3a-a^2+4a-2=-a^2+7a-2$. Повышенный уровень: площадь равна $(x+3)(x+5)=x^2+5x+3x+15=x^2+8x+15$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось связать многочлен с вычислением конкретного значения и проверить, насколько уверенно каждый из вас движется к цели."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить понятие многочлена в контексте и осознать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Фирма рассчитывает площадь рекламной панели прямоугольной формы со сторонами $x+2$ и $x+6$ метров. Представьте площадь в виде многочлена стандартного вида и найдите её при $x=3$. Сначала составьте план, затем выполните вычисления." | Составляют $S=(x+2)(x+6)=x^2+8x+12$. При $x=3$ получают $S=9+24+12=45$ квадратных метров. Объясняют, что многочлен позволяет вычислять площадь для любого допустимого $x$. |
1 мин | Учитель организует приём «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если уверенно распознаёте многочлен и приводите его к стандартному виду; жёлтый — если нужна тренировка одного шага; красный — если необходима моя помощь. Выберите цвет честно: это не отметка, а ориентир для следующего урока." | Поднимают стикер выбранного цвета и записывают в листе самооценки навык, который освоен, и навык, требующий поддержки. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы для устной рефлексии: "Что является главным признаком многочлена? Какой шаг алгоритма оказался самым уязвимым? Как вы проверяете результат? Закончите фразу: «Теперь я умею…»." | Отвечают: «Многочлен — сумма одночленов с неотрицательными целыми показателями переменных»; «проверяю группировку и подстановкой»; формулируют личный результат. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто получили определение, а вывели и проверили рабочий алгоритм. В завершение зафиксируем критерии результата и выберем домашнее задание, которое соответствует вашему уровню."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранной карточки, корректно определены признаки многочлена, преобразования записаны последовательно, знаки и степень указаны верно.
- «4» — правильно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм в целом соблюдён и ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — распознаны основные многочлены и выполнено хотя бы одно преобразование, но допущены ошибки при раскрытии скобок, объединении подобных слагаемых или определении степени.
- Ниже базового уровня — учитель фиксирует конкретное затруднение и предлагает выполнить минимальный набор с опорой на алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак помогает отличить многочлен от выражения с переменной в знаменателе? | Проверка понимания определения и границ применения понятия. |
Какой шаг алгоритма приведения к стандартному виду требует от вас наибольшего внимания? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Как вы проверили, что полученный многочлен записан верно? | Осознание способов самоконтроля и проверки подстановкой. |
Какой уровень задания вы выбрали и что готовы попробовать на следующем уроке? | Оценка самостоятельности, мотивации и готовности к усложнению. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что многочлен — это сумма одночленов, и научились приводить его к стандартному виду. Особенно внимательно следите за знаками при раскрытии скобок и не складывайте неподобные слагаемые. Выбор уровня задания показал, что каждый может двигаться вперёд в собственном темпе. На следующем уроке мы продолжим преобразования многочленов и будем использовать их для решения более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание многочленов, определение их степени и приведение выражений без скобок к стандартному виду; использовать алгоритм из тетради. | Закрепляет определение, работу с подобными слагаемыми и аккуратную запись; при проверке обратить внимание на степень и сохранение всех свободных членов. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4–5 выражений со скобками, включая случаи с минусом перед скобками, привести их к стандартному виду и выполнить одну проверку подстановкой заданного значения переменной. | Закрепляет раскрытие скобок, группировку подобных слагаемых и самоконтроль; проверять каждый знак и последовательность преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две практические задачи, в которых площадь или стоимость описывается многочленом, записать выражение в стандартном виде и вычислить его значение при двух допустимых значениях переменной. | Развивает создание математической модели и перенос знания в реальный контекст; при проверке смотреть на корректность условия, выражения и вычислений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется многочленом? Какие выражения многочленами не являются? Как привести многочлен к стандартному виду? Как определить его степень? Как проверить результат после преобразования?»
