Степень с натуральным показателем
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать произведение одинаковых множителей в виде степени, раскрывать степень в произведение и вычислять значения степеней с натуральными показателями, выполнив не менее 4 из 5 заданий базового уровня.
- Сформировать представление о степени как краткой записи произведения одинаковых множителей и научить различать основание и показатель степени.
- Закрепить умение применять определение степени при вычислениях и объяснять порядок действий в выражениях со степенями.
- Развивать умение анализировать запись, находить ошибки, выбирать уровень задания и проверять результат.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за индивидуальный результат и готовность аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность краткой математической записи для вычислений и дальнейшего изучения алгебры.
- Проявляют интерес к поиску закономерности в произведениях одинаковых множителей.
- Оценивают собственную готовность применять новое правило и принимают необходимость исправлять ошибки.
- Развивают самостоятельность через выбор задания соответствующего уровня сложности.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из определения, примеров и заданий учебника, преобразуют её в краткую схему.
- Сравнивают выражения, выявляют закономерность и объясняют найденный способ решения.
- Работают в паре, аргументируют ответ и используют взаимопроверку по предложенному эталону.
Предметные
- Знать определение степени с натуральным показателем, смысл основания и показателя степени.
- Уметь записывать произведение одинаковых множителей в виде степени и представлять степень в виде произведения.
- Уметь вычислять значения степеней с натуральными показателями.
- Уметь читать записи вида $a^n$ и находить ошибки в употреблении основания или показателя.
- Уметь применять определение степени при решении выражений разной сложности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения компактной записи числовых выражений.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и оформлению решения.
- Осознают возможность преодолеть затруднение через анализ примера и обращение к правилу.
- Формируют позитивное отношение к самостоятельному выбору уровня задания.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока: научиться работать со степенями.
- Составляют алгоритм записи произведения в виде степени и применяют его по шагам.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают результат по критериям и определяют следующий шаг для улучшения.
Познавательные УУД
- Выделяют основание и показатель степени в математической записи.
- Устанавливают закономерность в ряду произведений одинаковых множителей.
- Преобразуют выражения из одной формы в другую и моделируют алгоритм в виде схемы.
- Анализируют неверные решения и объясняют причину ошибки.
Коммуникативные УУД
- Формулируют математическое объяснение и используют термины «основание» и «показатель».
- Обсуждают решение в паре, задают уточняющие вопросы и корректно возражают.
- Распределяют роли при взаимопроверке и аргументируют выбор ответа.
- Представляют классу способ решения кратко и последовательно.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с рядами $2·2·2·2$, $5·5·5$, $a·a·a·a·a$ и вопросом о краткой записи.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — базовые, жёлтые — повышающие, синие — дополнительные; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить лист эталона для взаимопроверки: определения, алгоритм и ответы к заданиям самостоятельной работы.
- Распечатать мини-лист самооценки и билет на выход — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить карточку с неверными записями $3^4=3·4$, $(-2)^3=-2·-2·-2$ без скобок и $7^2=7+7$ для анализа ошибок.
- Предусмотреть работу с текстом определения и примерами из учебника: ученики открывают материал по теме без указания конкретных страниц.
- На доске заранее разместить таблицу «Запись — основание — показатель — значение» и алгоритм из четырёх шагов.
- Подготовить таймер, маркеры, проектор или интерактивную доску; рассадить учеников парами для обсуждения.
- Подобрать к домашней работе задания базового, повышающего и дополнительного уровней без привязки к номерам и страницам.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать необходимость нового способа записи произведений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобится внимательность: мы будем не просто считать, а искать более удобный способ записи выражений. Запишите дату и оставьте место для темы урока." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради и учебник на теме урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске произведение $2·2·2·2·2·2$ и говорит: "Представьте, что такое выражение встречается в большой формуле или компьютерной программе. Как записать его короче, не потеряв смысл? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь предложением. Этот приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально предлагают варианты, обсуждают их в парах, формулируют: "Нужно обозначить число 2 и количество повторений". Несколько пар озвучивают идеи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что длинное произведение одинаковых множителей можно сделать короче. Сейчас выясним, как называется такая запись и какие правила позволяют с ней работать."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия произведения и множителя, зафиксировать затруднение в краткой записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $4·4·4$, $7·7$, $x·x·x·x$. "Назовите множители в каждом произведении. Сколько раз повторяется каждый множитель? Чем отличаются эти три записи? Вспомните, как выполняется умножение одинаковых чисел." | Называют множители: "4, 7 и x"; считают повторения: "три, два и четыре"; объясняют, что произведение можно вычислить последовательным умножением. |
3 мин | Учитель предлагает пробное задание: "Попробуйте записать произведение $3·3·3·3$ одним символом и цифрой. Запишите также произведение $a·a·a$. Работайте самостоятельно, затем сравните записи в паре. Если варианты расходятся, объясните, что именно обозначает цифра." Учитель фиксирует разные варианты, не объявляя правильный. | Записывают предполагаемые варианты, сравнивают их и формулируют затруднение: "Мы понимаем, что нужно указать число повторений, но пока не знаем, как правильно оформить эту запись". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить одинаковый множитель и считать его повторения, но нам не хватает математического обозначения. Значит, цель урока — открыть это обозначение и научиться применять его без ошибок."
Этап 3. Постановка цели и построение проекта выхода (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать цель урока и алгоритм открытия нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что нам нужно узнать, чтобы решить затруднение? Какие действия мы должны уметь выполнять с новой записью? Составьте план из двух-трёх пунктов. Подумайте, как проверить, что новая запись действительно означает то же произведение." | Предлагают план: "Узнать название и обозначения; научиться записывать произведение степенью; научиться раскрывать степень и вычислять её; проверить себя на примерах". |
2 мин | Учитель записывает на доске сформулированную цель и говорит: "Сегодня мы изучаем степень с натуральным показателем. К концу урока вы должны будете перейти от произведения к степени и обратно, а затем вычислить значение. Тема в тетради: «Степень с натуральным показателем»." | Записывают тему, цель и краткий план урока в тетрадь; задают уточняющие вопросы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План готов: сначала откроем определение, затем потренируемся вместе и после этого каждый проверит себя самостоятельно. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятие степени, основания и показателя через работу с определением и примерами учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Откройте учебник на теме урока и найдите определение степени. Внимательно прочитайте его, выделите слова, которые отвечают на вопросы: какое число повторяется? Сколько раз оно повторяется?" Затем показывает запись $a^n$ и объясняет: "Число $a$ называют основанием степени, число $n$ — показателем степени. Степень $a^n$ означает произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$." | Читают определение, выделяют ключевые слова, находят в записи $a^n$ основание и показатель, формулируют: "Основание показывает, какой множитель повторяется, показатель — сколько раз". |
3 мин | Учитель записывает на доске: $5^3=5·5·5$, $b^4=b·b·b·b$, $10^2=10·10$. "Посмотрите на каждый пример. Прочитайте его двумя способами: сначала как степень, затем как произведение. Почему в записи $5^3$ показатель равен 3, а не значение степени?" | Читают: "Пять в третьей степени; пять умножить на пять умножить на пять". Объясняют: "Показатель показывает число множителей, а не результат вычисления". |
3 мин | Учитель предлагает приём «Шпаргалка-напоминание»: "Составьте в тетради короткую схему. Шаг 1 — найдите одинаковый множитель. Шаг 2 — посчитайте его повторения. Шаг 3 — запишите множитель основанием, количество повторений показателем. При раскрытии степени действуйте в обратном порядке. Сейчас применим схему к выражениям $6·6·6·6$, $c·c·c$ и $2^5$." | Записывают схему, преобразуют выражения: $6^4$, $c^3$, $2·2·2·2·2$. Объясняют действия соседу по парте и исправляют неточности. |
Запись в тетрадях
Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $a^n=a·a·...·a$. Число $a$ — основание степени, число $n$ — показатель степени. Например, $4^3=4·4·4=64$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть точное определение и алгоритм. Мы выяснили, что показатель — это количество одинаковых множителей, а не их сумма и не результат. Проверим новое правило на заданиях, где нужно проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление. Практикум в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать переход от произведения к степени и вычисление простых степеней с проговариванием способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Запишите в виде степени произведения $3·3·3$, $8·8$, $y·y·y·y·y$. Для каждого ответа назовите основание и показатель. Не просто называйте результат — объясняйте, сколько одинаковых множителей вы увидели." | В парах выполняют три преобразования: $3^3$, $8^2$, $y^5$; подписывают основание и показатель, проговаривают алгоритм. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь раскройте степени $4^3$, $6^2$, $x^4$ и вычислите числовые значения там, где это возможно. Сравните решения с партнёром. Если получили разные ответы, найдите шаг расхождения." | Записывают $4^3=4·4·4=64$, $6^2=6·6=36$, $x^4=x·x·x·x$; выполняют взаимопроверку и объясняют результат. |
2 мин | Учитель показывает ошибочные записи: $3^4=3·4$, $5^2=10$, $a^3=a+ a+a$. "Работает приём «Найди ошибку». Выберите одну запись, объясните, почему она неверна, и исправьте её." | Отмечают ошибки и формулируют исправления: $3^4=3·3·3·3$; $5^2=5·5=25$; $a^3=a·a·a$. |
Эталон решения
Для выражения $4^3$: показатель 3 означает три одинаковых множителя; раскрываем степень: $4^3=4·4·4$; вычисляем: $4·4=16$, $16·4=64$. Ответ: $4^3=64$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парах вы научились переходить в обе стороны и обнаружили типичные ошибки: показатель нельзя умножать на основание, заменять умножение сложением или путать количество множителей со значением степени. Теперь каждый покажет, насколько уверенно применяет алгоритм самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с выбором уровня (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определения степени и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточках три уровня. Зелёный — обязательный минимум, жёлтый — повышенный, синий — дополнительный. Каждый начинает с зелёного; если справились уверенно, выбираете следующий уровень. Важно не количество карточек, а точность записи и объяснения." | Выбирают карточку, записывают фамилию и приступают к работе, соблюдая указанный уровень. |
6 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: "Какой множитель повторяется? Сколько раз? Что будет основанием? Что показывает показатель? Проверьте вычисление раскрытием степени." Для базового уровня: записать в виде степени $2·2·2·2$, $7·7·7$ и раскрыть $3^2$, $5^3$. Для повышенного: вычислить $2^4+3^2$, $5^2-2^3$ и представить $x·x·x+x·x$ через степени. Для дополнительного: найти ошибку в рассуждении «$4^3=12$, потому что показатель показывает, сколько раз нужно сложить основание» и объяснить правильный способ. | Индивидуально решают задания выбранного уровня, записывают промежуточные преобразования и при необходимости переходят к следующей карточке. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: $2·2·2·2=2^4$; $7·7·7=7^3$; $3^2=9$; $5^3=125$; $2^4+3^2=16+9=25$; $5^2-2^3=25-8=17$. "Проверьте не только ответ, но и оформление. Поставьте плюс около верного задания, вопрос около места сомнения и исправьте одну ошибку другим цветом." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают верные задания, отмечают затруднение в листе самооценки. |
Эталон решения
$2^4+3^2=2·2·2·2+3·3=16+9=25$. Сначала раскрываем степени, затем вычисляем значения степеней и выполняем сложение. Для $5^2-2^3$: $5·5-2·2·2=25-8=17$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже доступен большинству. Ошибка чаще всего возникает, когда показатель воспринимают как действие над основанием. На следующем этапе свяжем степень с уже известными правилами порядка действий и проверим понимание короткими вопросами."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную проверку: "Закончите фразы: в записи $a^n$ число $a$ называется...; число $n$ показывает...; $6^2$ означает...; чтобы проверить запись степени, нужно..." Затем предлагает сигнал «Светофор»: зелёная карточка — могу объяснить, жёлтая — нужна тренировка, красная — пока затрудняюсь. | Отвечают: "Основанием"; "количество одинаковых множителей"; "$6·6$"; "раскрыть степень и сравнить множители". Показывают цвет самооценки. |
2 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: что является основанием в $9^4$? Сколько множителей в $b^6$? Чем отличается $3^2$ от $3·2$?" | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольные вопросы устно или на билете выхода, сдают билет учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли способ краткой записи произведения одинаковых множителей, научились читать степень, раскрывать её и вычислять значение. Важно помнить: показатель показывает число множителей, а не действие сложения или умножения основания на показатель. На следующем уроке мы продолжим преобразования выражений со степенями и будем применять определение в более сложных заданиях."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания базового уровня и не менее двух заданий повышенного или дополнительного уровня; основание и показатель названы правильно, преобразования оформлены последовательно.
- «4» — верно выполнено не менее 80% базовых заданий, допущена не более одной вычислительной или оформительской ошибки, смысл показателя объяснён.
- «3» — верно выполнено не менее 60% базовых заданий, но есть отдельные ошибки при раскрытии степени или вычислении; после подсказки алгоритм применяется.
- Ниже базового уровня — ученик вместе с учителем разбирает ошибку в определении основания или показателя и выполняет аналогичный пример с опорой на схему.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о записи $a^n$? | Выявление осознания определения степени, основания и показателя. |
Какое действие оказалось самым лёгким, а где понадобилась проверка? | Определение точки затруднения в алгоритме преобразования. |
Почему запись $3^4=3·4$ неверна? | Проверка понимания смысла показателя, а не механического запоминания. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки и осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились заменять длинное произведение одинаковых множителей компактной записью — степенью. Мы разобрали, что основание показывает повторяющийся множитель, а показатель — количество таких множителей. Типичная ошибка — заменить умножение основания на показатель или сложение одинаковых чисел. Проверяйте себя раскрытием степени: это надёжный способ увидеть смысл записи. На следующем уроке мы продолжим вычисления и преобразования выражений со степенями."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий: три произведения одинаковых множителей записать в виде степеней и три степени раскрыть в произведения; вычислить значения четырёх числовых степеней с показателями от 2 до 4. | Закрепляет определение степени и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на количество множителей и правильное вычисление. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 выражения со степенями, включающие сложение и вычитание после вычисления степеней, например $2^4+3^2$ и $5^2-2^3$, а также объяснить решение одного выражения словами. | Формирует применение степени в выражениях и соблюдение порядка действий; проверять раскрытие степени и промежуточные вычисления. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 3 собственных задания: одно на запись произведения степенью, одно на раскрытие степени и одно на поиск ошибки в готовом решении; к каждому дать краткое объяснение. | Развивает создание математического задания, анализ ошибки и аргументацию; проверять корректность условия, решения и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется степенью? Что показывает основание? Что показывает показатель? Как раскрыть запись $a^n$? Почему $4^2$ не равно $4·2$?»
