Умножение одночлена на многочлен
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять распределительное свойство умножения для раскрытия скобок при умножении одночлена на многочлен и без ошибок выполнять не менее 4 из 5 предложенных преобразований.
- Сформулировать и обосновать правило умножения одночлена на многочлен через распределительное свойство умножения.
- Научиться пошагово умножать одночлен на каждый член многочлена, учитывать знаки и приводить результат к стандартному виду.
- Развивать умение анализировать решение, находить и объяснять типичные ошибки при раскрытии скобок.
- Воспитывать ответственность за результат совместной работы, готовность аргументировать собственный способ решения и корректно оценивать работу одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к преобразованию алгебраических выражений как инструменту решения практических и математических задач.
- Осознают ценность аккуратной записи и проверки результата.
- Принимают возможность выбора уровня задания и ответственно оценивают собственный прогресс.
- Развивают уверенность в способности самостоятельно открыть и применить новое правило.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно составляют план её решения.
- Извлекают информацию из примеров, сравнивают способы преобразования и делают вывод.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы, аргументируют правильность преобразования.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят причину ошибки и корректируют запись.
Предметные
- Знать распределительное свойство умножения и правило умножения одночлена на многочлен.
- Уметь умножать одночлен на каждый член многочлена и складывать полученные произведения.
- Уметь раскрывать скобки в выражениях вида $a(b+c)$ и $a(b-c)$ с буквенными коэффициентами.
- Уметь приводить результат к стандартному виду и проверять его обратным преобразованием.
- Уметь объяснять, почему множитель умножается на каждый член многочлена, а не только на первый.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучаемого правила для дальнейшего преобразования выражений.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания.
- Формируют положительное отношение к поиску и исправлению собственных ошибок.
- Оценивают вклад каждого участника парной работы.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность: распределить множитель, выполнить умножение, привести подобные слагаемые.
- Сверяют решение с эталоном и фиксируют место ошибки.
- Оценивают достижение цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют структуру произведения одночлена и многочлена.
- Сравнивают числовой пример и буквенное выражение.
- Моделируют преобразование с помощью распределительного свойства.
- Анализируют ошибочные решения и устанавливают нарушенный шаг алгоритма.
Коммуникативные УУД
- Формулируют правило в паре и согласуют единую запись.
- Задают вопросы о знаках и порядке действий.
- Доказывают правильность решения, используя математическую терминологию.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с выражениями $3(2+5)$, $3(x+4)$ и $-2a(3a-5)$, а также с алгоритмом самопроверки.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего по числу парт в классе.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями: $3(x+2)=3x+2$ и $-2a(3a-5)=-6a^2-10a$.
- Подготовить листы для приёма «Светофор» или зелёные, жёлтые и красные карточки по одной на ученика.
- Вывесить на доске памятку: «Умножь одночлен на каждый член многочлена; учти знаки; приведи подобные слагаемые; проверь».
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
- Проверить наличие доски, маркеров, таймера и проектора; организовать места для парной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой и показать необходимость нового способа преобразования выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: в тетради должны быть дата, ручка и место для новой темы. Сегодня я предложу вам не готовое правило, а математическую задачу, из которой это правило нужно будет вывести. Работать можно будет индивидуально и в паре, а уровень заключительного задания вы выберете сами." | Проверяют готовность, записывают дату, занимают рабочие места. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $3(x+4)$ и говорит: "Представьте, что $x+4$ — стоимость одного набора, а таких наборов три. Как можно раскрыть скобки, чтобы получить сумму? Не называйте пока правило, предложите способ. Подумайте 30 секунд, затем обсудите ответ с соседом." Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала записывают индивидуальный вариант, затем обсуждают его в паре и предлагают: "$3(x+4)=3x+12$"; объясняют, что тройку нужно умножить и на $x$, и на 4. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже увидели, что внешний множитель связан с каждым слагаемым в скобках. Теперь проверим, какие знания помогут нам объяснить этот переход и выполнить его без ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить распределительное свойство, правила знаков и приведение подобных слагаемых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $5(2+7)$ и спрашивает: "Каким свойством можно заменить умножение суммы на число? Запишите два равных выражения и назовите каждый элемент записи. Почему число 5 нельзя умножить только на 2?" | Записывают $5(2+7)=5\cdot2+5\cdot7$, называют распределительное свойство и отвечают: "Потому что сумма состоит из двух слагаемых, и множитель относится к каждому из них". |
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Выполните по цепочке: $-3\cdot4$, $-2\cdot(-5)$, $a\cdot3a$, $2x+5x$. Проговаривайте знак и результат. Ошибку не скрываем — выясняем, на каком шаге она появилась." | Вычисляют и проговаривают: "$-12$", "$10$", "$3a^2$", "$7x$". |
1 мин | Учитель показывает два ответа: $4(x+3)=4x+3$ и $4(x+3)=4x+12$: "Поднимите зелёную карточку, если верно второе равенство, жёлтую — если хотите уточнить, красную — если пока не уверены. Объясните выбор." | Показывают карточки, исправляют неверную запись: "$4$ нужно умножить и на $x$, и на $3$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили распределительное свойство, правила знаков и приведение подобных слагаемых. Теперь определим, какой именно шаг вызывает затруднение, когда вместо чисел появляются одночлены и многочлены."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выражение $-2a(3a-5)$: "Попробуйте преобразовать его самостоятельно. Работайте одну минуту, даже если не уверены. Затем сравним записи. На доске появились варианты $-6a^2-10a$ и $-6a^2+10a$. Какой шаг нужно проверить?" | Решают индивидуально, сравнивают варианты, замечают затруднение при умножении отрицательного одночлена на отрицательное слагаемое и формулируют: "Нужно внимательно учитывать знак каждого произведения". |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Что находится внутри скобок? На какие слагаемые нужно умножить $-2a$? Что получится при умножении $-2a$ на $3a$? А на $-5$? Как сформулировать общий способ для любого одночлена и многочлена?" Учитель фиксирует предложения на доске и уточняет цель: "Сегодня мы научимся умножать одночлен на многочлен." | Отвечают: "В скобках многочлен $3a-5$"; "Нужно умножить на $3a$ и на $-5$"; "$-6a^2$ и $10a$". Формулируют цель и план: распределить множитель, выполнить умножение, привести результат к стандартному виду, проверить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема стала ясной: нельзя потерять ни одного слагаемого и нельзя ошибиться в знаке. Сейчас мы выведем правило и оформим алгоритм, который затем проверим на разных выражениях."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести правило умножения одночлена на многочлен и оформить алгоритм действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $a(b+c)=ab+ac$ и поясняет: "Рассмотрим буквенную запись распределительного свойства. Сумма $b+c$ умножается на $a$, поэтому множитель $a$ должен попасть к каждому слагаемому. Теперь заменим $a$, $b$ и $c$ конкретными одночленами: $2x(3x^2-4x+5)$. Сколько слагаемых в многочлене? Сколько произведений должно получиться?" | Определяют, что в многочлене три слагаемых и результатом должны быть три произведения. Записывают: $2x(3x^2-4x+5)=2x\cdot3x^2+2x\cdot(-4x)+2x\cdot5$. |
3 мин | Учитель пошагово демонстрирует решение: "Сначала умножаем $2x$ на $3x^2$: получаем $6x^3$. Затем $2x$ на $-4x$: получаем $-8x^2$. Затем $2x$ на $5$: получаем $10x$. Получаем $6x^3-8x^2+10x$. Обратите внимание: степени одинаковых букв складываются при умножении, а знаки определяются отдельно." | Записывают решение по шагам, проговаривают: "$2\cdot3=6$, $x\cdot x^2=x^3$; произведение положительного и отрицательного — отрицательное". |
3 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте правило одним предложением. Затем сравните формулировки в паре и выберите наиболее точную. После этого две пары объединяются и предлагают общий вариант классу." Учитель выводит эталон: "Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить." | Формулируют правило индивидуально, уточняют его в парах и группах. Записывают эталонное правило и алгоритм: 1) умножить внешний одночлен на каждый член; 2) определить знаки; 3) выполнить умножение одночленов; 4) привести подобные слагаемые; 5) проверить число слагаемых и знаки. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают правило: «Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить». Ниже записывают алгоритм из пяти шагов и пример $2x(3x^2-4x+5)=6x^3-8x^2+10x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило выведено из уже известного свойства, а не выучено механически. Теперь применим его вместе, проговаривая каждый шаг, чтобы убедиться: алгоритм работает и при разных знаках."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать новый алгоритм с проговариванием действий и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки парам и говорит: "Выполните два выражения, комментируя каждый шаг: $3x(2x-5)$ и $-4a(a^2+2a-3)$. Один ученик называет действие, второй записывает; затем поменяйтесь ролями. На карточке обязательно подчеркните множитель, который распределяется по скобкам." | В парах записывают: $3x(2x-5)=6x^2-15x$; $-4a(a^2+2a-3)=-4a^3-8a^2+12a$. По очереди объясняют распределение множителя. |
2 мин | Учитель вызывает ученика к доске: "Покажите решение первого выражения, а класс проверит не только ответ, но и каждый переход. Если видите расхождение, сначала назовите конкретный шаг, который нужно проверить." | Один ученик оформляет решение у доски, остальные сверяют промежуточные произведения и формулируют замечание: "Сначала нужно было умножить $3x$ на оба слагаемых". |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись $-5y(2y-3)=-10y^2-15y$: "Работаем приёмом «Найди ошибку». Не исправляйте молча: назовите ошибочный множитель и объясните изменение знака." | Находят ошибку во втором произведении: $(-5y)\cdot(-3)=15y$, поэтому верно $-10y^2+15y$. Записывают исправленный результат. |
Эталон решения
$3x(2x-5)=3x\cdot2x+3x\cdot(-5)=6x^2-15x$. $-4a(a^2+2a-3)=(-4a)\cdot a^2+(-4a)\cdot2a+(-4a)\cdot(-3)=-4a^3-8a^2+12a$. В ошибочном решении $-5y(2y-3)$ неверно определён знак второго произведения: $(-5y)\cdot(-3)=15y$, поэтому результат $-10y^2+15y$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились распределять одночлен по всем слагаемым и отдельно контролировать знак каждого произведения. Теперь каждый проверит себя самостоятельно; можно выбрать базовый или повышающий уровень, а желающие возьмут дополнительное задание."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и научить корректировать собственные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите один из двух обязательных вариантов. Вариант А содержит выражения базового уровня, вариант Б требует больше самостоятельности. Если закончите раньше, решите дополнительное задание. Работайте молча, решение оформляйте по шагам и оставляйте время на проверку." | Выбирают вариант, записывают его обозначение и начинают индивидуальную работу. |
6 мин | Учитель раздаёт карточки. На варианте А: $2x(x+3)$, $-3a(2a-5)$, $4b^2(b-2b+1)$. На варианте Б: $-2m(3m^2-m+4)$, $5p^2(2p-3p^2+1)$, $-x(4x^2-3x+2)$. Дополнительное: упростить $3a(2a-1)-2a(a+4)$ и объяснить, где понадобилось приведение подобных слагаемых. | Решают выбранные выражения, сначала распределяют множитель, затем выполняют умножение, приводят подобные слагаемые. Дополнительное задание выполняют при наличии времени. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране и говорит: "Проверяйте не только конечный ответ. Отметьте точку, где возникла ошибка: распределение множителя, знак, степени или приведение подобных слагаемых. Исправьте одну ошибку другим цветом и поставьте себе предварительный балл." | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают исправления, фиксируют причину ошибки и оценивают работу по критериям. |
Эталон решения
Вариант А: $2x(x+3)=2x^2+6x$; $-3a(2a-5)=-6a^2+15a$; $4b^2(b-2b+1)=4b^3-8b^3+4b^2=-4b^3+4b^2$. Вариант Б: $-2m(3m^2-m+4)=-6m^3+2m^2-8m$; $5p^2(2p-3p^2+1)=10p^3-15p^4+5p^2$; $-x(4x^2-3x+2)=-4x^3+3x^2-2x$. Дополнительное: $3a(2a-1)-2a(a+4)=6a^2-3a-2a^2-8a=4a^2-11a$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Особенно важно, что вы нашли не только правильные ответы, но и причины ошибок. Осталось связать новое правило с общей системой преобразований и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить уровень понимания и подготовить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает мини-кейс: "Вы вычисляете площадь прямоугольной площадки со сторонами $x+3$ и $2x$. Запишите выражение для площади и преобразуйте его. Что означает каждый полученный член?" Учитель просит две пары сравнить решения. | Записывают $S=2x(x+3)=2x^2+6x$. Объясняют: "$2x^2$ — произведение $2x$ и $x$, а $6x$ — произведение $2x$ и 3". Сравнивают записи в парах. |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная работа»: "За одну минуту завершите три фразы: «Сегодня я понял...», «При умножении одночлена на многочлен важно...», «Мне ещё нужно потренировать...»." | Письменно завершают фразы, формулируют личный результат и затруднение. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёный цвет — самостоятельно распределяю множитель и не ошибаюсь в знаках; жёлтый — правило понимаю, но иногда нужна проверка; красный — пока не могу объяснить, почему множитель относится ко всем слагаемым. Поднимите карточку и назовите следующий шаг для улучшения." | Показывают карточку, называют: "решу ещё два примера", "проверю знаки", "повторю распределительное свойство". Записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели правило из распределительного свойства, применили его к выражениям с разными знаками и проверили себя. Домашняя работа позволит закрепить алгоритм и выбрать посильный уровень сложности."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания выбранного обязательного варианта, каждый шаг записан последовательно, знаки и степени указаны корректно; дополнительное задание решено с обоснованием.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх или допущена одна вычислительная ошибка при правильно записанном алгоритме; ошибка самостоятельно исправлена при проверке.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно задание и частично применено правило, но допущены ошибки в распределении множителя, знаках или приведении подобных слагаемых; требуется работа по образцу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового правила вы сегодня вывели и из какого свойства оно следует? | Проверка осознанности происхождения правила, а не механического запоминания. |
На каком шаге решения $-2a(3a-5)$ нужно особенно внимательно контролировать знак? | Выявление точек затруднения в алгоритме и понимания правила знаков. |
Как вы проверяете, что одночлен умножен на каждый член многочлена? | Диагностика умения использовать структурную самопроверку. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Осознание личного уровня освоения и развитие регулятивной самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что при умножении одночлена на многочлен множитель распределяется по каждому слагаемому скобок. Типичная ошибка — умножить его только на первый член или неверно определить знак произведения. Проверяйте себя по четырём вопросам: все ли слагаемые учтены, верен ли знак, правильно ли перемножены степени, приведены ли подобные слагаемые. На следующем уроке мы будем использовать это правило в более сложных преобразованиях выражений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на умножение одночлена на многочлен: два выражения с положительными коэффициентами и два со знаками «минус». Оформить распределение множителя по шагам. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть, умножен ли одночлен на каждый член и правильно ли определены знаки. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, в которых после умножения требуется привести подобные слагаемые, включая выражение с многочленом из трёх членов. | Развивает последовательное выполнение всех этапов преобразования; при проверке обратить внимание на степени и стандартный вид результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу, в которой площадь или стоимость описывается произведением одночлена на многочлен; записать исходное выражение, преобразование и пояснение смысла результата. | Формирует умение применять правило в реальном контексте и создавать математическую модель; при проверке оценить корректность модели и обоснование каждого шага. |
Контрольные вопросы перед выходом: «На какое количество слагаемых нужно умножить одночлен?», «Как изменится знак произведения, если множитель отрицательный, а слагаемое в скобках отрицательное?», «Какие действия выполняются после распределения множителя?»
