Признаки делимости и разложение на множители натуральных чисел при решении задач (повторение)
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут применять признаки делимости и алгоритм разложения на простые множители для решения практических и логических задач, выбрав оптимальную стратегию решения.
- Образовательная задача: Систематизировать знания о признаках делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и отработать навык разложения чисел на простые множители.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление и функциональную грамотность через решение задач с экономическим и техническим содержанием.
- Воспитательная задача: Формировать навыки эффективной коммуникации при работе в парах и готовность к принятию самостоятельных решений.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе полученных результатов.
- Умение конструктивно взаимодействовать с партнером для достижения общей цели.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, координировать её с позициями партнёров в совместной деятельности.
Предметные
- Знать и уметь формулировать признаки делимости натуральных чисел.
- Уметь раскладывать составные числа на простые множители.
- Применять свойства делимости при решении текстовых задач, в том числе межпредметного характера.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение — осознание своих возможностей в решении задач разного уровня сложности.
- Смыслообразование — установление связи между учебной деятельностью и её мотивом (зачем мне нужно уметь быстро оценивать делимость чисел в жизни).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных).
- Синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов (разложение на множители).
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка его действий.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы «Кейс детектива» (по 1 на парту, всего 15 шт.).
- Подготовить три конверта с заданиями разного уровня сложности (Зеленый — база, Желтый — средний, Красный — высокий).
- Подготовить презентацию с визуальными загадками (слайды с «зашифрованными» числами).
- Подготовить стикеры трех цветов для рефлексии.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать игровую атмосферу «математического расследования».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, коллеги-математики! Сегодня наш класс превращается в аналитический центр. Нам поступил запрос: расшифровать данные, которые были повреждены при передаче. Чтобы справиться, нам понадобятся инструменты, которые вы изучали ранее — признаки делимости и умение раскладывать числа на простые составляющие. Готовы ли вы к интеллектуальному штурму?» | Приветствуют учителя, проверяют наличие тетрадей и ручек. Настраиваются на деловой и игровой лад. |
2 мин | Учитель выводит на экран слайд с «зашифрованным кодом» (число 123*5). «Посмотрите на экран. Это код доступа. Известно, что он делится на 3 и на 5 одновременно. Какая цифра может стоять вместо звездочки? У вас есть 30 секунд, чтобы обсудить это с соседом по парте». | Обсуждают в парах (прием Think-Pair-Share). Предлагают варианты: «Вместо звездочки может быть 1, 4 или 7. Если 1, сумма цифр 12, делится на 3. Если 4 — 15, если 7 — 18. На 5 делится в любом случае, так как оканчивается на 5». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, код взломан! Это была лишь разминка. Теперь перейдем к систематизации наших инструментов расследования».
Этап 2. Актуализация опорных знаний (7 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти основные признаки делимости и алгоритм разложения на множители через интерактивный опрос.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель проводит блиц-опрос «Верю — не верю»: «Я буду называть утверждение, если вы согласны — поднимите правую руку, если нет — левую. 1. Любое число, делящееся на 9, делится и на 3. 2. Число 125 делится на 2. 3. Если сумма цифр числа равна 10, оно делится на 3. 4. Число 210 можно разложить на множители 2, 3, 5 и 7». Учитель комментирует ответы, просит пояснить выбор. | Реагируют поднятием рук. По просьбе учителя аргументируют: «Сумма цифр 10 не делится на 3, значит и число не делится», «210 оканчивается на 0, значит делится на 2 и 5, сумма цифр 3 — делится на 3, остается 7 — простое число». |
3 мин | «Теперь вспомним алгоритм разложения. На доске число 450. Кто готов выйти и разложить его методом "лесенки"? Остальные делают это в тетрадях. Помните: мы используем только простые множители в порядке возрастания для удобства». | Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях. Записывают: $450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$. Сверяют результат с доской. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения
$450 = 2 \cdot 225 = 2 \cdot 3 \cdot 75 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 25 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Инструменты проверены и заточены. Пора приступать к настоящим делам».
Этап 3. Практикум: работа в парах с дифференциацией (15 мин)
Цель этапа: отработка навыков в парах на заданиях выбранного уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет правила: «На столах лежат кейсы. В каждом три уровня сложности. Уровень А (Зеленый) — базовые задачи на признаки. Уровень Б (Желтый) — задачи на разложение и логику. Уровень В (Красный) — задачи повышенной сложности. Вы с напарником сами выбираете, с какого уровня начать. Если решите уровень А и Б — это "4", если Б и В — это "5". Приступайте!» | Выбирают уровень сложности, распределяют обязанности в паре (кто записывает, кто проверяет). |
10 мин | Учитель курсирует между рядами, оказывая консультативную помощь. «Обратите внимание на задачу №2 в желтом кейсе: там нужно не просто найти делители, а соотнести их с количеством коробок на складе». | Решают задачи. Обсуждают варианты, спорят, приходят к общему решению. Записывают ход рассуждений в рабочий лист. |
3 мин | Учитель выводит на экран ключи для самопроверки. «Коллеги, время вышло. Возьмите зеленые ручки и проверьте свои ответы по эталону на экране. Если нашли ошибку — не стирайте, а обведите и напишите рядом правильный вариант. Это поможет нам понять, где "затаился преступник" — ваша ошибка». | Сверяют свои решения с эталоном. Проводят взаимопроверку в парах, ставят предварительную оценку по критериям. |
Запись в тетрадях
Ученики фиксируют решение выбранных задач. Пример (Уровень Б): «Задача: Можно ли 126 учебников распределить поровну между 9 классами? Решение: $1+2+6=9$. 9 делится на 9. Ответ: Да, можно по 14 учебников ($126:9=14$)».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Многие справились с уровнем Б, а некоторые рискнули взять красный кейс. Молодцы! Теперь посмотрим, как эти знания работают в других науках».
Этап 4. Межпредметный блок: Экономика и Логистика (10 мин)
Цель этапа: показать применение математического аппарата в реальных жизненных сценариях (функциональная грамотность).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: «Представьте, что вы менеджеры логистической компании. Вам нужно отправить партию из 2730 деталей. У вас есть контейнеры, вмещающие 2, 3, 5, 10, 13 деталей. Какие контейнеры лучше использовать, чтобы они были заполнены полностью и их было как можно меньше? Разложите число 2730 на множители, чтобы увидеть все варианты упаковки». | Разбирают задачу. Раскладывают число 2730 на простые множители: $2730 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$. Анализируют: «Мы можем использовать контейнеры по 13 деталей, тогда их будет $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ штук». |
5 мин | Учитель предлагает экономический кейс: «В магазине акция: "Скидка на каждый третий товар". Покупатель купил товаров на сумму 1542 рубля. Сумма чека должна делиться на 3, если все товары стоили одинаково. Проверьте, не обманули ли покупателя, если цена одного товара — целое число?» | Применяют признак делимости на 3: $1+5+4+2=12$. 12 делится на 3. Делают вывод: «Сумма корректна, признак выполняется, обмана нет». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Как видите, без признаков делимости менеджер склада или бухгалтер потратили бы гораздо больше времени на расчеты».
Этап 5. Рефлексия и игровое завершение (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень усвоения материала и эмоциональное состояние.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель использует прием «Билет на выход»: «Напишите на стикере одно число, которое делится и на 2, и на 3, и на 5 одновременно. Это будет ваш пропуск из класса. А на обороте поставьте себе оценку за урок: "!" — всё понял, могу научить другого; "?" — остались вопросы; "-" — было сложно, нужна помощь». | Пишут числа (например, 30, 60, 90...). Оценивают свою работу. Приклеивают стикеры на «Дерево знаний» у выхода. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание и дает краткий инструктаж по его выполнению. «Ваше задание тоже будет детективным — нужно найти "лишнее" число в ряду и обосновать свой выбор с помощью признаков делимости». | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания двух уровней (Б и В), включая полное разложение чисел на множители и логическое обоснование в текстовых задачах.
- «4» — верно выполнены задания уровней А и Б, допущены незначительные вычислительные ошибки, не влияющие на ход решения.
- «3» — выполнен только уровень А, или уровень Б выполнен с серьезными ошибками в применении признаков делимости.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости сегодня «спас» ваше расследование? | Выявление наиболее усвоенного или часто используемого материала. |
В какой момент работы в паре вам понадобилась помощь напарника? | Оценка навыков сотрудничества и выявление зон затруднения. |
Где в реальной жизни вам может пригодиться умение быстро раскладывать числа? | Осознание практической значимости темы (метапредметность). |
Завершающее слово учителя
«Коллеги, наше расследование подошло к концу. Сегодня вы доказали, что математика — это не просто набор цифр, а мощный инструмент для анализа реальности. Мы увидели, как признаки делимости помогают в логистике и экономике. Помните: любое сложное целое всегда состоит из простых частей — как числа состоят из простых множителей. На следующем уроке мы научимся использовать эти множители для поиска НОД и НОК. Спасибо за работу, вы отличная команда!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 124, 126 из учебника | Отработка стандартных признаков делимости на 3 и 9. |
Средний (повышающий) | Карточка «Числовой шифр» | Найти 5 чисел, которые делятся на 6 (использовать комбинацию признаков на 2 и 3). |
Продвинутый (дополнительный) | Задача «Сейф взломщика» | Придумать четырехзначное число, которое делится на 2, 3, 5, 9 одновременно, и составить про него загадку для класса. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если число делится на 10, обязательно ли оно делится на 5? А наоборот?»