Выражения, тождества, уравнения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять основные тождественные преобразования алгебраических выражений и применять их при решении линейных уравнений, в том числе со скобками, переменной в обеих частях и дробным коэффициентом.
- Уметь приводить подобные слагаемые, раскрывать скобки по распределительному свойству и записывать выражение в упрощённом виде.
- Уметь вычислять значение выражения при заданном значении переменной и проверять результат подстановкой.
- Уметь решать линейные уравнения по алгоритму: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести слагаемые, найти неизвестное и выполнить проверку.
- Развивать самостоятельность, математическую речь, умение выбирать способ решения и аргументировать, почему равенство является или не является тождеством.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгебраических преобразований для краткой и понятной записи вычислений.
- Проявляют ответственность за запись каждого шага решения и готовность проверять собственный результат.
- Развивают положительное отношение к самостоятельному выбору уровня задания.
- Понимают, что ошибка в знаке или коэффициенте может изменить весь результат, поэтому контроль является частью решения.
Метапредметные
- Формулируют алгоритм преобразования выражений и решения линейных уравнений.
- Извлекают информацию из условия, выделяют известные и неизвестные величины.
- Сравнивают два способа решения, находят ошибочный шаг и обосновывают исправление.
- Планируют работу с рабочим листом, распределяют время и проводят самопроверку по эталону.
Предметные
- Знать понятия «алгебраическое выражение», «подобные слагаемые», «тождество», «уравнение», «корень уравнения».
- Уметь упрощать выражения типа $3y+8-2y$, $2(3x-4)+x$ и $3(y+2)-2(y-5)$.
- Уметь вычислять значения выражений при заданных значениях переменных и преобразовывать простые формулы.
- Уметь решать уравнения со скобками, переменной в обеих частях и дробными коэффициентами.
- Уметь проверять тождество $2(3x-1)=6x-2$ и определять число решений уравнения $2(3x-1)+4=6x+2$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель: научиться видеть структуру выражения до начала вычислений.
- Выбирают обязательный или повышенный объём заданий, оценивая собственную готовность.
- Формируют ответственное отношение к математической записи и проверке ответа.
- Осознают связь точного преобразования формул с задачами технических и экономических профессий.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу после анализа затруднения в выражении со скобками.
- Планируют последовательность действий при решении уравнения.
- Сверяют промежуточные преобразования с алгоритмом и корректируют ошибку в знаке.
- Оценивают результат по критериям: правильность, полнота записи, наличие проверки.
Познавательные УУД
- Классифицируют слагаемые на подобные и неподобные.
- Применяют распределительное свойство умножения и свойства равенств.
- Моделируют текстовую задачу с помощью линейного уравнения.
- Анализируют, почему уравнение может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений.
- Используют подстановку как способ проверки тождества и корня уравнения.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру назначение каждого шага преобразования.
- Задают уточняющие вопросы о переносе слагаемых и смене знака.
- Сравнивают решения в паре и корректно формулируют замечание.
- Аргументируют вывод о числе решений уравнения.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с заданиями 1–20 по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить два дополнительных экземпляра.
- Подготовить карточки трёх уровней: обязательный минимум, базовый набор и повышенный набор; разложить по одной карточке на парту.
- Подготовить карточки «Верно» и «Ошибка» для быстрой проверки преобразований.
- Вывести на доску или экран памятку: распределительное свойство, правило приведения подобных слагаемых и алгоритм решения уравнения.
- Записать на доске проблемное равенство $2(3x-1)=6x-2$ и уравнение $2(3x-1)+4=6x+2$.
- Подготовить эталон решений заданий №9, №16, №17 и №20 для самопроверки.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор».
- Организовать работу с доской, проектором или интерактивной панелью; проверить наличие тетрадей, ручек и калькуляторы не использовать.
- Подготовить стикеры или небольшие листы для «Билета на выход».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и показать, что преобразования выражений нужны для получения краткой и проверяемой записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и рабочего листа. Сегодня вы сможете выбрать: выполнить обязательный набор заданий или перейти к повышенному уровню после самопроверки. Важно не просто получить ответ, а показать цепочку преобразований." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока, выбирают рабочее место для индивидуальной работы. |
2 мин | Учитель показывает на доске равенство $2(3x-1)=6x-2$ и говорит: "Посмотрите на запись. Как вы думаете, верна ли она при любом значении $x$? А что произойдёт, если в похожем уравнении преобразования выполнить невнимательно? Сегодня мы разберём, как выражения превращаются в тождества и помогают решать уравнения." | Высказывают предположения: "Равенство верно при любом $x$"; формулируют вопрос: "Как доказать это преобразованием?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна и та же запись может быть преобразована в более простой вид. Сначала вспомним правила, без которых рабочий лист будет трудно выполнить."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить правила сложения подобных слагаемых, раскрытия скобок, вычисления значения выражения и решения простого уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт мини-карточку и говорит: "Работаем приёмом «Подумай — обсуди в паре — поделись». За минуту упростите $4x+7x$, $3y+8-2y$ и $3(x+4)$. Затем сравните шаги с соседом. Обратите внимание: сначала мы раскрываем скобки, затем ищем подобные слагаемые." | Индивидуально записывают $11x$ и $y+8$, раскрывают скобки в $3(x+4)$, затем сверяют решения в паре. |
3 мин | Учитель спрашивает: "Какие слагаемые называют подобными? Как раскрывается скобка перед которой стоит минус? Как проверить найденный корень?" На доске фиксирует ответы: $a(b+c)=ab+ac$, коэффициенты подобных слагаемых складываются, корень проверяется подстановкой. | Формулируют ответы: "Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть"; "минус перед скобкой меняет знаки слагаемых"; "подставляем корень в исходное уравнение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные правила у нас есть. Теперь найдём место, где одного механического раскрытия скобок недостаточно и требуется действовать по плану."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить затруднение в многошаговом преобразовании и совместно сформулировать алгоритм урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает $2(4x-3)-3(x+2)$ и обращается к классу: "Попробуйте назвать порядок действий, не выполняя решение полностью. Можно ли сразу сложить $4x$ и $-3x$? Что нужно сделать первым?" | Отвечают: "Сначала раскрыть обе скобки, затем привести подобные слагаемые"; отмечают, что $4x$ и $-3x$ нельзя объединить до раскрытия скобок. |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать план: "Составьте вместе со мной алгоритм для выражения и для уравнения. Какие шаги нельзя пропустить?" На доске появляется схема: раскрыть скобки → привести подобные → перенести слагаемые → найти неизвестное → проверить. | Формулируют цель: "Научиться упрощать выражения и решать уравнения по шагам"; записывают алгоритм в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: научиться видеть структуру задания и выбирать верный порядок действий. Переходим к открытию нового знания на примерах рабочего листа."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы тождественных преобразований и решения уравнений со скобками и переменной в обеих частях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает задания №9 и №12: "Рассмотрим $2(3x-4)+x$. Сначала применяем распределительное свойство: $6x-8+x$. Теперь объединяем подобные: $7x-8$. В выражении $3(y+2)-2(y-5)$ особое внимание уделяем вторым скобкам: после умножения на $-2$ получаем $-2y+10$." | Записывают преобразования, проговаривают: "Сначала раскрываем скобки, затем приводим подобные"; получают $7x-8$ и $y+16$. |
3 мин | Учитель показывает уравнение №16: "Решим $5x+3=2x+18$. Слагаемые с переменной соберём слева, числа — справа: $5x-2x=18-3$, значит $3x=15$, $x=5$. Проверяем: $5
a+3$ при $a=5$ не относится к этому уравнению; проверка должна выполняться именно для $x$: $5\cdot5+3=2\cdot5+18$, $28=28$." | Переносят слагаемые, меняя знаки, получают $x=5$, выполняют проверку подстановкой в исходное уравнение. |
2 мин | Учитель объясняет дробный коэффициент на примере №17: "В уравнении $\frac{x}{4}+3=8$ сначала вычтем 3, получим $\frac{x}{4}=5$, затем умножим обе части на 4: $x=20$. Такой же принцип работает при коэффициенте $\frac{2}{3}$: умножаем обе части на обратное число." | Записывают алгоритм, решают устно $\frac{2}{3}a=8$, отвечают: "$a=12$", объясняют умножение на $\frac{3}{2}$. |
Запись в тетрадях
- Тождественные преобразования сохраняют значение выражения при всех допустимых значениях переменных.
- Алгоритм: раскрыть скобки; привести подобные слагаемые; при необходимости привести выражение к стандартному виду.
- Алгоритм решения уравнения: раскрыть скобки; привести подобные слагаемые; перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую; найти неизвестное; выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели общий порядок действий. Сейчас проверим его на коротких заданиях, где каждый шаг нужно проговорить вслух."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (7 мин)
Цель этапа: закрепить преобразования на типовых заданиях и предупредить ошибки в знаках и коэффициентах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Выполните задания №1 и №2: упростите $4x+7x$, $9a-5a$, $3y+8-2y$, затем раскройте скобки в $3(x+4)$, $5(2a-1)$, $-2(y-6)$. На каждом шаге подписывайте действие словами или стрелкой." | Решают индивидуально: получают $11x$, $4a$, $y+8$, $3x+12$, $10a-5$, $-2y+12$; сверяют результаты с соседом. |
2 мин | Учитель предлагает задания №3 и №8: "Сравните умножение одночленов и сложение подобных слагаемых. Решите $4x\cdot3x$ и упростите $\frac34x+\frac14x$. Что происходит с коэффициентами и степенями?" | Получают $12x^2$ и $x$; объясняют: "Коэффициенты перемножаются, показатели степеней складываются; при сложении подобных слагаемых складываются коэффициенты". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку приёмом «Две звезды и пожелание»: "Отметьте у партнёра два правильно выполненных шага и один момент, который стоит проверить. Не исправляйте молча — объясните причину." | Проверяют две работы, отмечают сильные стороны и формулируют замечание, например: "Проверь знак после раскрытия скобок". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы потренировали базовые операции и увидели, что знак перед скобкой нельзя терять. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько умеет применять алгоритм в разных типах заданий."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритмов на заданиях рабочего листа разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Обязательный минимум — задания №4, №6, №7 и №15. Базовый уровень добавляет №9, №11 и №17. Повышенный уровень включает №19 и №20. Выберите посильный маршрут, но сначала аккуратно решите минимум." | Выбирают маршрут и отмечают его в верхней части листа. |
7 мин | Учитель напоминает: "В №4 сначала подставьте значение переменной в скобки или вместо переменной, затем вычислите. В №6 раскройте скобки или разделите обе части на коэффициент. В №7 переносите слагаемые с переменной в одну часть. В №15 выполняйте перенос числа и проверку." Учитель консультирует по запросу, не сообщает готовый ответ. | Решают выбранные задания: вычисляют значения в №4, решают уравнения №6, №7 и №15, записывают промежуточные шаги и проверки. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответы, но и порядок действий. Для №19: $4(2x-3)-3(x+2)=5x-24$; после раскрытия скобок получаем $8x-12-3x-6=5x-24$, то есть $5x-18=5x-24$. Что это означает?" | Сверяют решения. В №19 замечают противоречие $-18=-24$ и формулируют: "Решений нет". Исправляют ошибки цветной ручкой. |
Эталон решения
№19: $4(2x-3)-3(x+2)=5x-24$; $8x-12-3x-6=5x-24$; $5x-18=5x-24$; после вычитания $5x$ из обеих частей получаем $-18=-24$, что неверно. Следовательно, уравнение не имеет решений. Для №20: $2(3x-1)+4=6x+2$; $6x-2+4=6x+2$; $6x+2=6x+2$. Получено верное равенство при любом $x$, поэтому уравнение имеет бесконечно много решений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм помогает не угадывать ответ, а обосновывать его. Осталось связать преобразования с тождествами, формулами и текстовой задачей."
Этап 7. Включение знаний в систему и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: применить изученные действия к тождеству, формуле и текстовой задаче, затем оценить собственное продвижение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание №13: "Проверьте, является ли равенство $2(3x-1)=6x-2$ тождеством. Объясните не только ответ, но и преобразование." Затем кратко обсуждает №18: "Одно число на 14 меньше другого, сумма равна 58. Обозначьте меньшее число через $x$ и составьте уравнение." | Раскрывают скобки: $6x-2=6x-2$, делают вывод: "Это тождество". Составляют $x+(x+14)=58$, получают $x=22$. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Зелёная карточка — самостоятельно решаю уравнения со скобками; жёлтая — понимаю алгоритм, но ошибаюсь в знаках; красная — нужна совместная тренировка. На стикере запишите один навык и один вопрос." | Поднимают карточку, заполняют стикер: например, "умею переносить слагаемые; нужно повторить дробный коэффициент". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы прошли путь от отдельных преобразований к тождествам и уравнениям. Сохраните алгоритм: он станет опорой для следующих задач на формулы и системы уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания обязательного маршрута, приведены промежуточные преобразования и проверки; в повышенных заданиях корректно определено число решений уравнения №20.
- «4» — верно выполнено не менее 80% обязательных заданий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, общий алгоритм соблюдён.
- «3» — верно выполнено не менее 60% обязательных заданий, но есть ошибки в раскрытии скобок или переносе слагаемых; ученик исправляет их после подсказки по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг вы выполняете в выражении со скобками? | Проверка понимания порядка тождественных преобразований. |
Где нужно особенно внимательно следить за знаком? | Выявление точек затруднения при раскрытии скобок и переносе слагаемых. |
Как вы проверяете корень уравнения? | Осознание необходимости подстановки в исходное уравнение. |
Какое задание рабочего листа вы готовы решить самостоятельно дома? | Субъективная оценка уровня освоения и готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились упрощать выражения, проверять тождества и решать линейные уравнения по понятному алгоритму. Самая частая ошибка — потеря знака при раскрытии скобок или переносе слагаемого, поэтому каждый результат нужно проверять. Выберите дома уровень, который позволит вам работать самостоятельно, а не просто переписать решение. На следующем уроке мы продолжим применять преобразования к более сложным уравнениям и задачам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий по образцу рабочего листа: два на приведение подобных слагаемых, два на раскрытие скобок, два линейных уравнения со скобками; в каждом решении записать промежуточные шаги. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на знаки, коэффициенты и наличие ответа. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий: одно на вычисление значения выражения, одно на проверку тождества, два уравнения с переменной в обеих частях и одно уравнение с дробным коэффициентом. | Формирует перенос навыка на разные типы заданий; при проверке смотреть на обоснование преобразований и подстановку. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 3 задания: текстовую задачу с составлением линейного уравнения, уравнение с несколькими скобками и уравнение, после преобразования которого нужно определить, имеет ли оно одно, ни одного или бесконечно много решений. | Развивает анализ структуры уравнения и умение объяснять число решений, а не только находить неизвестное. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое подобные слагаемые? Как раскрыть скобки перед которыми стоит отрицательный коэффициент? В каком порядке решают линейное уравнение? Как доказать, что равенство является тождеством?»
