Линейная функция и её график: обобщение и применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока систематизировать способы задания линейной функции и построения её графика, а также научиться по формуле и графику определять коэффициенты, нули функции и характер изменения функции.
- Закрепить понятия линейной функции, коэффициентов k и b, углового коэффициента и графика линейной функции.
- Повторить алгоритм построения графика линейной функции по двум точкам и применять его при решении практических задач.
- Развивать умение анализировать формулу и график, сравнивать функции, аргументировать выбор способа решения и осуществлять самопроверку.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, точности вычислений и использованию математических моделей в жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение математической модели для описания зависимостей в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Проявлять интерес к поиску разных способов решения и уважение к обоснованным мнениям одноклассников.
- Оценивать собственный вклад в работу пары или группы и готовность исправлять обнаруженные ошибки.
- Понимать ценность точности, последовательности и самоконтроля при построении графиков.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формулы, таблицы значений и координатной плоскости.
- Планировать последовательность построения графика и проверять соответствие результата заданной формуле.
- Сравнивать линейные функции по значениям коэффициентов и формулировать выводы.
- Участвовать в обсуждении, задавать уточняющие вопросы и аргументировать математические утверждения.
Предметные
- Знать вид линейной функции $y=kx+b$ и смысл коэффициентов $k$ и $b$.
- Уметь строить график линейной функции по двум точкам, включая функции вида $y=kx$ и постоянную функцию.
- Уметь определять по графику значения функции, нули функции, точку пересечения с осью $Oy$ и промежутки возрастания или убывания.
- Уметь находить формулу линейной функции по заданным параметрам или двум точкам её графика.
- Уметь применять график линейной функции для решения задач с практическим содержанием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимости между величинами.
- Осознают личную ответственность за точность построения и достоверность вывода.
- Выбирают уровень сложности задания с учётом собственных возможностей.
- Формируют положительное отношение к совместному поиску решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и планируют действия при построении графика.
- Контролируют вычисления и расположение точек на координатной плоскости.
- Сопоставляют результат с эталоном и находят причину ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и корректируют дальнейшую работу.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки линейной функции в формуле и графике.
- Устанавливают связь между знаком коэффициента $k$ и направлением изменения функции.
- Строят таблицу значений, графическую модель и формулу по имеющимся данным.
- Анализируют ошибочные построения и объясняют, почему они не соответствуют формуле.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или малой группе при выполнении задания.
- Формулируют математические объяснения полными предложениями.
- Задают вопросы о способе построения и корректно комментируют решение партнёра.
- Согласуют общий ответ и приводят аргументы в его защиту.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами $y=kx+b$, $y=kx$, алгоритмом построения графика и обозначениями координатных осей.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и по одной дополнительной карточке на каждую пару.
- Подготовить листы самооценки с критериями: формула, таблица значений, координатная плоскость, вывод о свойствах функции.
- Подготовить карточки с ошибочными графиками для работы в парах: неверная точка пересечения с осью $Oy$, перепутанный знак коэффициента и неверный масштаб.
- Раздать каждой группе лист миллиметровой бумаги или координатную сетку, линейки и цветные карандаши.
- Вывести на экран практическую задачу о стоимости поездки: фиксированная плата и стоимость каждого километра.
- Подготовить эталонные ответы для самопроверки и таймер на 3–5 минут для коротких заданий.
- Организовать доску: слева — формулы и алгоритм, в центре — координатная плоскость, справа — критерии успешного построения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практический смысл линейной зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: тетрадь, ручка, линейка и калькулятор или устный счёт. Сегодня мы не будем изучать новую формулу, а соберём в единую систему всё, что умеем о линейной функции и её графике." | Проверяют принадлежности, записывают дату и тему урока: «Линейная функция и её график: обобщение». |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Такси берёт 150 рублей за посадку и 25 рублей за каждый километр. Как изменится стоимость поездки при увеличении расстояния? Какую величину удобно считать независимой? Можно ли описать ситуацию формулой и графиком? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь одной формулировкой." Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Составляют формулу зависимости стоимости от расстояния, предлагают: «$y=25x+150$», называют расстояние аргументом, а стоимость — значением функции. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что линейная функция помогает описывать реальную зависимость. Сейчас проверим, какие элементы этой модели мы уже умеем распознавать и использовать."
Этап 2. Актуализация знаний. Математическая разминка (6 мин)
Цель этапа: восстановить основные понятия и выявить затруднения перед обобщением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран формулы $y=3x-2$, $y=-2x+5$, $y=7$, $y=4x$. "Распределите формулы по группам: линейная функция, прямая пропорциональность, постоянная функция. Объясните, какую роль играет коэффициент $k$, а какую — $b$. Не называйте только ответ, добавьте признак." | Классифицируют формулы: «$y=3x-2$ и $y=-2x+5$ — линейные функции; $y=4x$ — прямая пропорциональность; $y=7$ — постоянная функция». Объясняют, что $k$ связан с наклоном графика, а $b$ задаёт пересечение с осью $Oy$. |
3 мин | Учитель предлагает устно определить свойства функций: "Для каждой функции назовите знак коэффициента $k$ и скажите, возрастает она или убывает. Затем назовите координаты точки пересечения графика с осью $Oy$ для $y=-2x+5$." При необходимости фиксирует правило: при $k>0$ функция возрастает, при $k<0$ убывает. | Отвечают: «$y=3x-2$ возрастает; $y=-2x+5$ убывает; $y=7$ постоянная; $y=4x$ возрастает». Называют точку $(0;5)$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили вид функции и связь коэффициента с её поведением. Теперь выясним, какие действия нужно выполнить, чтобы построить любой такой график без пропусков и случайных ошибок."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать общий алгоритм построения и критерии правильного графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два графика, один из которых соответствует формуле $y=2x-1$, а второй имеет точку пересечения с осью $Oy$ в координате $2$. "Оба рисунка выглядят как прямые. Как определить, какой график соответствует формуле? Что нужно проверить в первую очередь?" | Сравнивают графики, указывают на точку пересечения с осью $Oy$ и направление наклона, формулируют: «При $x=0$ должно получиться $y=-1$, поэтому график проходит через $(0;-1)$». |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: "Сегодня каждый должен уметь не просто нарисовать прямую, а доказать, что она соответствует формуле. Запишите план: определить коэффициенты, выбрать значения $x$, вычислить $y$, отметить точки, провести прямую и проверить её свойства." | Записывают план действий и дополняют его пунктом «проверить одну точку подстановкой в формулу». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План у нас есть: от формулы — к таблице, от таблицы — к точкам, от точек — к графику и выводу. Переходим к совместной проверке этого алгоритма на конкретном примере."
Этап 4. Обобщение алгоритма на примере (9 мин)
Цель этапа: систематизировать алгоритм построения графика и связать элементы формулы с графическим изображением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске функцию $y=-2x+3$: "Работаем по алгоритму. Сначала называем $k$ и $b$. Затем выбираем удобные значения $x$, например $0$ и $1$, вычисляем значения $y$ и получаем две точки. Запишите таблицу и проговорите каждое действие." | Заполняют таблицу: при $x=0$, $y=3$, точка $(0;3)$; при $x=1$, $y=1$, точка $(1;1)$. Отмечают точки на координатной плоскости и проводят прямую. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Почему достаточно двух точек? Где график пересекает ось $Oy$? Почему прямая убывает? Как можно проверить правильность второй точки?" Учитель фиксирует на доске ответы и обращает внимание на знак $k$. | Отвечают: «График линейной функции — прямая, а две точки однозначно задают прямую»; «пересечение с осью $Oy$ — $(0;3)$»; «функция убывает, потому что $k=-2<0$»; проверяют точку подстановкой. |
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с утверждениями: «График $y=4x-1$ проходит через $(0;1)$», «График $y=-x+2$ убывает», «У функций $y=2x+3$ и $y=2x-4$ одинаковый наклон». "Отметьте верные утверждения и исправьте неверные, записав короткое объяснение." | В парах отмечают утверждения. Исправляют первое: «График проходит через $(0;-1)$». Подтверждают второе и третье, объясняя роль коэффициента $k$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм построения графика $y=kx+b$: 1) определить $k$ и $b$; 2) выбрать два значения $x$; 3) вычислить соответствующие значения $y$; 4) отметить две точки; 5) провести через них прямую; 6) проверить точку $(0;b)$ и направление изменения функции.
Эталон решения
Для $y=-2x+3$: $k=-2$, $b=3$. При $x=0$: $y=3$, получаем $A(0;3)$. При $x=1$: $y=-2\cdot1+3=1$, получаем $B(1;1)$. Точки $A$ и $B$ соединяем прямой. Так как $k<0$, функция убывает. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0;3)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили полный алгоритм и убедились, что формула сразу сообщает нам две важные характеристики: положение графика по оси $Oy$ и направление его наклона. Теперь применим этот алгоритм самостоятельно, но с возможностью выбрать уровень задания."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа по выбору (8 мин)
Цель этапа: закрепить построение графиков и чтение их свойств в индивидуальной и парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку, на которой сможете показать качественную работу. Базовый уровень: построить график $y=3x-2$ по двум точкам. Повышенный: построить графики $y=2x+1$ и $y=2x-3$ и сравнить их. Творческий: составить формулу функции, проходящей через точки $(0;4)$ и $(2;8)$, а затем построить график. На карточке сразу отмечены критерии." | Индивидуально выполняют выбранное задание: составляют таблицы, отмечают точки, проводят прямые, записывают вывод о возрастании или сравнении графиков. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями с соседом. Проверьте четыре пункта: формула переписана без ошибки, таблица заполнена, график проходит через выбранные точки, вывод соответствует знаку $k$. Поставьте две звезды за верные элементы и одно пожелание по исправлению." | Проверяют работу партнёра по критериям, отмечают две сильные стороны и одну конкретную рекомендацию, затем исправляют обнаруженную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство ошибок сегодня связано не с самой формулой, а с невнимательным вычислением или неверным масштабом. Сейчас проверим, умеете ли вы использовать график как модель практической ситуации."
Этап 6. Самостоятельная работа с практическим применением (10 мин)
Цель этапа: применить линейную функцию для описания реальной зависимости и выполнить самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с условием: "Прокат велосипеда стоит 200 рублей за оформление и 120 рублей за каждый час аренды. Пусть $x$ — число часов, а $y$ — стоимость аренды. Составьте формулу зависимости, найдите стоимость аренды на 1-м, 3-м и 5-м часе и объясните смысл коэффициентов." | Записывают формулу $y=120x+200$, составляют таблицу и вычисляют: $y(1)=320$, $y(3)=560$, $y(5)=800$. Объясняют, что 120 — стоимость одного часа, а 200 — фиксированная плата. |
4 мин | Учитель продолжает: "Постройте график для значений $x$ от 0 до 5. По графику или формуле определите, при каком значении $x$ стоимость достигнет 680 рублей. Сначала решите самостоятельно, затем сравните ход решения с соседом." | Строят график по таблице, находят $120x+200=680$, получают $x=4$. Сверяют решение в паре и формулируют ответ: «Стоимость 680 рублей будет при аренде в течение 4 часов». |
4 мин | Учитель выводит эталон и проводит самопроверку: "Сверьте формулу, три значения таблицы, расположение точек и ответ на вопрос. Если нашли ошибку, не стирайте её сразу: обведите и подпишите причину — вычисление, координата, масштаб или вывод. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если исправили одну ошибку, красную — если нужна помощь." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, выбирают цвет карточки и формулируют, какой шаг алгоритма требует дополнительной тренировки. |
Эталон решения
Формула зависимости: $y=120x+200$. Значения: $y(1)=120+200=320$, $y(3)=360+200=560$, $y(5)=600+200=800$. Для стоимости 680 рублей: $120x+200=680$; $120x=480$; $x=4$. Коэффициент $120$ показывает стоимость одного часа, свободный член $200$ — фиксированную плату. График возрастает, потому что $k=120>0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы использовали формулу, таблицу и график как три взаимосвязанных способа описания одной зависимости. Осталось зафиксировать, чему вы научились, и определить следующий шаг для самостоятельной работы."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и объяснить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт мини-лист самооценки: "Закончите три фразы: сегодня я повторил; теперь я умею; мне нужно потренироваться. Затем ответьте на билет на выход: как по формуле $y=kx+b$ определить точку пересечения с осью $Oy$ и направление изменения функции?" | Заполняют лист самооценки и записывают ответ: «точка пересечения — $(0;b)$; при $k>0$ функция возрастает, при $k<0$ убывает, при $k=0$ постоянна». |
2 мин | Учитель подводит итог: "Сдайте билет на выход. В домашней работе выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. Важно не количество построенных прямых, а умение объяснить, почему ваш график соответствует формуле." | Сдают билеты, записывают домашнее задание и выбирают уровень с учётом результатов самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы систематизировали путь от формулы к графику и от графика к свойствам функции. Проверьте дома не только рисунок, но и каждую координату. На следующем уроке мы продолжим использовать графики для решения уравнений и систем."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено выбранное задание, правильно определены коэффициенты, составлена таблица, график построен по двум точкам с корректным масштабом, вывод о возрастании или убывании обоснован; в практической задаче получен верный ответ и объяснён смысл коэффициентов.
- «4» — основное задание выполнено верно, но допущена одна неточность в вычислении, оформлении таблицы или подписи координат; после самопроверки ошибка исправлена.
- «3» — построен график или составлена формула, но допущены две существенные ошибки в координатах, масштабе или выводе; ученик понимает алгоритм после направляющих вопросов учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по формуле $y=kx+b$ определить точку пересечения графика с осью $Oy$? | Проверка осознания роли свободного члена и понимания графического смысла формулы. |
Как знак коэффициента $k$ влияет на направление графика? | Выявление понимания связи между формулой и свойствами функции. |
Какой шаг построения графика оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекционной работы. |
Что помогло вам проверить правильность построения? | Осознание приёмов самоконтроля: подстановка, проверка двух точек, анализ масштаба. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы собрали в единую систему формулу, таблицу и график линейной функции. Вы увидели, что коэффициент $k$ показывает направление изменения функции, а число $b$ задаёт её пересечение с осью $Oy$. Типичная ошибка — перенести свободный член в координату по оси $Ox$ или перепутать знак коэффициента, поэтому всегда проверяйте точку $(0;b)$. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке применим графики для решения уравнений и практических задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для двух заданных линейных функций определить $k$ и $b$, построить графики по двум точкам и указать, возрастает функция или убывает; для двух графиков определить координаты точек пересечения с осью $Oy$. | Закрепляет распознавание коэффициентов, алгоритм построения и чтение основных свойств графика. При проверке обратить внимание на таблицу значений, масштаб и знак коэффициента. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на линейную зависимость: составить формулу по условию, заполнить таблицу минимум для трёх значений аргумента, построить график и ответить на вопрос по графику. | Формирует математическую грамотность и умение переводить жизненную ситуацию в формулу. При проверке смотреть на смысл коэффициентов и соответствие ответа условию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о тарифе, расстоянии, времени или расходе материалов, которая описывается функцией $y=kx+b$, указать область практического смысла переменной, построить график и подготовить краткое объяснение решения. | Развивает умение создавать математическую модель и аргументировать выбор формулы. При проверке оценить реалистичность условия, корректность коэффициентов и полноту объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Каков общий вид линейной функции?», «Какая точка всегда принадлежит графику $y=kx+b$?», «Что показывает коэффициент $k$?», «Сколько точек достаточно для построения графика линейной функции?», «Как проверить, что построенная прямая соответствует формуле?»
