Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться раскрывать скобки, перед которыми стоит знак «+» или «−», и приводить подобные слагаемые в выражениях вида $a(b+c)+dx+e$, верно выполняя не менее трёх из четырёх заданий самостоятельной работы.
- Образовательная задача: понять связь раскрытия скобок с распределительным свойством умножения и применить её к выражениям с положительными и отрицательными коэффициентами.
- Развивающая задача: научиться выделять подобные слагаемые, объяснять порядок упрощения выражения и находить ошибку в предложенном решении.
- Развивающая задача: развивать математическую речь, умение сравнивать способы решения и аргументировать выбор более удобного способа.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за точность вычислений и уважительное отношение к разным обоснованным решениям одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность преобразования алгебраических выражений для краткой записи расчётов и проверки вычислений.
- Проявляют интерес к поиску нескольких способов упрощения одного выражения.
- Сохраняют готовность исправлять собственную ошибку после проверки по правилу.
- Уважают мнение одноклассника и оценивают математическое рассуждение, а не личность автора.
Метапредметные
- Извлекают информацию из записи выражения и распределительного свойства умножения, устанавливают последовательность преобразований.
- Сравнивают исходное выражение и его упрощённую форму, объясняют, какие слагаемые являются подобными.
- Планируют решение, проверяют знаки и коэффициенты после каждого преобразования.
- Формулируют выводы устно и письменно, используя математические термины и примеры.
Предметные
- Знают, что раскрытие скобок основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения.
- Умеют раскрывать скобки при положительном множителе и при множителе со знаком «−».
- Умеют распознавать подобные слагаемые и приводить их, складывая коэффициенты при одинаковой буквенной части.
- Умеют упрощать выражения в несколько шагов и проверять результат подстановкой числового значения переменной.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения преобразований выражений, связывая их с краткой записью вычислений.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске закономерности раскрытия скобок.
- Выбирают посильный уровень дополнительного задания и отвечают за качество его выполнения.
- Соотносят результат работы с поставленной целью и отмечают, что уже умеют делать самостоятельно.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после обнаружения затруднения при упрощении выражения со скобками.
- Планируют порядок действий: раскрыть скобки, проверить знаки, найти подобные слагаемые, привести их.
- Сверяют преобразования с распределительным свойством и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают самостоятельную работу по заданным критериям и определяют следующий шаг для улучшения результата.
Познавательные УУД
- Выделяют множитель и слагаемые в скобках, моделируя раскрытие скобок на основе распределительного свойства.
- Классифицируют слагаемые по буквенной части и объясняют, почему некоторые из них нельзя объединить.
- Анализируют ошибочное преобразование, находят нарушенное правило и предлагают исправление.
- Проверяют равносильность исходного и преобразованного выражений подстановкой выбранного значения переменной.
Коммуникативные УУД
- В паре задают уточняющие вопросы о знаках, коэффициентах и порядке выполнения преобразований.
- Объясняют решение, используя формулировки «распределительное свойство», «подобные слагаемые», «коэффициент».
- Сопоставляют способы решения и аргументированно выбирают корректный вариант.
- При взаимопроверке дают конкретную доброжелательную обратную связь по математической записи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: распределительное свойство $a(b+c)=ab+ac$, правило знака перед скобками, алгоритм упрощения выражения.
- Распечатать карточки актуализации с выражениями на раскрытие скобок при положительном множителе — по одной на ученика.
- Распечатать карточки для парной работы с двумя решениями одного выражения, одно из которых содержит ошибку, — по одной на пару.
- Подготовить индивидуальные карточки самостоятельной работы трёх уровней — по одной на ученика; базовый вариант должен быть доступен каждому.
- Подготовить лист самопроверки с ответами для самостоятельной работы — по одному на ученика, выдавать после выполнения.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по комплекту на каждого ученика.
- Заранее вывести на экран проблемное выражение $-(2x-3)+4x$ и два несовпадающих варианта его упрощения.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парного обсуждения и на 5 минут для самостоятельной работы; обеспечить доску и маркеры для фиксации ученических выводов.
- На доске оставить место для темы, алгоритма, примера $-2(3x-4)+x$ и проверки результата подстановкой.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и вызвать интерес к преобразованию выражений через обнаружение разных результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на столе есть тетрадь и ручка. Сегодня будем не просто выполнять действия, а искать способ записывать длинные выражения короче и надёжнее. На экране — выражение $-(2x-3)+4x$. Пока не решайте вслух: сначала внимательно прочитайте его и отметьте, какое место кажется самым рискованным." | Готовят тетради и ручки, читают выражение, отмечают про себя скобки со знаком «−» и слагаемые с $x$. |
2 мин | "Посмотрите на два ответа на экране: $-2x-3+4x$ и $-2x+3+4x$. Какой из них, по вашему мнению, может быть верным? Не торопитесь соглашаться с большинством: назовите причину выбора. Сегодня мы выясним, как раскрывать скобки и объединять слагаемые так, чтобы запись можно было обосновать." | Выбирают один из вариантов, кратко объясняют выбор: «при минусе меняются знаки» или «минус относится только к первому слагаемому»; фиксируют вопрос, который хотят проверить. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас есть два разных ответа и основание проверить каждый из них. Чтобы найти надёжный способ, сначала вспомним, какое свойство помогает умножать число на сумму."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить распределительное свойство и понятие подобных слагаемых, необходимые для открытия алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вспомните распределительное свойство умножения. Запишите в тетради равенство для произведения числа $a$ на сумму $b+c$. Кто готов — объясните, что происходит с множителем $a$. Затем применим это к конкретному примеру: раскройте скобки в выражении $3(x+2)$." | Записывают $a(b+c)=ab+ac$ и решают: $3(x+2)=3x+6$; проговаривают, что множитель умножается на каждое слагаемое в скобках. |
2 мин | "На доске два слагаемых: $5x$ и $-2x$. Можно ли их объединить? А выражения $5x$ и $5$? Объясните, что должно совпадать, чтобы слагаемые были подобными. Запишите результат объединения первой пары, сохранив буквенную часть." | Отвечают: «$5x$ и $-2x$ подобные, потому что буквенная часть одинакова»; получают $3x$; поясняют, что $5x$ и $5$ объединить нельзя. |
2 мин | "Теперь короткая разминка по карточке. За одну минуту упростите $2(a+4)$ и приведите подобные в $7y-3y+2$. Сверьте с соседом не только ответ, но и каждый переход. Какой общий навык потребуется и для выражения со скобками, и для выражения с несколькими слагаемыми?" | Индивидуально решают, затем сверяют в паре: $2a+8$ и $4y+2$; формулируют: «распределить множитель» и «сложить коэффициенты подобных слагаемых». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили распределительное свойство и вспомнили, как объединять подобные слагаемые. Осталось выяснить, почему знак перед скобками может изменить результат и какой порядок действий поможет не ошибиться."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при раскрытии скобок со знаком «−» и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вернёмся к выражению $-(2x-3)+4x$. Разберите его в паре по приёму «Подумай — обсуди в паре»: полминуты каждый думает самостоятельно, затем одна минута на сравнение решения. Можно проверить ответ подстановкой $x=1$. Что получилось у вас? Где именно возникло расхождение?" | Самостоятельно предлагают преобразование, затем сравнивают его с решением соседа; подставляют $x=1$ в исходное выражение и предложенные ответы, обнаруживают, что вариант $-2x-3+4x$ не сохраняет значение. |
3 мин | "Что мешает нам уверенно выбрать правильную запись? Достаточно ли просто убрать скобки, не учитывая знак перед ними? Какое правило нам нужно сформулировать, чтобы каждый член внутри скобок получил правильный знак? Сформулируйте цель урока так, чтобы в конце можно было проверить, достигли ли мы её." | Формулируют затруднение: «неясно, как знак минус влияет на все слагаемые в скобках»; предлагают цель: «научиться раскрывать скобки с минусом и затем приводить подобные слагаемые». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель сформулирована: раскрывать скобки, следить за знаками и объединять подобные слагаемые. Теперь выведем правило из уже известного свойства, а не будем запоминать его без объяснения."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правило раскрытия скобок при знаках «+» и «−» и построить последовательный алгоритм упрощения выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Рассмотрим сначала выражение $-(2x-3)$. Заменим знак минус умножением на $-1$: получим $(-1)(2x-3)$. Примените распределительное свойство: на что нужно умножить $-1$? Проверьте оба слагаемых отдельно. Какой результат получился?" | Записывают $(-1)(2x-3)=(-1)\cdot2x+(-1)\cdot(-3)=-2x+3$; замечают, что знак каждого слагаемого в скобках изменился. |
3 мин | "Сравним со скобками после плюса: $+(2x-3)$. Здесь перед скобками стоит множитель $1$. Что произойдёт при умножении каждого слагаемого на единицу? Сформулируйте правило своими словами и отдельно назовите, что делать, если перед скобками стоит минус." | Делают вывод: после плюса знаки слагаемых сохраняются; после минуса знаки всех слагаемых меняются. Записывают оба примера: $+(a-b)=a-b$ и $-(a-b)=-a+b$. |
4 мин | "Применим новое правило к выражению $-2(3x-4)+x$. Сначала раскрываем скобки: умножаем $-2$ на каждый член. Затем приводим подобные слагаемые, если они есть. Не перескакивайте сразу к ответу: произносите вслух, на каком шаге вы находитесь. Как проверить итог, не решая выражение заново?" | Предлагают шаги: $-2(3x-4)+x=-6x+8+x=-5x+8$; называют коэффициенты при $x$; предлагают проверку подстановкой, например $x=1$. |
Запись в тетрадях
- Распределительное свойство: $a(b+c)=ab+ac$.
- Перед скобками стоит «+» — знаки слагаемых внутри скобок сохраняются; перед скобками стоит «−» — знаки всех слагаемых меняются.
- Алгоритм: раскрыть скобки; проверить знаки и коэффициенты; найти подобные слагаемые; привести их; при необходимости проверить результат подстановкой.
Эталон решения
$-2(3x-4)+x=-6x+8+x=(-6x+x)+8=-5x+8$. При $x=1$ исходное выражение равно $-2(3-4)+1=3$, а результат равен $-5\cdot1+8=3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы обосновали правило через умножение на $-1$ и составили порядок преобразований. Теперь потренируемся применять его, проговаривая каждый шаг и особенно проверяя знаки."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на выражениях с одним и несколькими подобными слагаемыми и научиться объяснять преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Решим вместе выражение $4(2a-3)-a$. Я записываю преобразование по шагам, а вы называете действие после каждой строки. Что умножаем на каждое слагаемое? Какие члены можно объединить?" | У доски и в тетрадях записывают $4(2a-3)-a=8a-12-a=7a-12$; объясняют, что $8a$ и $-a$ — подобные слагаемые. |
2 мин | "Теперь работаем в паре с карточкой: упростите $-(3y+2)+5y-1$. Один ученик объясняет раскрытие скобок, второй проверяет знаки и затем роли меняются при проверке. Если не согласны, укажите конкретный переход, который нужно проверить." | Решают в паре: $-(3y+2)+5y-1=-3y-2+5y-1=2y-3$; взаимно сверяют изменение обоих знаков в скобках и объединение слагаемых. |
2 мин | "На карточке рядом приведено решение: $-(3y+2)=-3y+2$. Найдите ошибку и объясните, почему она возникла. Не ограничивайтесь фразой «неверно»: исправьте запись и назовите правило, которое подтверждает исправление." | Отмечают ошибку: второй знак не изменён; исправляют на $-(3y+2)=-3y-2$ и проговаривают правило о смене знаков всех слагаемых. |
Эталон решения
$4(2a-3)-a=8a-12-a=7a-12$. Для второго выражения: $-(3y+2)+5y-1=-3y-2+5y-1=2y-3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили правило и обнаружили типичную ошибку со знаком второго слагаемого. Теперь каждый проверит себя самостоятельно; задания можно выбрать по уровню уверенности, а базовую часть выполняют все."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых, предоставив ученикам выбор сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "На карточке три уровня: базовый, основной и повышенный. Сначала каждый выполняет базовый пример — он обязателен для всех. Затем выбирайте основной или повышенный уровень в зависимости от своей уверенности; можно начать с основного и перейти к повышенному. Работайте самостоятельно, промежуточные шаги записывайте." | Выбирают карточку, читают условие и отмечают для себя план решения; базовый пример выполняют все. |
4 мин | "Выполните задания, не стирая промежуточные преобразования. Базовое: $2(x+3)-x$. Основное: $-(4a-2)+3a$. Повышенное: $2(3y-1)-(y+4)$. Если завершили выбранное задание раньше, проверьте его подстановкой любого целого значения переменной." | Индивидуально решают доступное задание: $2(x+3)-x$; $-(4a-2)+3a$; либо $2(3y-1)-(y+4)$; записывают раскрытие скобок и приведение подобных. |
2 мин | "Откройте лист самопроверки. Сравните не только конечный ответ, но и переход со скобками: именно там чаще всего теряется знак. Отметьте карандашом место возможной ошибки и исправьте его другим цветом. Поднимите карточку «Светофор»: зелёная — могу объяснить правило, жёлтая — нужна ещё тренировка, красная — пока не понимаю, как меняются знаки." | Сверяют решение с эталоном, отмечают и исправляют ошибку; поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку в соответствии с самооценкой. |
Эталон решения
Базовое: $2(x+3)-x=2x+6-x=x+6$. Основное: $-(4a-2)+3a=-4a+2+3a=-a+2$. Повышенное: $2(3y-1)-(y+4)=6y-2-y-4=5y-6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы получили индивидуальную обратную связь и отметили, где требуется внимание. Проверим, как упрощённое выражение помогает быстро вычислять значение для конкретных данных."
Этап 7. Применение и связь с реальной задачей (4 мин)
Цель этапа: показать пользу упрощения выражения при расчёте общей стоимости нескольких одинаковых наборов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Представьте, что школьная команда закупает $x$ тетрадей по одинаковой цене. К каждому комплекту добавляют два предмета стоимостью $p$ рублей каждый, а затем из-за скидки вычитают три рубля с каждого комплекта. Запись стоимости трёх комплектов: $3(x+2p-3)$. Раскройте скобки и объясните, что означает каждый полученный член." | Преобразуют $3(x+2p-3)=3x+6p-9$; объясняют: $3x$ — стоимость трёх тетрадейных частей комплекта, $6p$ — стоимость шести дополнительных предметов, $9$ — суммарная скидка в рублях. |
2 мин | "Теперь сравните две записи при $x=20$ и $p=5$. Можно подставить значения в исходное выражение или сначала раскрыть скобки. Какой способ вам удобнее и почему? Назовите значение общей стоимости и проверьте, совпадают ли результаты." | Выбирают способ и вычисляют: $3(20+2\cdot5-3)=3\cdot27=81$; по раскрытой записи получают $3\cdot20+6\cdot5-9=81$; аргументируют, что равные результаты подтверждают преобразование. |
Эталон решения
$3(x+2p-3)=3x+6p-9$. При $x=20$, $p=5$: $3(20+10-3)=81$; по преобразованной записи $60+30-9=81$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что преобразование сокращает запись, но сохраняет значение выражения. Завершим урок и каждый определит, какое действие уже выполняет уверенно, а какое ещё требует внимания."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: соотнести результат урока с целью, зафиксировать затруднения и объяснить варианты домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Заполните на стикере две фразы: «Теперь я могу…» и «Мне нужно потренироваться…». Затем ответьте на вопрос: что обязательно проверить, когда перед скобками стоит минус? Поднимите карточку «Светофор», если ещё не сделали этого. Ваш ответ поможет мне выбрать примеры для начала следующего урока." | Записывают по одной конкретной фразе, например: «Теперь я могу раскрыть скобки и привести подобные»; «Мне нужно внимательнее проверять второй знак». Отвечают: «меняются знаки всех слагаемых в скобках». |
1 мин | "Домашнее задание выбирается по уровню: базовый вариант обязателен, остальные — возможность потренироваться или принять дополнительный вызов. Запишите свой выбор и задание. Перед выходом ответьте соседу на контрольный вопрос: почему $-(a-b)=-a+b$?" | Записывают выбранный вариант домашней работы; формулируют объяснение через умножение выражения на $-1$. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, правильно раскрыты скобки, приведены подобные слагаемые, записаны промежуточные шаги и выполнена проверка подстановкой хотя бы для одного выражения.
- «4» — правильно решены основные действия, допущена не более чем одна вычислительная ошибка или ошибка в записи, не меняющая понимания правила; большинство промежуточных шагов показано.
- «3» — верно выполнен базовый пример либо большая часть преобразования, но допущена ошибка со знаком или приведением подобных; ученик после подсказки может назвать нужное правило и исправить запись.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило помогает раскрыть скобки со знаком «−»? | Проверить понимание связи правила с распределительным свойством. |
На каком шаге в самостоятельном задании вы проверяли знаки? | Выявить точку возможного затруднения в алгоритме преобразования. |
Как вы убедились, что исходное и упрощённое выражения равны? | Проверить понимание подстановочной проверки и равносильности преобразования. |
Какое задание вы выбрали и что хотели бы потренировать ещё? | Получить самооценку уровня уверенности и определить потребность в дифференцированной поддержке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы вывели правило раскрытия скобок через распределительное свойство и применили его при приведении подобных слагаемых. Самая частая ошибка — изменить знак только у первого слагаемого после минуса, поэтому проверяйте каждый член в скобках. Если сомневаетесь, умножьте выражение в скобках на $-1$ и раскройте умножение по членам. На следующем уроке продолжим преобразовывать выражения и будем использовать их для решения уравнений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Упростить 5 выражений с одной парой скобок: два выражения со знаком «+», два со знаком «−» и одно с множителем перед скобками; затем привести подобные слагаемые. | Закрепить правило раскрытия скобок и проверить точность работы со знаками. |
Средний (повышающий) | Упростить 4 выражения с несколькими группами слагаемых, в том числе 2 выражения со скобками после знака «−»; записать преобразования по шагам и проверить одно выражение подстановкой числового значения. | Отработать полный алгоритм и научиться контролировать равносильность преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать и упростить 2 выражения, одно со знаком «−» перед скобками, другое с числовым множителем; составить к одному выражению ошибочное решение и письменно объяснить, как его исправить. | Развивать навык конструирования примеров, анализа типичной ошибки и аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом: какое свойство лежит в основе раскрытия скобок? Что происходит со знаками всех слагаемых после минуса? Какие слагаемые можно привести и что именно при этом складывают?
