Задачи на доли и части, в том числе исторические
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут научиться выбирать величину, принятую за целое, составлять по условию задачи на доли и части краткую математическую модель и решать не менее 4 из 5 задач, включая одну историческую, с проверкой ответа.
- Закрепить алгоритм решения задач на нахождение части числа, числа по его части и величины по нескольким последовательно взятым долям.
- Развивать умение анализировать условие, выделять известные и неизвестные величины, обосновывать выбор арифметического действия или уравнения.
- Формировать навыки сотрудничества, взаимопроверки и самостоятельного выбора уровня задания.
- Воспитывать уважение к историческим источникам, интерес к применению математики для анализа событий прошлого.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность математической модели при работе с историческими и жизненными данными.
- Проявляют ответственность за индивидуальный результат и готовность корректно обсуждать разные способы решения.
- Развивают познавательную мотивацию через самостоятельный выбор уровня сложности задания.
- Формируют уважительное отношение к исторической памяти и точности представления фактов.
Метапредметные
- Извлекают из текста числовую информацию и преобразуют её в схему, таблицу или краткую запись.
- Планируют последовательность решения, контролируют промежуточные вычисления и корректируют ошибочный шаг.
- Аргументированно объясняют выбор действия, формулы или уравнения при работе в паре и группе.
- Используют формирующее оценивание: сопоставляют решение с критериями и формулируют конкретное затруднение.
Предметные
- Знать различия между задачами на нахождение части числа, числа по его части и остатка после последовательного уменьшения.
- Уметь обозначать неизвестную величину буквой и выражать через неё связанные величины.
- Уметь решать задачи на доли и части арифметическим способом и с помощью линейного уравнения.
- Уметь проверять реалистичность ответа и записывать его с указанием единиц измерения.
- Владеть алгоритмом решения текстовой задачи: анализ условия, модель, вычисления, проверка, ответ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на доли и выбирают посильный маршрут работы.
- Осознают смысл точного вычисления при интерпретации исторических сведений.
- Проявляют самостоятельность и настойчивость при исправлении ошибки.
- Оценивают собственный вклад в парную или групповую работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения конкретной задачи и выделяют искомую величину.
- Составляют план действий до начала вычислений.
- Проверяют соответствие ответа условию, единицам измерения и здравому смыслу.
- Находят ошибочный шаг по эталону и выбирают способ коррекции.
Познавательные УУД
- Классифицируют задачи по типу известной доли и искомой величины.
- Строят схему «целое — часть — остаток» и переводят текст в математические выражения.
- Сравнивают арифметический способ и решение с помощью уравнения.
- Анализируют исторический текст, отделяя данные задачи от второстепенной информации.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы к условию и проверяют понимание задачи партнёром.
- Объясняют ход решения, используя математические термины.
- Согласовывают общий способ решения и корректно указывают на ошибку.
- Представляют группе краткое обоснование полученного ответа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске со схемой «целое — доля — часть — остаток» и алгоритмом решения текстовой задачи.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной базовой карточке на каждого ученика, по одной повышающей карточке на пару и по одной дополнительной карточке на группу.
- Подготовить исторические карточки с задачами о численности войска, запасах продовольствия и доле участников события; указать, что числа являются учебной моделью.
- Распечатать лист самооценки со строками «Я нахожу часть числа», «Я нахожу число по его части», «Я проверяю ответ».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить эталоны решений для взаимопроверки — по одному на парту, выдавать после самостоятельной работы.
- Освободить на доске место для кратких записей учеников и таблицы типов задач.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, таймер на 2, 4 и 6 минут, калькуляторы не использовать.
- Раздать каждому ученику рабочий лист с пятью краткими задачами и полем для схемы, формулы, вычислений и ответа.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практический смысл задач на доли и части.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, рабочий лист и линейка должны лежать перед вами. Сегодня мы не будем просто повторять правила, а попробуем восстановить ход событий по числовым данным. Точность вычисления здесь будет означать точность нашего вывода." | Проверяют принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране запись: «В отряде 240 человек. Три восьмых отправились в разведку». Затем говорит: "Не решая задачу полностью, определите, что здесь является целым, что — долей, а что можно найти. Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь формулировкой. Это приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально выделяют целое и долю, в парах формулируют: «Целое — 240 человек, доля — три восьмых, можно найти число разведчиков». Несколько пар озвучивают ответ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна и та же схема помогает читать и современную, и историческую информацию. Сейчас проверим, какие способы решения уже умеем применять."
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика затруднений (6 мин)
Цель этапа: восстановить основные типы задач на доли и выявить ошибки в выборе действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске три выражения: $120\cdot\frac{3}{5}$, $48:\frac{2}{7}$, $300\cdot\left(1-\frac{1}{6}\right)$ и говорит: "Определите, какой вопрос может соответствовать каждому выражению. Не вычисляйте сразу. Важно увидеть смысл действия. Поднимите зелёную карточку, если уверены, жёлтую — если нужно обсудить." | Распознают типы действий: нахождение части числа, числа по известной части, нахождение остатка после изъятия доли; показывают карточки. |
2 мин | Учитель предлагает парам составить к одному выражению короткий вопрос: "Для выражения $120\cdot\frac{3}{5}$ вопрос должен спрашивать о части от известного целого. Для выражения $48:\frac{2}{7}$ — о целом по известной части. Сравните формулировки и выберите точные." | Составляют вопросы, например: «Сколько составляет три пятых от 120?» и «Каково целое, если две седьмых равны 48?» |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Ученик увидел дробь $\frac{2}{7}$ и сразу умножил 48 на неё. Почему это может быть неверно? Объясните не только вычислением, но и смыслом. Запишите на полях короткое правило-предупреждение." | Объясняют: «48 — это уже часть, поэтому для восстановления целого нужно разделить на долю». Записывают: «Сначала определить, что известно: целое или часть». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили три смысловые модели и увидели, что действие выбирается не по внешнему виду дроби, а по вопросу задачи. Теперь сформулируем цель и порядок работы."
Этап 3. Постановка проблемы и планирование решения (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм решения и критерии качественного ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает историческую задачу: "В летописи указано, что после первого перехода отряд потерял $\frac{1}{6}$ своего состава, а затем ещё $\frac{1}{5}$ оставшихся людей отправили охранять обоз. В отряде было 360 человек. Сколько человек продолжило путь? Составьте план, но пока не выполняйте вычисления." | Выделяют целое 360, строят схему последовательных изменений, формулируют: «Сначала найдём остаток после потери, затем найдём пятую часть остатка и вычтем её». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске алгоритм и спрашивает: "Какие пункты обязательны, чтобы ответ был проверяемым? Как понять, что результат разумен?" Учитель дополняет ответы: анализ, модель, вычисления, проверка, ответ с единицами. | Предлагают пункты алгоритма, записывают их в тетрадь, называют проверку: «После потерь людей должно стать меньше 360». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План составлен: сначала читаем смысл, затем строим модель и только после этого считаем. Переходим к совместному решению исторической задачи и проверим каждый шаг."
Этап 4. Совместное закрепление алгоритма на исторической задаче (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к задаче с последовательно взятыми долями и объяснить смысл каждого действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель читает условие целиком и выводит его на экран: "Во время подготовки экспедиции было заготовлено 480 условных единиц продовольствия. В первый день использовали $\frac{1}{8}$ запаса, а во второй день — $\frac{1}{6}$ оставшегося запаса. Сколько условных единиц продовольствия осталось?" Учитель спрашивает: "Что является целым? От какой величины берётся вторая доля?" | Записывают краткое условие: целое — 480; сначала изъято $\frac{1}{8}$ целого; затем $\frac{1}{6}$ остатка. Отвечают: «Вторая доля берётся не от 480, а от оставшегося количества». |
3 мин | Учитель ведёт решение вопросами: "Как найдём запас после первого дня? Как обозначим результат? Как найдём, сколько использовали во второй день? Каким действием получим окончательный ответ?" На доске фиксируется цепочка выражений. | По очереди называют действия, составляют выражение $480\cdot\left(1-\frac{1}{8}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{6}\right)$ и выполняют вычисления в тетради. |
2 мин | Учитель организует проверку: "Сравните результат с 480. Назовите две проверки: смысловую и вычислительную. Если у вас получился другой ответ, найдите первый несовпадающий шаг, а не исправляйте только итоговое число." | Сверяют результат с партнёром, находят расхождения по шагам, формулируют проверку: результат меньше исходного, каждая доля взята от правильной величины. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) определить целое и доли; 2) установить, от какой величины берётся каждая доля; 3) составить выражение или уравнение; 4) выполнить вычисления; 5) проверить смысл ответа. Для задачи: $480\cdot\left(1-\frac{1}{8}\right)=420$; $420\cdot\left(1-\frac{1}{6}\right)=350$. Ответ: 350 условных единиц.
Эталон решения
После первого дня осталось $480-480\cdot\frac{1}{8}=480-60=420$ условных единиц. Во второй день использовали $420\cdot\frac{1}{6}=70$ условных единиц. Осталось $420-70=350$ условных единиц. Проверка: $350<420<480$, что соответствует условию.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главная опасность таких задач — взять вторую долю не от той величины. Мы каждый раз называли основание доли словами и только потом записывали действие. Теперь применим алгоритм самостоятельно на задачах разного уровня."
Этап 5. Первичное закрепление в парах «Математическая мастерская» (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор модели и способа решения через взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре две карточки: "Карточка A: в архиве 90 документов, три пятых относятся к одному историческому периоду. Сколько это документов? Карточка B: 28 экспонатов составляют $\frac{4}{7}$ всей коллекции. Сколько экспонатов в коллекции? Сначала определите тип задачи, затем решайте." | В парах подписывают тип каждой задачи: «нахождение части числа» и «нахождение целого по части», составляют краткую запись. |
3 мин | Учитель напоминает приём «Объясни партнёру»: "Один ученик проговаривает, почему выбрано умножение или деление, второй проверяет рассуждение по алгоритму. Затем поменяйтесь ролями. Я подойду к нескольким парам и попрошу объяснить не только ответ, но и смысл действия." | Решают задачи, по очереди объясняют партнёру выбор действия, исправляют неточную формулировку. |
2 мин | Учитель организует быструю проверку у доски: "Два представителя пар запишите только модель и ответ. Остальные сравнивают, ставят знак «+» у полностью обоснованного решения и формулируют один вопрос к решению, если видят затруднение." | Представляют модели: $90\cdot\frac{3}{5}=54$; $28:\frac{4}{7}=49$. Сверяют записи, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете различать два базовых типа задач и объяснять выбор действия. Далее каждый проверит себя индивидуально, а затем сверит решение с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и выбором уровня (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и развивать ответственность за выбор сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На рабочем листе есть обязательная задача и два маршрута. Выполните обязательную задачу, затем выберите повышающую или дополнительную. Выбор уровня не является оценкой личности: он показывает, какой вызов вы готовы принять сегодня." | Читают задания, отмечают выбранный маршрут, готовят поля для схемы и проверки. |
5 мин | Учитель предлагает выполнить задания: "Обязательная задача: в поселении было 600 жителей, $\frac{1}{10}$ уехала на заработки, а $\frac{1}{4}$ оставшихся занялась ремеслом. Сколько жителей осталось заниматься другими делами? Повышающая: 42 книги составляют $\frac{3}{7}$ собрания, затем $\frac{1}{6}$ собрания передали в музей. Сколько книг осталось? Дополнительная: после уменьшения числа на $\frac{1}{5}$ и последующего увеличения результата на $\frac{1}{4}$ получили 480. Найдите исходное число." | Индивидуально решают выбранные задачи, записывают модель, вычисления, проверку и ответ с единицами или пояснением. |
2 мин | Учитель раздаёт эталоны и говорит: "Проверьте не только последнюю цифру. Сначала сопоставьте модель с условием, затем вычисления, затем оформление ответа. За каждую найденную ошибку запишите рядом причину: «не та величина», «ошибка вычисления», «нет проверки»." | Сверяют решение с эталоном, отмечают совпадения, находят и классифицируют ошибки. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если самостоятельно различаете все три типа задач; жёлтую — если нужна тренировка одного типа; красную — если пока трудно составить модель. Запишите в листе самооценки, какая помощь нужна." | Показывают карточки, заполняют лист самооценки, формулируют личное затруднение одним предложением. |
Эталон решения
Обязательная задача: после отъезда осталось $600\cdot\left(1-\frac{1}{10}\right)=540$ жителей. Ремеслом занялись $540\cdot\frac{1}{4}=135$ жителей. Другими делами осталось заниматься $540-135=405$ жителей. Повышающая задача: всё собрание равно $42:\frac{3}{7}=98$ книг; в музей передали $98\cdot\frac{1}{6}=\frac{49}{3}$ книги, поэтому условие содержит нецелое количество книг и требует обсуждения реалистичности модели. Учащиеся должны заметить противоречие и указать, что данные задачи некорректны для количества предметов. Дополнительная задача: после уменьшения получаем $\frac{4}{5}x$, затем $\frac{4}{5}x\cdot\frac{5}{4}=x$, поэтому исходное число равно 480.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала не только умение считать, но и умение проверять реалистичность модели. Особенно важно заметить, когда математический результат противоречит смыслу: количество книг не может быть дробным. Завершим урок общей рефлексией и сформулируем, что теперь умеем делать."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (7 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы решения, назвать затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "В начале урока мы спрашивали, как восстановить ход события по долям. Сформулируйте полный алгоритм в четырёх-пяти шагах. Какие слова в условии помогают понять, от какого целого берётся доля?" | Формулируют алгоритм: «найти целое, определить основание доли, составить модель, вычислить, проверить и записать ответ». Называют слова «оставшихся», «от общего числа», «составляет часть». |
2 мин | Учитель проводит «Одноминутку»: "На стикере закончите два предложения: «Теперь я умею…» и «Мне ещё нужно потренироваться…». Не пишите общие слова, укажите конкретный тип задачи или шаг алгоритма." | Заполняют стикеры конкретными формулировками, например: «умею находить число по его части», «нужно потренировать последовательное уменьшение». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Если известна часть числа, какое действие чаще всего используется для нахождения этой части? Что делаем, если известна часть и её доля? Почему вторая доля в задаче про запас бралась от остатка?" | Отвечают: «Для нахождения части умножаем целое на долю; для нахождения целого делим часть на долю; потому что во втором случае основанием был уже изменённый запас». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень осознанно. Перед уходом проверьте, записали ли вы в тетради алгоритм и отметили ли личное затруднение." | Записывают домашнее задание, сверяют тетрадь с чек-листом, сдают стикеры. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто повторили действия с долями, а научились видеть за дробью конкретную величину и проверять, от чего она взята. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с несколькими изменениями и сравним арифметические модели с уравнениями."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обязательная и выбранная дополнительная задача, составлены математические модели, правильно определено основание каждой доли, выполнена смысловая проверка и записаны полные ответы.
- «4» — верно решены обязательная и одна выбранная задача, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не нарушающая ход рассуждения.
- «3» — верно решена обязательная задача или две простые части задания, однако есть затруднение при выборе действия, построении модели либо проверке ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является первым шагом при решении задачи на доли и части? | Проверка понимания анализа условия и выделения целого. |
Как определить, от какой величины берётся доля в задаче с несколькими изменениями? | Выявление затруднений в построении последовательной модели. |
Какая задача сегодня потребовала наибольшего внимания и почему? | Определение субъективной сложности и зон ближайшего развития. |
Какую ошибку вы теперь сможете обнаружить самостоятельно? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции решения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили три важных умения: находить часть числа, восстанавливать целое по его части и решать задачи с последовательными изменениями. Помните о типичной ошибке: доля всегда берётся от той величины, которая названа основанием в условии, а не автоматически от первоначального числа. Вы также увидели, что математическая проверка включает не только вычисления, но и оценку реалистичности ответа. На следующем уроке мы продолжим работу с такими моделями и будем чаще записывать их с помощью уравнений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение части числа или числа по его части и две на нахождение остатка после одного изменения. Для каждой записать краткую модель, вычисления и проверку. | Закрепляет выбор действия и оформление полного решения; при проверке обратить внимание на правильное определение целого. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с двумя последовательными долями, одна из которых имеет исторический или краеведческий контекст. Обязательно указать, от какой величины берётся каждая доля. | Формирует умение работать с изменяющимся основанием доли; при проверке оценить последовательность модели и реалистичность ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную историческую задачу на доли и части с целыми реалистичными данными, решить её двумя способами: арифметически и с помощью уравнения, затем кратко сравнить способы. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке обратить внимание на однозначность условия, целочисленность ответа и корректность сравнения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти часть числа по известному целому? Как найти целое по известной части? От чего берётся следующая доля при последовательных изменениях? Как проверить, что ответ задачи имеет смысл?»
