Умножение многочленов: закрепление распределительного свойства и формул
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока закрепить умение умножать одночлен на многочлен и многочлен на многочлен, раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и самостоятельно решать не менее 4 из 5 заданий базового уровня с последующей проверкой.
- Закрепить алгоритмы умножения многочлена на одночлен и двух многочленов, включая правильное определение знаков и степеней.
- Развивать умение анализировать выражение, выбирать рациональный способ преобразования и проверять результат обратным действием или подстановкой.
- Формировать навыки сотрудничества при парной работе, аргументированного объяснения решения и корректной взаимной оценки.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за результат общей работы и понимание роли математической грамотности в будущей учебной и профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют устойчивую учебную мотивацию через решение задач, связанных с расчётами площади и проектированием.
- Осознают ценность аккуратности, самоконтроля и ответственности за достоверность математического результата.
- Уважают мнение партнёра, принимают возможность разных способов решения и корректно формулируют замечания.
- Оценивают собственную готовность применять алгебраические преобразования в дальнейшем обучении и будущей профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Планируют последовательность преобразований выражения и контролируют соответствие результата поставленной задаче.
- Извлекают информацию из условия, математической записи, схемы и таблицы, переводят её из одной формы в другую.
- Сравнивают два решения, находят ошибку в раскрытии скобок и аргументируют исправление.
- Используют цифровой экран или интерактивную доску для проверки отдельных преобразований и представления результата.
- Организуют парное взаимодействие: распределяют роли, задают уточняющие вопросы и договариваются о едином ответе.
Предметные
- Знать распределительное свойство умножения и алгоритмы умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен.
- Уметь раскрывать скобки в выражениях с положительными и отрицательными коэффициентами.
- Уметь приводить подобные слагаемые после умножения многочленов.
- Уметь проверять преобразованное выражение подстановкой конкретных значений переменных.
- Владеть способами решения заданий базового, повышенного и творческого уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на урок и соотносят её с результатом самостоятельной работы.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение, не заменяя рассуждение случайным угадыванием ответа.
- Осознают значение математической точности для инженерных, экономических, технических и цифровых профессий.
- Соблюдают уважительный стиль обсуждения решения в паре и принимают обоснованную критику.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и составляют план преобразования алгебраического выражения.
- Распределяют время между заданиями обязательного и повышенного уровня.
- Сверяют решение с алгоритмом, эталоном и результатом подстановки.
- Находят собственную ошибку, называют её причину и исправляют запись.
- Оценивают достижение цели по результатам самостоятельной работы и рефлексии.
Познавательные УУД
- Воспроизводят и применяют распределительное свойство при преобразовании выражений.
- Выделяют структуру произведения и определяют количество слагаемых после раскрытия скобок.
- Сравнивают рациональный и ошибочный алгоритмы, классифицируют типичные ошибки.
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью произведения многочленов.
- Проверяют алгебраическое равенство вычислением обеих частей при выбранных значениях переменных.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг раскрытия скобок, используя математическую терминологию.
- Задают вопросы «Почему изменился знак?» и «Какие слагаемые являются подобными?».
- Согласовывают общий ответ пары и распределяют роли вычислителя и проверяющего.
- Аргументированно оценивают решение партнёра по заранее объявленным критериям.
- Разрешают разногласия обращением к свойству умножения, алгоритму или проверке подстановкой.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с распределительным свойством, алгоритмами и тремя заданиями для быстрой проверки.
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на каждую пару, включая задания базового, повышенного и творческого уровня.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы двух вариантов: 15 экземпляров каждого варианта для класса из 30 учеников.
- Вывести на доску памятку: «умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго; раскрыть скобки; привести подобные слагаемые; проверить».
- Подготовить карточку с ошибочным решением для приёма «Найди ошибку»: $(x+3)(x-2)=x^2-6$.
- Подготовить слайд с геометрической моделью площади прямоугольника со сторонами $x+3$ и $x+2$.
- Подготовить таймер на экране, маркеры, листы для взаимопроверки и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Организовать свободное пространство между рядами для короткой физкультминутки без оборудования.
- Подготовить калькулятор или компьютерное алгебраическое приложение только для демонстрационной проверки, а не для замены рассуждений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, показать практический смысл преобразования произведения многочленов и создать ситуацию выбора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, карточка для ответов. Сегодня мы не будем просто повторять правила, а проверим, насколько уверенно умеем использовать их в разных ситуациях. На экране вы видите выражение $(x+3)(x+2)$. Где такое произведение может встретиться вне учебника?" | Готовят рабочее место, рассматривают выражение, предполагают: "При вычислении площади прямоугольника", "В расчётах конструкции или детали". |
2 мин | Учитель показывает геометрическую модель: "Представьте прямоугольник со сторонами $x+3$ и $x+2$. Его площадь можно оставить в виде произведения, а можно разложить фигуру на четыре части. Подумайте, какая запись позволит увидеть площадь каждой части. Выберите: объяснить устно, сделать схему или сразу выполнить преобразование." | Индивидуально выбирают способ, затем формулируют: "$x^2+2x+3x+6$, после приведения подобных слагаемых $x^2+5x+6$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что умножение многочленов помогает вычислять площадь составной фигуры и встречается в прикладных расчётах. Теперь проверим, какие правила уже можем применить без подсказки и где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Светофор» (5 мин)
Цель этапа: актуализировать распределительное свойство, правила знаков и приведение подобных слагаемых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит три утверждения: "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, жёлтую — если нужна проверка, красную — если оно неверно. Первое: $3a(2a-5)=6a^2-15a$. Второе: $-(x-4)=-x-4$. Третье: при умножении многочлена на многочлен каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго." | Поднимают карточки: зелёную, красную, зелёную. Объясняют: "$-(x-4)=-x+4$, потому что минус меняет знаки обоих слагаемых". |
3 мин | Учитель предлагает работу «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд восстановите алгоритм умножения многочлена на многочлен, затем обсудите его с соседом. Я попрошу две пары назвать шаги, а класс проверит полноту ответа." | Сначала записывают шаги индивидуально, затем обсуждают в парах. Называют: "Умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго, раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, проверить". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Распределительное свойство и правила знаков у нас есть. Теперь найдём, какой шаг чаще всего приводит к ошибке, и договоримся о способе его контролировать."
Этап 3. Выявление ошибок и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: выявить типичные ошибки и сформулировать личную цель закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует решение: $(x+3)(x-2)=x^2-6$. "Не переписывайте решение сразу. Найдите место, в котором потерялся член выражения. Почему нельзя умножить только первые и последние слагаемые? Обсудите ответ в паре и сформулируйте правило одним предложением." | В парах находят пропущенные произведения $-2x$ и $3x$, формулируют: "Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Что будет личным показателем успеха сегодня? Вы можете выбрать цель: безошибочно раскрывать скобки, научиться проверять результат или решать задачу с геометрическим контекстом. Запишите выбранную цель в верхней части листа." | Записывают личную цель, называют её по желанию: "Не путать знаки", "Проверять подстановкой", "Уметь объяснять решение партнёру". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили главную опасность — пропуск произведения или ошибку в знаке. Сейчас восстановим полный алгоритм на конкретных примерах, а затем применим его самостоятельно."
Этап 4. Закрепление алгоритма в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить последовательность умножения многочленов через парное объяснение и взаимную проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Выполните преобразования: а) $3x(2x-5)$; б) $(x+4)(x-3)$». "Один ученик подробно записывает решение, второй вслух контролирует каждый шаг по памятке. Через минуту поменяйтесь ролями." | Решают первое выражение: $6x^2-15x$. Затем меняются ролями и решают второе: $x^2+x-12$. |
3 мин | Учитель обращается к классу: "Проверим не только ответ, но и ход рассуждения. Какие четыре произведения появляются во втором примере? Почему два средних слагаемых можно объединить?" Учитель фиксирует на доске: $x^2-3x+4x-12=x^2+x-12$. | Называют четыре произведения: $x^2$, $-3x$, $4x$, $-12$; объясняют, что $-3x$ и $4x$ — подобные слагаемые. |
3 мин | Учитель предлагает задание с выбором: "Выберите одно из двух выражений: базовое $(2a-1)(a+3)$ или повышенное $(3y-2)(2y+5)-(y+1)(y-4)$. Обязательно проговаривайте партнёру, где раскрываете каждую скобку." | В парах выбирают уровень. Получают для базового: $2a^2+5a-3$. Для повышенного: $6y^2+11y-10-(2y^2-3y-4)=4y^2+14y-6$. |
Запись в тетрадях
- $a(b+c)=ab+ac$ — распределительное свойство умножения.
- При умножении двух многочленов каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
- После раскрытия скобок необходимо привести подобные слагаемые и проверить знаки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает и для базового, и для повышенного задания, но в сложном выражении нужно внимательно раскрывать скобки перед вычитанием. Перед самостоятельной работой немного разомнёмся и переключим внимание."
Этап 5. Физкультминутка с математическим содержанием (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и сохранить концентрацию через короткое двигательное повторение алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Я называю шаг алгоритма, а вы выполняете движение: «раскрыть скобки» — разводим руки, «умножить каждый член» — поочерёдно вытягиваем руки вправо и влево, «привести подобные» — соединяем ладони, «проверить» — показываем большой палец. Теперь проговорим алгоритм вместе: умножить, раскрыть, привести, проверить." | Выполняют движения, синхронно проговаривают алгоритм, затем садятся и готовят листы для самостоятельной работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили алгоритм не только в записи, но и в последовательности действий. Теперь каждый покажет, насколько уверенно может применить его без помощи пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и организовать самоконтроль по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт варианты и объясняет: "Выполняйте задания самостоятельно. Первые три задания обязательны, четвёртое можно выбрать по уровню. Записывайте промежуточные произведения, а не только ответ. Если закончили раньше, выполните проверку подстановкой $x=1$." | Получают вариант, читают инструкцию, распределяют время и начинают работу. |
6 мин | Учитель предлагает вариант 1: «1) $4x(x-3)$; 2) $(x+5)(x-2)$; 3) $(2a-1)(a+4)$; 4) повышенный уровень: $(x+2)(x-3)+(x-1)(x+4)$». Для варианта 2 используются аналогичные выражения с другими коэффициентами. Учитель наблюдает, задаёт только направляющие вопросы: "Какой член ещё не умножен? Какой знак получится при умножении отрицательных чисел?" | Решают индивидуально, подчёркивают подобные слагаемые перед приведением, при необходимости выбирают повышенное задание. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «1) $4x^2-12x$; 2) $x^2+3x-10$; 3) $2a^2+7a-4$; 4) $2x^2+x-10$». "Проверьте только ответы, затем найдите в своей записи место расхождения. Исправьте ошибку другим цветом и подпишите её причину: знак, пропуск произведения или подобные слагаемые." | Сверяют решения, исправляют ошибки, классифицируют их и выставляют себе предварительный результат по критериям. |
Эталон решения
Для выражения $(x+5)(x-2)$: $x\cdot x+x\cdot(-2)+5\cdot x+5\cdot(-2)=x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10$. Проверка при $x=1$: исходное выражение $(1+5)(1-2)=-6$, преобразованное $1+3-10=-6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала не только количество правильных ответов, но и характер ошибок. Теперь применим умножение многочленов в задаче из другой области и проверим, зачем важно видеть структуру выражения."
Этап 7. Межпредметное применение и работа с ИКТ (6 мин)
Цель этапа: применить умножение многочленов в геометрической задаче и связать алгебраическую модель с вычислением площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране схему прямоугольной клумбы со сторонами $x+3$ м и $x+2$ м: "Представьте, что вы рассчитываете количество материала для оформления клумбы. Запишите формулу площади в виде произведения, затем раскройте скобки. Почему результат должен иметь смысл при $x>0$?" | Записывают $S=(x+3)(x+2)=x^2+5x+6$, объясняют: "При положительном $x$ все размеры положительны, поэтому площадь положительна". |
2 мин | Учитель предлагает выбрать значение $x=4$ и проверяет расчёт на интерактивной доске: "Сначала вычислите площадь по произведению, затем по многочлену. Сравните результаты." | Вычисляют $(4+3)(4+2)=42$ и $4^2+5\cdot4+6=42$, формулируют вывод о равенстве двух способов. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос профессионального контекста: "Где ещё инженер, дизайнер или экономист может использовать такую модель? Не требуется назвать единственный ответ — важно объяснить связь между величинами и произведением." | Предлагают: "При расчёте площади детали", "При оценке количества материала", "При составлении сметы ремонта" и аргументируют ответы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгебраическое преобразование позволило получить удобную формулу площади и проверить её двумя способами. Осталось оценить собственный результат, сформулировать, что уже получается, и назвать шаг, который требует дальнейшей тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, соотнести его с личной целью и выбрать посильный уровень домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт мини-лист самооценки: "Отметьте один вариант по каждому пункту: «могу выполнить сам», «могу с подсказкой», «пока затрудняюсь». Пункты такие: умножить одночлен на многочлен; умножить два многочлена; привести подобные слагаемые; проверить результат; объяснить решение партнёру." | Заполняют лист самооценки, соотносят его с результатом самостоятельной работы и личной целью. |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какой шаг алгоритма сегодня стал понятнее; какую ошибку вы будете проверять в первую очередь?" | Записывают ответы: например, "нужно умножать каждый член на каждый" и "сначала проверю знаки при раскрытии скобок". |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание и критерии выбора: "Базовый уровень обязателен для всех. Средний и продвинутый выбирайте по результату самостоятельной работы, а не по желанию получить более сложное задание любой ценой. Важно выполнить работу аккуратно и сохранить промежуточные шаги." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, сверяют задание с личной целью. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы закрепили умножение многочленов, научились замечать пропущенные произведения и проверять результат. Ваша точность зависит не от скорости, а от соблюдения последовательности действий. На следующем уроке мы продолжим преобразования выражений и будем использовать их для решения более сложных задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и задание выбранного повышенного уровня, раскрытие скобок записано полностью, подобные слагаемые приведены, допущенные исправления объяснены.
- «4» — верно выполнены все три обязательных задания, в одном повышенном задании или промежуточной записи есть одна вычислительная ошибка, не нарушающая понимание алгоритма.
- «3» — верно выполнены не менее двух обязательных заданий, алгоритм в целом выбран правильно, но есть ошибки в знаках, пропуске произведения или приведении подобных слагаемых.
- Результат ниже «3» означает необходимость повторить памятку и выполнить дополнительную тренировку с пошаговой проверкой, а не является основанием отказываться от дальнейшей работы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или более понятного вы сегодня увидели в алгоритме умножения многочленов? | Выявление осознанного освоения последовательности действий. |
На каком шаге вы чаще всего ошибались: при умножении, раскрытии скобок или приведении подобных слагаемых? | Выявление точек затруднения и планирование коррекционной работы. |
Как вы проверяли результат и помогла ли проверка подстановкой? | Оценка сформированности навыка самоконтроля. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценка адекватности самооценки и готовности к автономной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили важный алгоритм: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго, затем раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые. Самая частая ошибка — пропуск одного произведения или неверный знак при умножении отрицательных чисел, поэтому промежуточные записи действительно необходимы. Вы увидели, что тот же результат описывает площадь реальной фигуры и может быть проверен вычислением. На следующем уроке мы продолжим преобразования выражений и будем учиться выбирать наиболее удобный способ решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 выражений на умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен: два без отрицательных коэффициентов и три со знаками «плюс» и «минус». В каждом решении записать промежуточные произведения и привести подобные слагаемые. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть на полноту умножения, знаки и аккуратность объединения подобных слагаемых. |
Средний (повышающий) | Решить 4 выражения со скобками, содержащими отрицательные коэффициенты, включая два выражения, где после умножения нужно вычесть второй многочлен. Один результат проверить подстановкой выбранного значения переменной. | Развивает самоконтроль и умение работать с несколькими последовательными преобразованиями; проверять знаки при раскрытии второй скобки. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить задачу на площадь прямоугольника со сторонами, заданными двучленами, затем показать два способа проверки результата: раскрытием скобок и подстановкой конкретного значения переменной. | Формирует умение создавать математическую модель и переносить алгоритм в практический контекст; проверять корректность условия, формулы и единиц измерения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как сформулировать распределительное свойство?», «Сколько произведений получится при умножении двучлена на двучлен?», «Какие слагаемые можно привести после раскрытия скобок?», «Как проверить преобразование подстановкой числа вместо переменной?»
