Чтение графиков реальных зависимостей. График функции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться читать графики реальных зависимостей, определять по ним значения величин, интервалы возрастания и убывания, а также распознавать график функции по условию единственности значения зависимой переменной.
- Познакомить учащихся с понятиями «график зависимости» и «график функции», показать связь между таблицей значений, формулой и графическим представлением.
- Сформировать умение извлекать информацию из графиков, описывать изменение величин и проверять, является ли заданная зависимость функцией.
- Развивать математическую, читательскую и естественно-научную грамотность через анализ графиков температуры, движения и расхода ресурсов.
- Воспитывать ответственность за точность измерений, уважение к мнению одноклассников и готовность обосновывать свой ответ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графиков для описания процессов в природе, технике и повседневной жизни.
- Проявляют интерес к применению математики в профессиях инженера, аналитика, метеоролога и экономиста.
- Оценивают важность точности, внимательности и проверки данных при работе с информацией.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения и аргументированно выражают собственную позицию.
Метапредметные
- Извлекают информацию из графика, таблицы и краткого текстового описания ситуации.
- Сравнивают изменение величин на разных промежутках и формулируют выводы на основе данных.
- Планируют последовательность чтения графика и проверяют полученный ответ по условию задачи.
- Работают в паре, распределяют роли, задают уточняющие вопросы и представляют общий вывод.
- Используют математическую модель для описания реального процесса.
Предметные
- Знать определения зависимости, аргумента, значения функции и графика функции.
- Уметь находить по графику значение зависимой переменной при заданном значении аргумента.
- Уметь определять по графику промежутки возрастания, убывания и постоянства величины.
- Уметь применять правило вертикальной прямой для проверки, является ли график графиком функции.
- Уметь описывать реальные зависимости с использованием математических терминов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение практической задачи и оценивают собственную готовность читать графики.
- Связывают изучаемое понятие с будущей учебной и профессиональной деятельностью.
- Проявляют познавательную инициативу при выборе задания повышенного уровня.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм чтения графика: определить оси, единицы, нужное значение и сделать вывод.
- Сверяют решение с графиком и исправляют ошибки в координатах или единицах измерения.
- Оценивают результат по критериям точности, полноты и обоснованности ответа.
Познавательные УУД
- Выделяют существенную информацию на графике и переводят её в словесную форму.
- Сравнивают графики и устанавливают причинно-следственные связи между изменением величин.
- Классифицируют зависимости по признаку соответствия одному значению аргумента единственного значения функции.
- Моделируют реальную ситуацию с помощью таблицы и графика.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ с указанием величины и единицы измерения.
- Согласуют решение в паре и распределяют роли «аналитик» и «докладчик».
- Задают вопросы к рассуждению одноклассника и корректно аргументируют несогласие.
- Представляют результат работы группы в краткой форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или на слайде координатную сетку и графики трёх реальных зависимостей: изменения температуры в течение суток, пути велосипедиста от времени и уровня воды в резервуаре.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: базовые задания на считывание координат, средние на описание промежутков и повышенные на анализ графика функции.
- Распечатать по одной базовой карточке на каждого ученика, по одной карточке среднего уровня на парту и по одной повышенной карточке на группу из четырёх человек.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я умею определить значение по графику», «Я умею описать изменение», «Я умею проверить график функции».
- Вывести на экран или записать на доске памятку: 1) прочитай подписи осей; 2) проверь единицы; 3) найди нужное значение; 4) сформулируй ответ.
- Подготовить цветные маркеры, линейки, стикеры и таймер на 3 минуты.
- Для межпредметной связи подготовить небольшой график температуры воздуха и график движения объекта с обозначенными единицами измерения.
- Попросить учащихся использовать учебник для чтения определения графика функции и сверки формулировки, не указывая конкретные страницы или номера заданий.
- Подготовить проектор, ноутбук или интерактивную доску; при отсутствии оборудования использовать заранее начерченные плакаты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране график изменения температуры воздуха за сутки: «Здравствуйте, ребята. Посмотрите на график и не пытайтесь пока вычислять формулы. Ответьте только на один вопрос: в какое время человеку, вероятно, понадобится самая тёплая одежда? Объясните ответ ссылкой на график». | Рассматривают график, называют время минимальной температуры и объясняют: «В этот момент линия расположена ниже всего, значит, температура наименьшая». |
2 мин | Учитель продолжает: «График позволяет быстро увидеть изменение величины, даже если перед нами много измерений. Сегодня мы выясним, как правильно читать такие изображения и чем график функции отличается от любого графика зависимости. В конце урока вы выберете задание базового, среднего или повышенного уровня». | Формулируют предположения: «По графику можно узнать значение величины», «Можно увидеть, когда температура росла или падала». Записывают дату и тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что график уже сейчас сообщает нам важную информацию. Теперь проверим, какие знания о координатах и функциях помогут читать его точно».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной плоскости, переменных и координатах точки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске точки $A(2;3)$ и $B(-1;4)$: «Назовите первую и вторую координаты каждой точки. Какая координата обычно откладывается по горизонтальной оси, а какая по вертикальной? Почему порядок записи важен?» | Отвечают: «Первая координата — абсцисса, вторая — ордината. Первая откладывается по оси $x$, вторая — по оси $y$. Порядок важен, потому что точка $(2;3)$ и точка $(3;2)$ расположены по-разному». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Представьте, что $x$ — время, а $y$ — пройденный путь. Что будет независимой величиной? Какую величину обычно выбирают аргументом?» | 30 секунд рассуждают самостоятельно, 1 минуту обсуждают в паре, затем формулируют: «Время выбирают аргументом, потому что путь зависит от времени». |
2 мин | Учитель показывает таблицу: $x$: 0, 1, 2, 3; $y$: 0, 4, 8, 12. «Какая закономерность видна? Как нанести эти пары на координатную плоскость?» | Называют пары $(0;0)$, $(1;4)$, $(2;8)$, $(3;12)$, предлагают отметить точки и соединить их в соответствии с условием задачи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили координаты, переменные и пары значений. Но пока не ответили, всякий ли набор точек можно назвать графиком функции. Сформулируем проблему урока».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два изображения: первый график — путь автомобиля зависит от времени; второй — окружность на координатной плоскости. «У каждого изображения есть точки с координатами. Можно ли оба изображения назвать графиками зависимости $y$ от $x$? Для каждого значения $x$ должно быть ровно одно значение $y$ или возможны несколько?» | В парах рассматривают изображения и отвечают: «Для окружности одному значению $x$ иногда соответствуют два значения $y$, поэтому графиком функции $y$ от $x$ её считать нельзя». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как по графику быстро определить, является ли зависимость функцией, и как извлечь из графика сведения о реальном процессе? Запишите цель урока одним предложением». | Формулируют цель: «Научиться читать реальные графики и проверять, является ли график графиком функции». Записывают цель в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: нужно связать условие единственности значения с изображением на координатной плоскости. Теперь построим правило, которое позволит делать это уверенно».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм чтения графика реальной зависимости и критерий графика функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит график движения велосипедиста: по горизонтальной оси время в минутах, по вертикальной — расстояние от дома в километрах. «Сначала читаем подписи осей и единицы измерения. Найдите расстояние через 10 минут, момент остановки и самый удалённый от дома пункт. Отвечайте полными предложениями». | Проводят мысленные вертикали к графику, называют значения и единицы: «Через 10 минут велосипедист находился на расстоянии 2 км», «На промежутке от 10 до 15 минут расстояние не менялось», «Максимальное расстояние равно 5 км». |
3 мин | Учитель выделяет на графике участки разными цветами: «Если линия поднимается слева направо, величина возрастает; если опускается — убывает; если горизонтальна — сохраняет значение. Найдите все три типа участков и объясните, что происходило с велосипедистом». | Показывают участки на экране или в копии графика, формулируют: «На первом участке расстояние возрастало, на втором велосипедист остановился, на третьем расстояние уменьшалось, потому что он возвращался». |
2 мин | Учитель обращается к определению в учебнике: «Прочитайте определение графика функции и выделите условие, которое нужно запомнить. Запишите его кратко своими словами». | Читают определение, подчёркивают условие единственности и записывают: «График функции показывает зависимость, при которой каждому допустимому значению $x$ соответствует единственное значение $y$». |
2 мин | Учитель проводит вертикальную прямую на двух рисунках: «Мысленно перемещайте вертикальную прямую. Если она пересекает изображение более чем в одной точке, одному $x$ соответствуют разные $y$. Такой график не является графиком функции. Это правило называют проверкой вертикальной прямой». | Применяют правило к двум рисункам и делают вывод: «График, который любая вертикальная прямая пересекает не более чем в одной точке, может быть графиком функции». |
Запись в тетрадях
- График зависимости показывает, как одна величина изменяется при изменении другой.
- Функция — зависимость, при которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
- Для проверки графика функции используют вертикальную прямую: она не должна пересекать график более чем в одной точке.
- Алгоритм чтения: определить величины и единицы; найти нужную координату; описать изменение; проверить ответ по условию.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть два инструмента: алгоритм чтения графика и проверка вертикальной прямой. Применим их сначала вместе, проговаривая каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать чтение графика и устное объяснение результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с графиком температуры воздуха за сутки: «Работаем в парах. Найдите максимальную и минимальную температуру, промежуток, на котором температура возрастала, и время, когда температура была равна $0$ °C. Один ученик читает график, второй записывает ответы, затем поменяйтесь ролями». | В парах находят точки пересечения и экстремальные значения, записывают ответы с единицами измерения, сверяют их с графиком. |
2 мин | Учитель организует проверку: «Назовите не только число, но и способ поиска. Если ответ отличается, покажите на графике точку или участок, на который вы опирались». | Докладывают: «Чтобы найти температуру в 12 часов, провели вертикаль от отметки 12 до графика, затем горизонталь к оси температуры». Исправляют неточности. |
2 мин | Учитель показывает график окружности и график ломаной: «Поднимите зелёный стикер, если изображение может быть графиком функции, и жёлтый, если требуется объяснение. Обоснуйте решение вертикальной прямой». | Поднимают стикеры, проверяют оба изображения и формулируют: «Ломаная является графиком функции, окружность — нет, потому что вертикальная прямая пересекает окружность в двух точках». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились не угадывать ответ по виду линии, а доказывать его координатами и правилом вертикальной прямой. Теперь каждый проверит себя индивидуально».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма на заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: «Обязательный базовый уровень выполняют все. Затем выберите средний или продвинутый уровень. Выбор должен быть осознанным: ориентируйтесь на то, насколько уверенно умеете читать графики». Учитель напоминает критерии: точность, единицы, обоснование. | Выбирают уровень и получают карточку. Записывают на полях выбранный уровень. |
5 мин | Учитель контролирует индивидуальную работу и напоминает: «Не соединяйте точки с осью без объяснения. Сначала подпишите, что означает каждая ось. В каждом ответе указывайте единицу измерения». Базовый уровень: по графику найти три значения и определить один промежуток возрастания. Средний: описать весь процесс по четырём участкам. Продвинутый: сравнить два графика расхода воды и решить, где экономия выше. | Индивидуально решают задания. Базовый уровень: считывают координаты. Средний: составляют связное описание изменения. Продвинутый: сравнивают наклон и значения графиков, формулируют аргументированный вывод. |
2 мин | Учитель демонстрирует эталон на доске: «Проверьте не только результат, но и ход чтения. Для задания о температуре правильная запись должна содержать время, градусы Цельсия и вывод о промежутке». | Сверяют решение с эталоном, отмечают верные пункты и исправляют одну ошибку, если она обнаружена. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: «Назовите две сильные стороны решения товарища и один конкретный совет. Не пишите “всё хорошо”: укажите, например, точность чтения или наличие единиц». | Обмениваются карточками, записывают две сильные стороны и один совет, возвращают работу автору. |
Эталон решения
Для определения значения функции по графику: 1) на оси $x$ находят заданное значение аргумента; 2) проводят вертикаль до пересечения с графиком; 3) из точки пересечения проводят горизонталь к оси $y$; 4) считывают значение $y$ и указывают единицу измерения. Для проверки функции проводят вертикальную прямую: если она пересекает график более чем в одной точке, изображение не является графиком функции.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Индивидуальная работа показала, что один и тот же алгоритм применим к графикам температуры, движения и расхода воды. Осталось осмыслить, какие действия уже стали уверенными, а какие требуют тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: организовать самооценку, закрепить ключевые выводы и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: «На стикере закончите три фразы: “По графику я умею…”, “Чтобы проверить, является ли график функцией, я…”, “Мне нужно потренироваться в…”. Запишите один конкретный пример». | Заполняют стикер, формулируют освоенное умение и затруднение, прикрепляют стикер на доску в зоне «Уверенно», «Есть вопросы» или «Нужна помощь». |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Что показывает первая координата? Как найти значение функции по графику? Почему окружность не является графиком функции $y$ от $x$?» | Отвечают: «Первая координата — аргумент», «Нужно провести вертикаль, затем горизонталь», «Некоторым значениям $x$ соответствуют два значения $y$». |
2 мин | Учитель объясняет домашний выбор: «Выполните обязательный уровень и выберите один из двух повышающих вариантов. В каждом ответе подписывайте оси, единицы и объясняйте, по какому участку графика сделан вывод». | Записывают домашнее задание, выбирают повышающий вариант и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились видеть за графиком реальный процесс, читать его координаты и проверять условие функции. Сохраните алгоритм в тетради: он понадобится при построении графиков и решении задач по формулам».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, значения считаны с графика точно, в ответах указаны величины и единицы измерения, вывод о графике функции обоснован правилом вертикальной прямой.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в считывании значения или формулировке промежутка, общий алгоритм применён верно.
- «3» — выполнено не менее 60% базовых заданий, есть отдельные ошибки в координатах или единицах, но ученик понимает назначение осей и может с помощью подсказки проверить график функции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о графике функции? | Проверить осознание условия единственности значения функции. |
Какой шаг алгоритма чтения графика оказался самым полезным? | Выявить, какие действия учащиеся считают опорными. |
В каком месте самостоятельной работы возникло затруднение? | Определить точки затруднения в считывании координат, единиц или описании промежутков. |
Где в жизни или будущей профессии может понадобиться чтение графиков? | Поддержать мотивацию и установить межпредметную связь. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что график — это не просто линия на координатной плоскости, а удобная модель реального процесса. Вы научились находить значения величин, определять возрастание, убывание и постоянство, а также проверять график функции вертикальной прямой. Типичная ошибка — назвать число без единицы измерения или перепутать оси, поэтому всегда начинайте с их подписей. На следующем уроке мы будем строить графики функций по таблице и формуле и сравнивать разные способы задания зависимости».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на чтение графиков реальных зависимостей: найти значения величин в заданные моменты, определить максимум или минимум и один промежуток возрастания либо убывания. В каждом ответе указать единицы измерения. | Закрепляет алгоритм считывания координат и проверяет внимательность к подписям осей. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на описание процесса по графику: определить участки возрастания, убывания и постоянства, составить связный рассказ о происходящем и проверить, является ли изображение графиком функции. | Развивает умение переводить графическую информацию в текст и применять критерий функции. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный график зависимости из повседневной или межпредметной ситуации, например изменения температуры, расхода воды или расстояния от времени, нанести не менее 6 точек и подготовить 4 вопроса к графику с ответами. | Формирует умение создавать математическую модель, выбирать масштаб и аргументированно интерпретировать данные. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что откладывают по оси аргумента? Как по графику найти $y$ при заданном $x$? Какой признак позволяет установить, что изображение является графиком функции? Почему в ответе обязательно нужно указывать единицы измерения?»
