Повторение и обобщение: Делимость чисел. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Цели и задачи
- Цель: Систематизировать знания о признаках делимости и алгоритмах работы с обыкновенными дробями для успешного перехода к изучению рациональных выражений в курсе алгебры 7 класса.
- Образовательные: Актуализировать признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10; закрепить навыки нахождения НОК и НОД; отработать алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
- Развивающие: Развивать логическое мышление через анализ структурных связей между делимостью чисел и преобразованием дробей; формировать навыки самоконтроля.
- Воспитательные: Формировать ответственное отношение к учебному труду, развивать навыки делового сотрудничества при работе в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
- Способность адекватно оценивать правильность выполнения учебной задачи и собственные возможности её решения.
Предметные
- Знать признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и уметь применять их для сокращения дробей.
- Уметь находить наименьшее общее кратное (НОК) для приведения дробей к общему знаменателю.
- Владеть навыками сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями, включая смешанные числа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценности здорового и безопасного образа жизни.
- Развитие эстетического сознания через освоение художественного наследия (красота математических структур).
Регулятивные УУД
- Проектирование маршрута преодоления затруднений в обучении через самодиагностику.
- Сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение.
- Использование речевых средств для выражения своих чувств и мыслей.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для индивидуальной работы (3 уровня сложности) — 25 экз.
- Подготовить презентацию со слайдами «Ловушки делимости» и «Алгоритм НОК».
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подготовить стикеры трех цветов (зеленый, желтый, красный) для этапа рефлексии.
- Выписать на доске ключевые термины: Делитель, Кратное, НОК, Дополнительный множитель.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать условия для осознанного вхождения в учебный процесс.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, семиклассники! Рад вас видеть. Сегодня у нас необычный урок. Мы начинаем большой путь в мир алгебры, но чтобы идти уверенно, нам нужно проверить наш багаж. Как сказал Рене Декарт: "Для того чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать". Сегодня мы будем размышлять над тем, что вы уже знаете из 6 класса, и искать в этом новые смыслы для 7 класса. Проверьте, всё ли готово: тетрадь, ручка, учебник и, главное, ваша готовность задавать вопросы». | Проверяют готовность рабочих мест, настраиваются на работу, приветствуют учителя. |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: «Знаете ли вы, что правила делимости, которые мы сегодня повторим, используются в криптографии для защиты ваших данных в мессенджерах? Без понимания того, на что делится число, невозможно создать надёжный пароль. Сегодня мы потренируем наш "математический антивирус"». | Слушают учителя, проявляют интерес к практическому применению темы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, багаж проверен, цель ясна. Начнем с разминки для ума — вспомним правила игры с числами».
Этап 2. Актуализация знаний (7 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти признаки делимости и понятия НОД/НОК через активное взаимодействие.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит блиц-опрос «Верно — неверно»: «Я называю утверждение, если вы согласны — хлопок, если нет — тишина. 1. Число 123 делится на 3. 2. Число 554 делится на 5. 3. Если число заканчивается на 0, оно делится и на 2, и на 5. 4. Число 91 — простое». Учитель комментирует ответы, просит аргументировать признаки. | Участвуют в блиц-опросе. Аргументируют ответы: «123 делится на 3, так как сумма цифр 1+2+3=6, а 6 делится на 3»; «91 не простое, оно делится на 7 и 13». |
4 мин | Приём «Think-Pair-Share»: «На доске числа: 24 и 36. В течение 30 секунд подумайте, какое самое маленькое число делится на них обоих (НОК) и какое самое большое число является их общим делителем (НОД). Обсудите с соседом, как вы это нашли, и предложите самый быстрый способ». | Индивидуально вычисляют, затем обсуждают в парах. Отвечают: «НОД(24, 36) = 12, НОК(24, 36) = 72». Объясняют метод разложения на множители или метод подбора кратных. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
- НОД (24; 36) = 12
- НОК (24; 36) = 72
- Признак делимости на 3: сумма цифр делится на 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы отлично размялись. Эти навыки — наш фундамент. Теперь посмотрим, сможем ли мы применить их в более сложной ситуации».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: создать ситуацию затруднения, мотивирующую к повторению алгоритма работы с дробями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску пример: 5/12 + 7/18. «Ребята, посмотрите на этот пример. Часто ученики совершают ошибку, просто складывая числители и знаменатели. Почему мы не можем так поступить? Какая главная проблема здесь возникает? Сформулируйте цель нашего сегодняшнего "открытия" заново». | Отвечают: «Знаменатели разные, доли разного размера, их нельзя складывать напрямую». Формулируют цель: «Вспомнить алгоритм приведения дробей к общему знаменателю и научиться безошибочно складывать их». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Наша задача — не просто решить, а вывести универсальный алгоритм, который поможет нам в 7 классе, когда вместо чисел в знаменателях появятся буквы».
Этап 4. «Открытие» алгоритма и реализация проекта (10 мин)
Цель этапа: восстановить пошаговый алгоритм сложения дробей через коллективное исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает группам (по 4 человека) составить «Карту алгоритма». «У вас на столах конверты с шагами алгоритма, но они перепутаны. Расставьте их в правильном порядке. Один шаг — лишний или ошибочный. Найдите его». Шаги: найти НОК знаменателей, найти доп. множители, умножить числитель и знаменатель, сложить знаменатели, сократить результат. | Работают в группах. Расставляют карточки: 1. Найти НОК (общий знаменатель). 2. Найти доп. множители. 3. Умножить числители. 4. Сложить числители (знаменатель оставить прежним). 5. Сократить. Выделяют лишний шаг: «Сложить знаменатели». |
5 мин | Учитель вызывает представителя группы к доске для решения примера 5/12 + 7/18 по составленному алгоритму. «Давайте проверим наш инструмент в действии. Комментируйте каждый шаг». | Ученик у доски: «1. НОК(12, 18) = 36. 2. Доп. множители: для первой дроби 36:12=3, для второй 36:18=2. 3. 5*3=15, 7*2=14. 4. (15+14)/36 = 29/36. Дробь несократимая». |
Эталон решения
$$\frac{5}{12} + \frac{7}{18} = \frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{7 \cdot 2}{36} = \frac{15 + 14}{36} = \frac{29}{36}$$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм восстановлен. Теперь мы готовы к самостоятельным маневрам. Помните: правильный знаменатель — половина успеха».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма на типовых заданиях с проговариванием во внешней речи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает решить задачу с реальным контекстом: «Для приготовления смеси для 3D-принтера мастер смешал 1/6 кг синего пластика и 3/8 кг белого. Сколько кг смеси получилось?». Работа с приёмом «Снежный ком»: сначала решаем сами, потом сверяем ответ с соседом. | Решают задачу в тетрадях: НОК(6, 8)=24. 1/6 + 3/8 = 4/24 + 9/24 = 13/24 кг. Сверяют ответы, обсуждают возможные ошибки в нахождении НОК. |
3 мин | Учитель организует «Математическую эстафету»: «На доске три примера для трех рядов. Кто быстрее и правильнее решит? 1 ряд: 3/4 - 1/6; 2 ряд: 5/9 + 1/6; 3 ряд: 7/10 - 2/15». | По одному представителю от ряда выходят к доске, остальные решают в тетрадях своего ряда. Проверяют результаты. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Эстафета показала, что вы в хорошей форме. Но алгебра требует индивидуальной точности. Переходим к личному зачету».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: интериоризация знаний, проверка уровня усвоения материала каждым учеником.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздает карточки с дифференцированными заданиями. «Выберите уровень, который вам по силам. Зеленый — базовый, Желтый — средний, Красный — сложный (со смешанными числами). У вас 6 минут». | Выбирают уровень и самостоятельно решают задания в тетрадях. |
2 мин | Учитель выводит на экран слайд с ответами и критериями. «Возьмите зеленый карандаш. Если ответ совпал — ставим плюс, если нет — обводим ошибку и рядом пишем верный ответ по эталону». | Проводят самопроверку, анализируют свои ошибки (вычислительная ошибка, неверный НОК или забыли сократить). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки, кто выполнил всё без ошибок. Отлично! Кто нашел одну ошибку? Не расстраивайтесь, это зона вашего роста».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей учебной деятельности, самооценка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель задает вопросы для рефлексии и просит заполнить «Билет на выход». «Напишите на стикере одну вещь, которую вы сегодня вспомнили, и одну, в которой еще сомневаетесь. Приклейте на доску: зеленый сектор — "я профи", желтый — "нужна практика", красный — "SOS, ничего не помню"». | Заполняют стикеры, анализируют свои затруднения и приклеивают их в соответствующий сектор на доске. |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание, акцентируя внимание на выборе уровня. «Ваше ДЗ на доске и в электронном журнале. Обратите внимание на творческое задание для желающих». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — работа выполнена полностью, без ошибок; допущена максимум одна неточность в оформлении.
- «4» — верно выполнено более 75% работы, допущено не более 2 вычислительных ошибок при верном алгоритме.
- «3» — выполнено 50–75% работы, есть ошибки в нахождении общего знаменателя, но понятен принцип сложения числителей.
- «2» — выполнено менее 50% работы, алгоритм приведения к общему знаменателю не освоен.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме сложения дробей кажется тебе самым «коварным»? | Выявление этапа, на котором чаще всего происходят сбои (поиск НОК или доп. множителей). |
Где в реальной жизни тебе может пригодиться умение делить целое на части и складывать их? | Связь математики с практикой (кулинария, строительство, финансы). |
Какую оценку ты бы поставил себе за работу на уроке и почему? | Развитие навыка адекватной самооценки и рефлексии усилий. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы проделали большую работу. Мы не просто вспомнили правила 6 класса, мы подготовили почву для серьезной алгебры 7 класса. Помните, что математика — это не только цифры, это умение видеть порядок в хаосе. Если сегодня что-то не получилось — у вас есть домашнее задание, чтобы потренироваться. На следующем уроке мы перейдем к умножению и делению дробей. Спасибо за активную работу, вы сегодня были настоящими исследователями!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №15, №18 (а, б) из учебника | Решить стандартные примеры на сложение и вычитание дробей с нахождением НОК. |
Средний (повышающий) | №25 (в, г), №27 | Задания на сложение трех дробей и решение уравнений, содержащих дроби. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Составить карточку-шпаргалку «Топ-5 ошибок при работе с дробями» или придумать задачу с практическим содержанием. |
Контрольный вопрос перед уходом: «Как изменится числитель дроби 3/8, если мы захотим привести её к знаменателю 40?»