Сумма и разность кубов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать выражения вида $a^3+b^3$ и $a^3-b^3$, раскладывать их на множители по формулам суммы и разности кубов и применять формулы при решении не менее трёх заданий с результатом не ниже 70% правильных ответов.
- Установить формулы разложения суммы и разности кубов через наблюдение за произведением многочленов и объяснить структуру полученных разложений.
- Сформировать умение выбирать подходящую формулу, выполнять преобразование выражения и проверять результат обратным умножением.
- Развивать логическое и критическое мышление, умение выявлять закономерность, аргументировать выбор способа решения и работать в паре.
- Воспитывать ответственное отношение к учебной деятельности, готовность проверять собственный результат и уважительно обсуждать разные способы решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерности в алгебраических выражениях.
- Осознают ценность точности записи и проверки результата при выполнении вычислений.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки решения.
- Принимают необходимость сотрудничества и корректного обсуждения математических гипотез.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из примеров, сравнивают выражения и выделяют существенные признаки формул.
- Используют символическую модель для описания закономерности и переводят её в алгоритм действий.
- Аргументируют выбор формулы, участвуют в обсуждении и осуществляют самопроверку по эталону.
Предметные
- Знать формулы $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
- Уметь распознавать сумму и разность кубов в одночленах и многочленах.
- Уметь раскладывать на множители выражения вида $a^3+b^3$ и $a^3-b^3$.
- Уметь проверять разложение раскрытием скобок и применять формулы в вычислительных и текстовых заданиях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения формул как инструмента упрощения вычислений и преобразований.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Соблюдают доброжелательность при обсуждении ошибок одноклассников.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют алгоритм разложения выражения на множители.
- Планируют решение: определить вид выражения, выбрать формулу, подставить части, проверить результат.
- Сравнивают полученный ответ с эталоном и находят ошибку в знаках или степенях.
- Корректируют решение после взаимопроверки и оценивают степень освоения материала.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак выражений, содержащих кубы двух выражений.
- Анализируют произведения и устанавливают связь между формулой и раскрытием скобок.
- Моделируют правило с помощью букв $a$ и $b$.
- Применяют классификацию «сумма кубов» — «разность кубов» при решении заданий.
Коммуникативные УУД
- Формулируют предположение и объясняют его партнёру.
- Задают уточняющие вопросы о выборе знаков во второй скобке.
- Согласовывают решение в паре и представляют его классу.
- Аргументированно оценивают решение, не подменяя проверку готовым ответом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с парами произведений: $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и $(a-b)(a^2+ab+b^2)$, а также с заданиями на распознавание формул.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для работы в парах с выражениями $x^3+8$, $27-y^3$, $8a^3+b^3$, $125m^3-64n^3$.
- Распечатать мини-эталон для самопроверки — по одному на ученика или вывести его на экран после выполнения работы.
- Подготовить листы для приёма «Светофор» и небольшие стикеры для рефлексии — по одному на ученика.
- Вывести на доску памятку: «1. Определи кубы. 2. Определи знак. 3. Подставь в формулу. 4. Проверь умножением».
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Обеспечить оборудование: доска или интерактивная панель, маркеры, проектор при использовании презентации.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску нового способа преобразования выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки. Сегодня вы будете не только применять готовое правило, но и сами восстановите закономерность. Это важно: тот, кто понимает происхождение формулы, меньше ошибается в знаках». | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражения $x^3+8$ и $x^3-8$ и обращается к классу: «Представьте, что такое преобразование нужно выполнить быстро, например при расчёте сложной формулы в инженерной или компьютерной задаче. Как можно представить число 8? Что общего у двух выражений? Какой способ разложения вы бы попробовали применить?» | Предполагают: «$8=2^3$», «в обоих выражениях есть сумма или разность кубов», предлагают использовать разложение на множители. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели выражения, которые похожи на уже знакомые случаи разложения, но требуют точного распознавания кубов. Сейчас проверим, достаточно ли наших прежних знаний, и найдём место затруднения».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать формулы сокращённого умножения, действия со степенями и разложение многочлена на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: «Вспомним формулы, которые могут помочь сегодня. Запишите и продолжите: $(a+b)^2=...$, $(a-b)^2=...$. Теперь назовите кубы одночленов: $8$, $27x^3$, $64y^3$. Объясните, как вы это определили». | Записывают формулы квадрата суммы и разности, отвечают: «$8=2^3$, $27x^3=(3x)^3$, $64y^3=(4y)^3$», объясняют выделение кубического корня. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Самостоятельно определите, можно ли сразу применить известную формулу к выражениям $a^3+b^3$ и $a^3-b^3$. Обсудите с соседом и назовите, чего не хватает для решения». Учитель фиксирует на доске разные гипотезы. | Сначала записывают индивидуальное мнение, затем обсуждают его в паре и формулируют: «Формулы квадрата суммы и разности здесь напрямую не подходят; нужна формула для кубов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем распознавать кубы и знаем формулы для квадратов, но пока не можем обосновать разложение суммы и разности кубов. Значит, именно это новое знание нам предстоит открыть».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и совместно сформулировать цель и план учебных действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске произведение $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и говорит: «Попробуем раскрыть скобки. Не спешите угадывать ответ: распределите множитель и объедините подобные слагаемые. Что произойдёт со средними членами?» | Раскрывают скобки, получают $a^3-a^2b+ab^2+b^3$, затем замечают сокращение средних слагаемых и формулируют: «Остаётся $a^3+b^3$». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Почему именно такие знаки стоят во второй скобке? Как получить аналогичное разложение для разности кубов? Сформулируйте цель урока и предложите план». Учитель записывает предложения учащихся. | Формулируют цель: «Открыть и научиться применять формулы суммы и разности кубов». Предлагают план: проверить произведения, вывести формулы, решить примеры, выполнить самопроверку. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: мы не просто запомним две формулы, а проверим, почему они работают. Начнём с раскрытия произведений и сравним полученные результаты».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулы суммы и разности кубов и оформить алгоритм их применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: «Рассмотрим произведение $(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Раскроем скобки по распределительному закону: $a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)$. Выполните умножение по членам и подчеркните слагаемые, которые уничтожаются». Учитель просит одного ученика записать преобразования на доске. | Раскрывают скобки: $a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3$. Сокращают противоположные слагаемые и записывают вывод: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. |
4 мин | Учитель продолжает: «Теперь рассмотрим произведение $(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Обратите внимание: в первой скобке знак минус, а во второй знаки меняются. Раскройте скобки и объясните, почему средние слагаемые снова исчезают». Учитель задаёт вопросы: «Какой знак будет перед $ab$ во второй скобке? Какой знак перед $b^2$?» | Раскрывают скобки: $a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$. Сокращают средние члены, получают $a^3-b^3$. Объясняют: «Во второй скобке стоят знаки плюс, чтобы смешанные слагаемые сократились». |
2 мин | Учитель оформляет на доске «Шпаргалку-напоминание»: «Сумма кубов: сумма в первой скобке, во второй — квадрат первого, минус произведение, плюс квадрат второго. Разность кубов: разность в первой скобке, во второй — все плюсы». Затем просит проговорить алгоритм. | Записывают формулы: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$; $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Проговаривают алгоритм: определить $a$ и $b$, выбрать знак, подставить, проверить. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают определения и формулы: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$; $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Под формулами фиксируют правило: «В первой скобке сохраняется знак между кубами; во второй скобке идут квадраты и произведение, причём знак перед произведением противоположен знаку первой скобки, а перед квадратом второго выражения — плюс».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формулы получены не угадыванием, а проверкой раскрытием скобок. Теперь применим их к конкретным выражениям и научимся не путать знак перед произведением».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать распознавание суммы и разности кубов и применение формул с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парные карточки и говорит: «Работаем по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись». В каждой паре разберите выражения $x^3+8$ и $27-y^3$. Сначала назовите, чему равны $a$ и $b$, затем выберите формулу и запишите обе скобки. Один участник решает, второй проверяет знаки». | В парах определяют: $8=2^3$, $27=3^3$. Записывают: $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$; $27-y^3=(3-y)(9+3y+y^2)$. Обмениваются ролями и проверяют знаки. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: «Некоторые записывают для суммы кубов $(a+b)(a^2+ab+b^2)$. Проверим: при раскрытии скобок смешанные члены не сократятся. Какой знак должен стоять перед произведением? Обоснуйте ответ». | Сравнивают два варианта, раскрывают часть скобок и отвечают: «При сумме кубов перед произведением должен быть минус, иначе средние слагаемые не уничтожатся». |
2 мин | Учитель предлагает выбор: «Выберите одно выражение для устного объяснения у доски: $8a^3+b^3$ или $125m^3-64n^3$. Объясните не только ответ, но и распознавание кубов». | Выбирают задание, записывают: $8a^3+b^3=(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)$ или $125m^3-64n^3=(5m-4n)(25m^2+20mn+16n^2)$, объясняют ход решения. |
Эталон решения
Для $125m^3-64n^3$: $125m^3=(5m)^3$, $64n^3=(4n)^3$. Это разность кубов, поэтому $a=5m$, $b=4n$. По формуле $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ получаем $(5m-4n)(25m^2+20mn+16n^2)$. Проверка выполняется раскрытием скобок: смешанные слагаемые $20m^2n$ и $-20m^2n$, $80mn^2$ и $-80mn^2$ сокращаются.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились видеть кубы не только в числах, но и в одночленах с переменными. Далее каждый самостоятельно проверит, может ли применить алгоритм без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение формул и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: «Выберите карточку базового, повышающего или продвинутого уровня. Выбор — это ваша ответственность: ориентируйтесь не на оценку соседа, а на готовность проверить себя. Перед началом посмотрите на критерии: важны правильное распознавание кубов, знаки и аккуратная проверка». | Выбирают уровень, записывают на листе фамилию и предполагаемый результат. |
6 мин | Учитель выдаёт задания. Базовый уровень: разложить $x^3+27$ и $64-y^3$. Повышающий: разложить $8a^3+125b^3$ и $216p^3-27q^3$. Продвинутый: разложить $27x^3-8y^3$ и вычислить значение разложения при $x=2$, $y=1$. Учитель напоминает: «Запишите промежуточное распознавание кубов, а не только итог». | Индивидуально выполняют выбранные задания, выделяют кубы, записывают формулу и подстановку. Продвинутый вариант дополнительно подставляет значения после разложения. |
3 мин | Учитель выводит эталон и говорит: «Проверьте решение по шагам, не стирая ошибку: отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — требующий исправления. Если ошибка найдена, перепишите только ошибочный фрагмент и объясните причину». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, ставят количество верных заданий и уровень самостоятельности: «могу сам», «нужна тренировка», «нужна помощь». |
Эталон решения
$x^3+27=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9)$. $64-y^3=4^3-y^3=(4-y)(16+4y+y^2)$. $8a^3+125b^3=(2a)^3+(5b)^3=(2a+5b)(4a^2-10ab+25b^2)$. $216p^3-27q^3=(6p)^3-(3q)^3=(6p-3q)(36p^2+18pq+9q^2)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — не сама формула, а неверное распознавание куба или знака. Сейчас зафиксируем, какой шаг алгоритма уже выполняется уверенно, а какой требует дополнительной тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ действия, оценить продвижение каждого ученика и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно распознать сумму или разность кубов и применить формулу; жёлтую — если формулу понимаете, но путаете знаки; красную — если нужен разбор с учителем. На стикере допишите: “Сегодня я научился…” и “Мне нужно потренировать…”». | Поднимают карточку, заполняют стикер конкретными формулировками: «научился выделять $(3x)^3$», «нужно потренировать знак перед произведением», прикрепляют стикеры к доске. |
3 мин | Учитель говорит: «Сформулируйте ответ на проблемный вопрос урока: почему во второй скобке стоят именно такие знаки? Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Перед выходом ответьте устно: какая формула используется для $a^3-b^3$ и какой знак стоит перед $ab$?» | Отвечают: «Знаки обеспечивают сокращение смешанных слагаемых при раскрытии скобок». Записывают домашнее задание, отвечают: «Для разности кубов; перед $ab$ стоит плюс». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами вывели и проверили формулы суммы и разности кубов. Важно не заучивать их механически, а видеть структуру: знак первой скобки и противоположный знак перед произведением во второй. На следующем уроке применим эти формулы в более сложных преобразованиях и вычислениях».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно распознаны кубы, формулы записаны без ошибок, приведена проверка хотя бы одного преобразования.
- «4» — верно выполнены не менее 75% заданий, допущена одна ошибка в знаке или записи промежуточного шага, общий способ выбран правильно.
- «3» — верно выполнены не менее 50% заданий, формула в целом выбрана правильно, но есть ошибки при распознавании кубов, подстановке или оформлении второй скобки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня вывели и как проверили формулы суммы и разности кубов? | Проверка осознания происхождения формул, а не только их механического запоминания. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: распознать кубы, выбрать формулу или расставить знаки? | Выявление конкретной точки затруднения в алгоритме решения. |
Почему в формуле суммы кубов перед произведением стоит знак минус? | Проверка понимания связи между знаками и сокращением смешанных слагаемых. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки, ответственности и навыка осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы открыли две важные формулы: сумму и разность кубов, а затем проверили их раскрытием скобок. Главная ошибка обычно связана с тем, что ученик узнаёт кубы, но путает знак перед произведением во второй скобке. Поэтому каждый раз проговаривайте алгоритм и выполняйте хотя бы краткую проверку. На следующем уроке мы будем использовать эти формулы в более сложных выражениях и вычислениях».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на разложение на множители: две суммы кубов и две разности кубов с числовыми и буквенными одночленами, аналогичные разобранным на уроке. | Закрепить распознавание кубов и выбор формулы; при проверке обратить внимание на знак перед произведением во второй скобке. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий на разложение выражений вида $(ka)^3+(mb)^3$ и $(ka)^3-(mb)^3$, одну из полученных формул проверить полным раскрытием скобок. | Закрепить работу с коэффициентами и степенями, развить самоконтроль через обратную проверку. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 3 задания: разложить на множители выражения с вынесением общего множителя перед применением формулы, а также составить собственный пример суммы или разности кубов и доказать его разложение раскрытием скобок. | Развить умение выбирать последовательность преобразований и объяснять математическое решение. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как распознать сумму кубов? Какая формула используется для $a^3+b^3$? Какой знак стоит перед $ab$ в формуле разности кубов? Как проверить правильность разложения?»
